非线性系统的分析ppt课件.ppt

《非线性系统的分析ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非线性系统的分析ppt课件.ppt（153页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、本章主要内容本章主要内容 本章介绍了非线性系本章介绍了非线性系统的基本概念、常见的几统的基本概念、常见的几种非线性环节的特点及其种非线性环节的特点及其对系统的影响，主要阐述对系统的影响，主要阐述了如何利用描述函数法对了如何利用描述函数法对非线性系统进行分析，同非线性系统进行分析，同时简要介绍了改善非线性时简要介绍了改善非线性系统性能的措施及非线性系统性能的措施及非线性特性的利用。特性的利用。 本章重点本章重点 要求正确理解非要求正确理解非线性系统与线性系统线性系统与线性系统的差异，重点掌握利的差异，重点掌握利用描述函数法对非线用描述函数法对非线性系统进行分析，了性系统进行分析，了解非线性系统的

2、特点。解非线性系统的特点。7-1 非线性系统的基本概念非线性系统的基本概念非线性系统的数学描述非线性系统的数学描述 在构成系统的环节中有一个或一个以上的在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特性时，称此系统为非线性系统。非线性特性时，称此系统为非线性系统。图图7-1-1a是用弹簧悬挂带有阻尼力的质量为是用弹簧悬挂带有阻尼力的质量为m的的物体的示意图，显研究其上下振动的运动状态。物体的示意图，显研究其上下振动的运动状态。弹簧力的特性如图弹簧力的特性如图7-1-1b所示。所示。 图图 7-1-1 a)由质量、弹簧、阻尼器构成的系统由质量、弹簧、阻尼器构成的系统 图图 7-1-1 b) 弹簧力的

3、非线性特性弹簧力的非线性特性考虑到作用于质量考虑到作用于质量m上的全部力，其运动上的全部力，其运动可用下面的非线性微分方程描述：可用下面的非线性微分方程描述： Fyykdtdyfdtydmv22(7-1-1)描述大多数非线性物理系统的数学模型是描述大多数非线性物理系统的数学模型是n阶非线性阶非线性微分方程，其形式为微分方程，其形式为 y(t) u(t) ,1122输出函数输入函数式中udttyddttyddttdytythdtydmnnnn为了求非线性系统的时域响应，必须求出式为了求非线性系统的时域响应，必须求出式(7-1-2)的解。的解。通常情况下，可以将构成系统的环节分为线性与通常情况下，

4、可以将构成系统的环节分为线性与非线性两部分。用框图表示如图非线性两部分。用框图表示如图7-1-2所示。所示。图图7-1-2 非线性系统框图的基本形式非线性系统框图的基本形式式式(7-1-1)描述的系统，也可以用图描述的系统，也可以用图7-1-3所示的框所示的框图表示。图表示。图图7-1-3 质量、弹簧、阻尼系统的框图质量、弹簧、阻尼系统的框图当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将当用框图作为非线性系统的数学模型时，只需将系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非系统的线性部分用传递函数或脉冲响应表示，非线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。线性部分用非线性等效增益或描述函数表示。非线性特

5、性的分类非线性特性的分类图图 7-1-4 典型非线性特性典型非线性特性1、死区特性、死区特性如图如图7-1-4a所示，其数学描述是所示，其数学描述是 atxtxatxkatxty)( sgn)( 0(7-1-3) 1sgn0 1sgn0sgntan txtxtxtxtxkka时，当；时，当，线性输出特性的斜率死区宽度；式中死区（不灵敏区）特性的影响死区（不灵敏区）特性的影响 增大了系统的稳态误差，降低了定增大了系统的稳态误差，降低了定位精度。位精度。 减小了系统的开环增益，提高了系减小了系统的开环增益，提高了系统的平稳性，减弱动态响应的振荡统的平稳性，减弱动态响应的振荡倾向。倾向。2、饱和特性

6、、饱和特性如图如图7-1-4b所示，其数学描述是所示，其数学描述是 atxtxkaatxtkxty)( sgn)( (7-1-4)tan kka线性区特性的斜率，线性区宽度；式中饱和特性的影响饱和特性的影响 使系统开环增益下降，对动态响应的使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有利。平稳性有利。 使系统的快速性和稳态跟踪精度下降使系统的快速性和稳态跟踪精度下降3、间隙特性、间隙特性如图如图7-1-4c所示，其数学描述是所示，其数学描述是 0 sgn 0 0 )()()(tytytytxcatxkatxkty(7-1-5)tan kka，线性输出特性的斜率间隙宽度；式中间隙（回环）特性的影响间隙

7、（回环）特性的影响 降低了定位精度，增大了系统的静差。降低了定位精度，增大了系统的静差。 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。变坏。4、继电器特性、继电器特性如图如图7-1-4d所示，其数学描述是所示，其数学描述是 0 , 0 , a )( sgn 0 , 00 , 0)( )( )()(txtxtxtxmatxMmatxMtxtxMmatx-aatx-maty(7-1-6)继电器特性的影响继电器特性的影响 理想继电控制系统最终多半处于自理想继电控制系统最终多半处于自振工作状态。振工作状态。 可利用继电控制实现快速跟踪。可利用继电控制实现快速跟踪。 带死区的继

8、电特性，将会增加系统带死区的继电特性，将会增加系统的定位误差，对其他动态性能的影的定位误差，对其他动态性能的影响，类似于死区、饱和非线性特性响，类似于死区、饱和非线性特性的综合效果。的综合效果。当当a=0时，继电器的吸合及释放电压为零，此种时，继电器的吸合及释放电压为零，此种情况亦称零值切换，又称理想继电器特性，如情况亦称零值切换，又称理想继电器特性，如图图7-1-5a所示。所示。常值输出。继电器释放电压；继电器吸合电压；式中Mmaa 如果在式如果在式(7-1-6)中，参量中，参量m=1，即继电器的吸合，即继电器的吸合电压与释放电压相等，无回环。此即为有死区的电压与释放电压相等，无回环。此即为

9、有死区的单值继电器特性，如图单值继电器特性，如图7-1-5b所示。所示。图图7-1-5 几种特殊的继电器特性几种特殊的继电器特性如果在式如果在式(7-1-6)中，参量中，参量m=-1，即继电器的正向，即继电器的正向释放电压与其反向吸上电压相等时，这就是有回释放电压与其反向吸上电压相等时，这就是有回环的继电器特性，如图环的继电器特性，如图7-1-5c所示。所示。非线性系统的特点非线性系统的特点1、稳定性、稳定性非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅非线性系统的稳定性及零输入响应的性质不仅仅取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的取决于系统本身的结构和参量，而且还与系统的初始状态有关。初始状

10、态有关。例例7-1-1 7-1-1 比较以下两个系统的特征。其一为线性比较以下两个系统的特征。其一为线性系统，描述其运动的微分方程为系统，描述其运动的微分方程为)()(txtx另一为非线性系统，其微分方程为另一为非线性系统，其微分方程为解解)(1)()()(2)(txtxtxtxtx分析比较两者的时间响应。分析比较两者的时间响应。态。线性系统的解是表示以上系统的初始状以0 xtextx0)(非线性系统的解是非线性系统的解是ttexxextx0001)(非线性系统的时间响应如图非线性系统的时间响应如图7-1-6所示。所示。图图7-1-6 非线性系统的时间响应非线性系统的时间响应非线性系统的运动形

11、式，即时间响应的特征与线非线性系统的运动形式，即时间响应的特征与线性系统一样，都是在性系统一样，都是在t=0时，时，时，当10 x0)(xtx随着时间的随着时间的增长，时间响应都逐渐衰减为零，非线性系统也增长，时间响应都逐渐衰减为零，非线性系统也是稳定系统是稳定系统 。时，当10 x线性系统的响应仍与线性系统的响应仍与时一样。10 x但非线性系统的响应则不然，它随时间增长而发散但非线性系统的响应则不然，它随时间增长而发散。系统呈不稳定状态。到2、系统的自持振荡、系统的自持振荡在非线性系统中，在无外部激励时，发生某一固定在非线性系统中，在无外部激励时，发生某一固定振幅和频率的振荡，称为自持振荡（

12、或自激振荡）。振幅和频率的振荡，称为自持振荡（或自激振荡）。例例 7-1-2 7-1-2 范德波尔方程是范德波尔方程是0 0)()(12)()(2txtxtxtx0 0)(1)(2 )()( 2txtxtxtx或现分析其响应的特征。现分析其响应的特征。解解二阶系统的微分方程是：二阶系统的微分方程是： 0)(22)()( txnntxtx将此方程与范德波尔方程比较可知：将此方程与范德波尔方程比较可知：。增长而发散，如图的零输入响应将随时间，则系统时，等效阻尼比当71701)(1)(2txtx增长而逐渐收敛。的零输入响应将随时间，则系统时，等效阻尼比当01)(1)(2txtx图图7-1-7 非线性

13、系统的自持振荡非线性系统的自持振荡的自持振荡。性系统振荡形式，这就是非线比时，系统响应呈等幅，即零阻尼再发散。而阻尼比为零的状态而不，即而发散至的响应均将随时间推移状态，而所有，即等效阻尼比为零的收敛到而的响应最终随时间推移由此推论，此系统1)(1)(1)(1)(1)(txtxtxtxtx3、频率响应畸变、频率响应畸变对于非线性系统，如输入为正弦函数，其输出通对于非线性系统，如输入为正弦函数，其输出通常包含有一定数量的高次谐波的非正弦周期函数，常包含有一定数量的高次谐波的非正弦周期函数，周期则同于输入。非线性系统有时还可能出现跳周期则同于输入。非线性系统有时还可能出现跳跃谐振、倍频和分频振荡等

14、现象。跃谐振、倍频和分频振荡等现象。图图7-1-8表示是一正弦输入信号通过间隙非线性表示是一正弦输入信号通过间隙非线性元件后，其响应发生畸变的情况。元件后，其响应发生畸变的情况。图图7-1-8 间隙特性的正弦响应间隙特性的正弦响应7-2 二阶线性和非线性系统的相平面分析二阶线性和非线性系统的相平面分析 二阶线性系统的特征二阶线性系统的特征二阶线性系统的微分方程为二阶线性系统的微分方程为 022xnnxx(7-2-1)方程组：可写成下列一阶微分，则式如令) 127(1 xx2122221 xxxnnxx(7-2-2)合并以上两式，得到合并以上两式，得到2122221xxxnnxx则上式可写为：考

15、虑到,/2,/121dtdxdtdxxx2122212xxxdxdxnn(7-2-3)的相轨迹方程。系统的关系式就是二阶线性与解得式21)327(xx另一方面，式另一方面，式(7-2-1)的特征方程为的特征方程为 0222nn(7-2-4)于是特征根为于是特征根为1,221nn下面分别情况加以分析：下面分别情况加以分析：就成为：共轭虚根。此时方程为、动状态，时，系统处于无阻尼运当)327(0) 1 (2112221xxdxdxn分离变量后，对上式等号两侧分别积分得分离变量后，对上式等号两侧分别积分得22221Rxxn为初始状态。、式中20102202102, xxxxRn上式所表示的系统的相轨

16、迹是一族同心的椭上式所表示的系统的相轨迹是一族同心的椭圆，每一椭圆对应一个简谐运动圆，每一椭圆对应一个简谐运动(参见图参见图7-2-1a)。在相平面原点处有一孤立奇点，被周围。在相平面原点处有一孤立奇点，被周围封闭的椭圆曲线包围。此种奇点称为中心点。封闭的椭圆曲线包围。此种奇点称为中心点。位于根平面左半部的一对共轭复根。系统的零输入位于根平面左半部的一对共轭复根。系统的零输入响应呈衰减振荡，最终趋于零。对应的相轨迹是对响应呈衰减振荡，最终趋于零。对应的相轨迹是对数螺旋线，收敛于相平面原点数螺旋线，收敛于相平面原点(参见图参见图7-2-1b)。此。此种奇点称为稳定的焦点。种奇点称为稳定的焦点。2

17、110)2(、动状态，时，系统处于欠阻尼运当为、动状态，时，系统处于过阻尼运当211)3(位于根平面左半部的两个负实根，这时系统的零输位于根平面左半部的两个负实根，这时系统的零输入响应是随时间非周期地衰减到零。对应的相轨迹入响应是随时间非周期地衰减到零。对应的相轨迹是一族趋向相平面原点的抛物线是一族趋向相平面原点的抛物线(参见图参见图7-2-1c)。相相平面原点为奇点，并称其为稳定的节点。平面原点为奇点，并称其为稳定的节点。系统的零输入响应也是非周期发散的。相应的相系统的零输入响应也是非周期发散的。相应的相轨迹如图轨迹如图7-2-1d所示。此种奇点称为鞍点。所示。此种奇点称为鞍点。位于根平面右

18、半部时，位于根平面左半不部，为实根，且、当2121)4(一对为位于根平面右半部的、时，当2101)5(共轭复根。系统的零输入响应是发散振荡的。对应共轭复根。系统的零输入响应是发散振荡的。对应的相轨迹为由相平面原点出发的对数螺旋线的相轨迹为由相平面原点出发的对数螺旋线(参见参见图图7-2-1e)。此种奇点称为不稳定的焦点。此种奇点称为不稳定的焦点。正实根。系统的零输入响应为非周期发散的，正实根。系统的零输入响应为非周期发散的，对应的相轨迹是由相平面原点出发的发散型抛对应的相轨迹是由相平面原点出发的发散型抛物线族物线族(参见图参见图7-2-1f)。此种奇点称为不稳定的。此种奇点称为不稳定的节点。节

19、点。两个为位于根平面右半部的、时，当211)6(二阶非线性系统的特征二阶非线性系统的特征二阶非线性自治系统在零输入情况下，其数学描二阶非线性自治系统在零输入情况下，其数学描述可写为述可写为)(),()(2)(),()(1 212211txtxfttxtxftxx(7-2-5)(7-2-6)式式(7-2-5)、式、式(7-2-6)所表示的系统的平衡点是所表示的系统的平衡点是0，0。根据泰勒定理，将函数根据泰勒定理，将函数 展开成下式展开成下式21ff 及21222212121221121211121120021100111211,aa,aa , 0 , 0, 2121xxrxxxxfxxrxxx

20、xrxxfxxffxxfxxxx(7-2-7)余项或称高次项、式中210021, 21rrjixfaxxjiij于是，式于是，式(7-2-5)、式、式(7-2-6)在其平衡点在其平衡点0，0附附近小范围内线性化方程为近小范围内线性化方程为)(a)(a)(2)(a)(a)(1 222121212111txtxttxtxtxx(7-2-8)显然，线性化系统的平衡点仍为显然，线性化系统的平衡点仍为0，0在大多数情况下，这种线性化系统的相轨迹与原在大多数情况下，这种线性化系统的相轨迹与原非线性系统的相轨迹在相平面原点（平衡点）某非线性系统的相轨迹在相平面原点（平衡点）某个适当小范围内有着相同的定性特性

21、。表个适当小范围内有着相同的定性特性。表7-2-1总总结了这些情况。结了这些情况。表表7-2-1 线性化系统与非线性系统的相轨迹特征线性化系统与非线性系统的相轨迹特征解解例例 7-2-1 7-2-1 范德波尔方程是范德波尔方程是 0)()(12)()(2txtxtxtx试分析其相轨迹的特征。试分析其相轨迹的特征。(7-2-9)()(1txtx如令则范德波尔方程可写成下列形式则范德波尔方程可写成下列形式)(1)(2)()(2)()(122112txtxtxttxtxx(7-2-10)(7-2-11)相平面原点相平面原点0，0是系统的平衡点。是系统的平衡点。将式将式(7-2-11)与式与式(7-2

22、-2)比较可知：比较可知：随时间增长而发散。则系统的零输入响应将，时，等效阻尼比当01)(1)(, 02txtx此非线性系统在平衡点附近小范围线性化方程为此非线性系统在平衡点附近小范围线性化方程为)(2)()(2)()(1212xxtxttxtxx(7-2-12)称为自持振荡。的振荡，对应于系统响应出现的封闭曲线就是极限环所示。这一孤立，如图它将是相轨迹的一部分闭曲线，知在相平面上存在一封不存在其他平衡点，故相平面上状态向外发散。又因在都随时间增长离开平衡出发的相轨迹状态收敛；而所有的从初始，增长向平衡状态出发的相轨迹都随时间始状态所有从初增长而逐渐收敛。由于的零输入响应将随时间，则系统时，等

23、效阻尼比当2271)(001)(01)(1)(, 010102txtxtxtx图图7-2-2范德波尔方程在范德波尔方程在0时的相轨迹时的相轨迹7-3 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析用相轨迹分析非线性系统用相轨迹分析非线性系统用相平面法分析含有非线性特性的二阶系统简单用相平面法分析含有非线性特性的二阶系统简单易行，能得到比较直观明确的结论。下面将举例易行，能得到比较直观明确的结论。下面将举例说明。说明。例例7-3-1 7-3-1 试分析图试分析图7-3-17-3-1所示含有继电器的非线性所示含有继电器的非线性系统。其中继电器特性部分的参量是系统。其中继电器特性部分的参量是a=0.2

24、a=0.2，m=0.5m=0.5，M=0.2M=0.2，线性部分的参量，线性部分的参量K=5K=5。解解 线性部分的方程为线性部分的方程为图图7-3-1 例例7-3-1 的系统框图的系统框图 Kyecrcc用相平面分析系统时，可将外部参考输入考虑为用相平面分析系统时，可将外部参考输入考虑为r=0，令，令 ，于是得到线性部分的相变量方程，于是得到线性部分的相变量方程为为1xc ecKyxxxx 2122(7-3-1)非线性部分应划分区域列写方程：非线性部分应划分区域列写方程：MaxaeaxmaaemaMmacxmaexdtdcdtdey 0y y 0001112的区域内或在的区域内或在的区域内或

25、在时，或，或当MaxaeaxmaaemaMmaxmaexdtdcdtdey 0y y 0001112的区域内或在的区域内或在的区域内或在时，或，或当归纳以上可见归纳以上可见 0,; 0,0,; 0,00,; 0,212121212121xaxxmaxMxaxmaxaxmaxmaxxaxMy(7-3-2)现用等倾线法绘制系统的相轨迹，由式现用等倾线法绘制系统的相轨迹，由式(7-3-1)知，知，相轨迹上等倾线方程为相轨迹上等倾线方程为qxKyxdxdx2212将图将图7-3-2所示之相平面分为三个区域，三个区域所示之相平面分为三个区域，三个区域的转换线分别由的转换线分别由(7-3-3)12qKyx

26、确定、maamaax1在在区内，区内，y=-M，故等倾线方程为，故等倾线方程为1112qqKMx在在区内，区内，y=0qdxdxdxdx1 1212或在在区内，区内，y=M112qx下面将分别讨论系统线性部分的参量下面将分别讨论系统线性部分的参量K、非线性、非线性部分的参量部分的参量M、a、m对系统性能的影响。对系统性能的影响。图图7-3-2 例例7-3-1 系统的相轨迹系统的相轨迹按照前述方法，在三个区域内分别画出等倾线，按照前述方法，在三个区域内分别画出等倾线，然后作出初始状态为然后作出初始状态为(0.6，0)且且K=2时系统的相时系统的相轨迹，如图轨迹，如图7-3-3中的相轨迹中的相轨迹

27、所示。所示。1、减小线性部分增益、减小线性部分增益K由一个非周期环节和一个积分环节构成的线由一个非周期环节和一个积分环节构成的线性部分与继电器特性串联后组成的非线性系性部分与继电器特性串联后组成的非线性系统，线性部分的增益达到一定数值后，该非统，线性部分的增益达到一定数值后，该非线性系统产生自持振荡。减小线性部分的增线性系统产生自持振荡。减小线性部分的增益将是消除系统自持振荡的措施之一。益将是消除系统自持振荡的措施之一。图图7-3-3 例例7-3-1 系统在减小系统在减小K值时的相轨迹值时的相轨迹2、减小继电器特性的输出幅值、减小继电器特性的输出幅值M3、增大继电器特性的死区宽度参量、增大继电

28、器特性的死区宽度参量a根据式根据式(7-3-3)知，决定系统相轨迹等倾线的斜率值知，决定系统相轨迹等倾线的斜率值是乘积是乘积KM值，所以减小值，所以减小M值与减小值与减小K值对系统性能值对系统性能的影响一样。的影响一样。如图如图7-3-2中的虚线所示，随着时间的推移，相轨迹中的虚线所示，随着时间的推移，相轨迹最终收敛到平衡状态最终收敛到平衡状态A点。增大点。增大a值与减小值与减小M值或值或K值对系统有相同的影响。值对系统有相同的影响。4、增大继电器特性回环宽度参量、增大继电器特性回环宽度参量m如图如图7-3-2中的点画线所示，增大中的点画线所示，增大m值缩小继电器值缩小继电器特性的回环宽度，对

29、抑制和消除系统自持振荡有特性的回环宽度，对抑制和消除系统自持振荡有良好的效果。良好的效果。7-4 非线性特性的一种线性近似表示非线性特性的一种线性近似表示描述函数法描述函数法考虑一非线性环节考虑一非线性环节N，其输入为，其输入为x(t),输出为输出为n(t).现现找出一个线性函数找出一个线性函数y(t)去逼近去逼近n(t),并且要求按照某并且要求按照某种准则衡量，这种逼近应是最佳的。种准则衡量，这种逼近应是最佳的。 (参见图参见图7-4-1)。用来逼近非线性环节的线性环节能用卷积分公式用来逼近非线性环节的线性环节能用卷积分公式表示其输出表示其输出y(t)与输入与输入x(t)之间的关系：之间的关

30、系：图图7-4-1 最佳逼近示意图最佳逼近示意图g(t)应满足应满足(7-4-1)tdtxgtyt0 )()()(0式中式中 g(t)线性环节的脉冲响应函数。线性环节的脉冲响应函数。选择线性函数选择线性函数y(t)的依据：的依据：(7-4-2) )()(1020limedttytnTeTT )(20Kdttg式中式中 e最小值以外的均方误差值。最小值以外的均方误差值。为最小均方误差值，故由于0e0 00eeee或根据式根据式(7-4-2)及式及式(7-4-3)可有可有0)()()()(2)()(1)()()()(10002002020limlimdttntytytytytyTdttytntyt

31、nTeeTTTT(7-4-3)(7-4-4)根据式根据式(7-4-4)可见，只有其被积函数中关于函数可见，只有其被积函数中关于函数非负。由此可知必须有非负。由此可知必须有 (t)(0yty的一次项恒等于零，式的一次项恒等于零，式(7-4-4)才为才为(7-4-5) 0)()()()(1000limdttntytytyTTT将式将式(7-4-1)代入式代入式(7-4-5)得得考虑到线性方程交换积分顺序不会影响结果，式考虑到线性方程交换积分顺序不会影响结果，式(7-4-6)可写成可写成0)()()()()( 1 )()()()()()(1000000000limlimdttntydtxggTdtt

32、ntydtxgdtxgTTtTTttT(7-4-6)为使上式对所有的都为使上式对所有的都 成立，故必须有成立，故必须有0 )()()( )()(1 000limddttntytxggTTTT)()(0gg0)()()(1 0limTTdttntytxT或或式式(7-4-7)就是按照使均方误差为最小的准则，实就是按照使均方误差为最小的准则，实现现y(t)与与n(t)最佳逼近的充分必要条件。最佳逼近的充分必要条件。TTTTdttntxTdttytxT)()(1)()(1 limlim0(7-4-7)针对一任意非线性系统，设输入针对一任意非线性系统，设输入x(t)=Xsinx(t)=Xsint t,

33、 ,无记忆非线性环节的输出无记忆非线性环节的输出n(t)n(t)也应是周期函数，也应是周期函数，用傅立叶级数表示为用傅立叶级数表示为202010sin)(1 cos)(1 sincos2)(tdtitnBtdtitnAtBtiAAtniiiii式中(7-4-)均为零，于是有、及奇函数，则上式如果函数niAAtni21)(01sin)(iitBtn(7-4-)将式将式(7-4-9)代入式代入式(7-4-7)的等式右侧，则有的等式右侧，则有TiiTTTdttiBtXTdttytXT)sin)(sin1)()(sin1 10limlim(7-4-10)的正交性，即积分由于函数族1sinitinmnm

34、tntm, 0sinsin20(7-4-11) 且直观的最佳选择将是简单可能有多种选择，但是相等的函数等式两侧的积分值显然，能使式ty0)1147(tBtysin)(10(7-4-12)因此，在正弦函数输入下，非线性环节的最佳因此，在正弦函数输入下，非线性环节的最佳线性化可以表示为：线性化可以表示为：XBtXtBtxtyXN110sinsin)()()(7-4-13)式式(7-4-13)称为非线性环节的描述函数，或称称为非线性环节的描述函数，或称非线性环节的等效增益非线性环节的等效增益更一般的情况下，非线性环节更一般的情况下，非线性环节N的特性是对称的，的特性是对称的，但其输出不一定都是几奇函

35、数，这时但其输出不一定都是几奇函数，这时y(t)的基波的基波分量为分量为11111sinsinsin)(tYtBtAty(7-4-14) arctan sin)( 1sin)( cos)( 1cos)( 111212112020120201BABAYtdttntdttnBtdttntdttnA式中 因此，非线性环节的因此，非线性环节的描述函数描述函数或等效复数或等效复数增益为：增益为：1111)()(1jABXeXtYXNj(7-4-15)描述函数描述函数N(x)N(x)表示了表示了非线性环节的输入为正非线性环节的输入为正弦函数时，输出中的基波分量与输入在幅值弦函数时，输出中的基波分量与输入在

36、幅值和相位上的相互关系，类似于线性环节的频和相位上的相互关系，类似于线性环节的频率特性。率特性。7-5 典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数饱和特性的描述函数饱和特性的描述函数若非线性环节具有饱和特性，如图若非线性环节具有饱和特性，如图7-5-1，输入，输入为正弦信号为正弦信号tXtxsin)(输出为输出为tatXKataaKattXKtn,sin,0 ,sin)(000(7-5-1)图图7-5-1 饱和特性及其正弦响应饱和特性及其正弦响应tan 0K式中将式将式(7-5-1)代入式代入式(7-4-14)，得到，得到01A20002000202011arcsin2 sinacosa

37、2 sin)( a sin 4 sin)( 4sin)(1XaXaXaXKXKttdtnKttdXKttdtnttdtnBa(7-5-2)由此得到饱和特性的描述函数为由此得到饱和特性的描述函数为非线性环节的输出基波分量则为非线性环节的输出基波分量则为1111)(jeYjABty(7-5-3)故有故有0arctan111BAaXXaXaXaKXBXN2011arcsin2)(显然，只有当显然，只有当Xa时研究饱和才有意义。时研究饱和才有意义。实用上常将描述函数表示为实用上常将描述函数表示为X/a的函数，而且将的函数，而且将其中与线性部分增益有相同作用的参量其中与线性部分增益有相同作用的参量K0分

38、离出分离出来，于是有来，于是有(7-5-4)00 )(KKaXNKaXNXNnn相对描述函数为描述函数，饱和特性的称为相对将对于饱和特性，习惯上aXN0在分析非线性系统时，为与系统线性部分配合是使在分析非线性系统时，为与系统线性部分配合是使用线性理论的某些结论，经常应用用线性理论的某些结论，经常应用“负倒相对描述负倒相对描述函数函数 ” ，并将其写成与线性系统中幅相，并将其写成与线性系统中幅相频率特性类似的形式，即频率特性类似的形式，即(7-5-5)201arcsin2)(XaXaXaaXN)(10aXNaXjaXNjabaXN10110exp)()(11121210arctan)( )( b

39、aaXabaXN式中应强调指出，描述函数虽然可以写成与频率特性应强调指出，描述函数虽然可以写成与频率特性类似的形式，但其变量不是频率，而是非线性特类似的形式，但其变量不是频率，而是非线性特性的参量及输入正弦信号的振幅。性的参量及输入正弦信号的振幅。aXjaXNaXN000exp)(1)(1(7-5-6)111021210arctan180)(180)( 11 baaXaXabaXN式中表表7-5-1列出了饱和特性的负倒相对描述函数的幅列出了饱和特性的负倒相对描述函数的幅值、相角与变量值、相角与变量X/a之间的数值关系。之间的数值关系。表表7-5-1饱和特性的负倒幅相特性饱和特性的负倒幅相特性图

40、图7-5-2 饱和特性的负倒幅相特性饱和特性的负倒幅相特性与线性系统的对数频率特性类似，也可以绘制负与线性系统的对数频率特性类似，也可以绘制负倒对数幅相特性，如图倒对数幅相特性，如图7-5-3。处。特性曲线伸向负无限远，轴向左延伸，当增大，特性曲线沿负实点开始，随着，时，特性曲线从曲线。当简称负倒幅相特性的负倒相对幅相特性性平面上，给出了饱和特所示在图aXaXjaXaXN/011/)()(12570图图7-5-3 饱和特性的负倒对数幅相特性饱和特性的负倒对数幅相特性如将非线性系统的描述函数视为复数增益，则饱如将非线性系统的描述函数视为复数增益，则饱和特性的描述函数是一个实数增益，其值总小于和特

41、性的描述函数是一个实数增益，其值总小于1，或者说饱和特性的增益总是小于其线性段的，或者说饱和特性的增益总是小于其线性段的增益增益K0 ，随着输入信号幅值增大，其等效增益，随着输入信号幅值增大，其等效增益愈低。愈低。死区特性的描述函数死区特性的描述函数若非线性环节具有死区特性，如图若非线性环节具有死区特性，如图7-5-4，输入，输入为正弦信号为正弦信号tXtxsin)(输出为输出为taataatXKattn , 0,sin0 , 0)(0(7-5-7)图图7-5-4 死区特性及其正弦响应死区特性及其正弦响应01AaaaXKttdatXKttdtnttdtnBcossin21 sinsin 4 s

42、in)( 4sin)(1020020201根据式根据式(7-4-14)可以得到可以得到由于由于 Xaarcsina故得故得 1arcsin2-1XK2011XaXaXaBY0 BAarctan111于是死区特性的相对描述函数为于是死区特性的相对描述函数为aXXaXaXa201arcsin2-1aXN(7-5-8)表表7-5-2列出了死区特性的负倒相对描述函数的幅列出了死区特性的负倒相对描述函数的幅值、相角与变量值、相角与变量X/a之间的数值关系。之间的数值关系。表表7-5-2死区特性的负倒幅相特性死区特性的负倒幅相特性图图7-5-5是死区特性的负倒幅相特性。当是死区特性的负倒幅相特性。当X/a

43、=1时，它时，它起始于负实轴上无限远处，随着起始于负实轴上无限远处，随着X/a增加，它沿着负增加，它沿着负实轴趋向于实轴趋向于(-1,j0)点。图点。图7-5-6是死区特性的负倒对数是死区特性的负倒对数幅相特性。幅相特性。图图7-5-6 死区特性的负倒幅相特性死区特性的负倒幅相特性间隙特性的描述函数和继电器特性的描述函数请间隙特性的描述函数和继电器特性的描述函数请参见教材参见教材301页页304页页表表7-5-3理想继电器特性的负倒幅相特性理想继电器特性的负倒幅相特性理想继电器特性的负倒幅相特性见表理想继电器特性的负倒幅相特性见表7-5-3非线性特性的描述函数的特点是，它表示非线性特性的描述函

44、数的特点是，它表示了在正弦输入信号下，输出信号的基波分了在正弦输入信号下，输出信号的基波分量与输入之间在幅值和相位上的相互关系，量与输入之间在幅值和相位上的相互关系，也就是包含有等效增益及等效相移两方面也就是包含有等效增益及等效相移两方面的信息。的信息。7-6 分析非线性系统的谐波平衡法分析非线性系统的谐波平衡法图图7-6-1是通常的非线性系统框图，其中线性是通常的非线性系统框图，其中线性部分的频率为部分的频率为G(j),非线性部分的算子以非线性部分的算子以 N表示，非线性部分的输出为表示，非线性部分的输出为n(t)。根据系统的。根据系统的结构有结构有图图7-6-1 非线性系统的框图非线性系统

45、的框图 dntgtcNtetntctrtt)()()()()()()()(e0式中式中 g(t)系统线性部分的单位脉冲响应函数系统线性部分的单位脉冲响应函数当非线性系统存在自持振荡时，即系统在输入为当非线性系统存在自持振荡时，即系统在输入为零的情况下，存在稳定的振幅与频率的周期解，零的情况下，存在稳定的振幅与频率的周期解，则下列关系式成立：则下列关系式成立：由于由于c(t)中包含有多次谐波，则等式两侧对应的中包含有多次谐波，则等式两侧对应的各次谐波应该相等，这就是谐波平衡原理。对于各次谐波应该相等，这就是谐波平衡原理。对于c(t)中的基波必然有中的基波必然有 dtgNcttctt0)()()(

46、e)(edtgcaXNtct011)()()()(的基波分量。式中)()( 1tctc求上式的拉普拉斯变换，即求上式的拉普拉斯变换，即dtedtgcaXNsCstt 0011)()()()(，故时并考虑到令0,tgtt)()()( )()()()(10101sCsGaXNdecdegaXNsCss(7-6-1)后得到并消去代入式将)(),167(1jCjs )(1)( 1)()( aXNjGjGaXN或(7-6-2)(7-6-3)考虑到式考虑到式(7-5-4),又可将式又可将式(7-6-3)写成写成述函数系统非线性部分的描特性系统线性部分的频率式中)( )( aXNjG)(1)(K0naXNj

47、G(7-6-4)增益有相同作用的参量部分的非线性部分中与线性述函数非线性部分的相对描式中 K )( naXN式式(7-6-4)说明，非线性系统存在自持振荡的必要说明，非线性系统存在自持振荡的必要条件是，系统的非线性部分的负倒相对幅相特性条件是，系统的非线性部分的负倒相对幅相特性与线性部分的等效频率特性相等。或者写成幅值与线性部分的等效频率特性相等。或者写成幅值与相角条件，即是与相角条件，即是aXNjGaXNjG00n1)(1)(K(7-6-5)此即谐波平衡的基本原理，它可以作为非线性此即谐波平衡的基本原理，它可以作为非线性系统能够形成自持振荡的必要条件。系统能够形成自持振荡的必要条件。为了得到

48、非线性系统存在自持振荡的必要而且充为了得到非线性系统存在自持振荡的必要而且充分的条件，可以进一步将非线性系统与线性系统分的条件，可以进一步将非线性系统与线性系统对比分析。线性系统的闭环特征方程是对比分析。线性系统的闭环特征方程是0)(1sG1)( jGsj，则有代替其中的如以稳定状态。点，线性系统处于临界，穿过点，则不稳定；，包围点，则线性系统稳定；，不包围稳定性。性系统的点之间的关系能判别线，与从01)(01)(01)(01)(jjGjjGjjGjjG对于非线性系统，可以从式对于非线性系统，可以从式(7-6-4)分析。分析。 。，则非线性系统不稳定见图所包围被若在复平面上，则非线性系统稳定。

49、见图所包围相特性不被线性部分的等效幅对幅相特性若在复平面上，负倒相bjGKaXNajGKaXNnn267)(/12267)(/1100图图7-6-2 判别非线性系统的稳定性判别非线性系统的稳定性 值决定。交点对应的上值决定，频率则由上交点处对应的期振荡。其振幅由在非线性系统中产生周的关系，则或式即满足了式相交，与若在复平面上，)(/1567467/1)(300jGKXaXNaXNjGKnn振幅的周期振荡。应于两种频率、两种两个相交，它们分别对、有与中，在图baaXNjGKcn/1)(267 0图图7-6-2 判别非线性系统的稳定性判别非线性系统的稳定性分析分析a a点对应的周期振荡的性质。点对

50、应的周期振荡的性质。振荡。稳定的，即形成了自持对应的周期振荡是点。由此可见，交点点又回复到，系统工作点从直至达到推移，振幅逐渐增大，时间包围，系统不稳定，随点被。由于到移，工作点由幅暂时小于若由于某种因素，使振点。反之，工作点返回到时间推移而衰减并恢复期振荡的振幅将随点，系统是稳定的，周不包围点。由于点移到，这时工作点将由于使周期振荡的振幅大，假设由于某种因素，及频率分别为点的周期振荡的振幅及设对应于aadXjGKddaXaXcjGKanaan)()(caXX aaaa用同样的方法可以判别交点用同样的方法可以判别交点b对应的周期振荡不稳定。对应的周期振荡不稳定。自持振荡。期振荡即为系统的值，则