【高中数学选修2-2】3.1复数的概念ppt课件.ppt

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1、3.1 复数的概念及其几何意义复数的概念及其几何意义 只要继续扩大数域。实际上最根本的问题就是要解只要继续扩大数域。实际上最根本的问题就是要解决决 1 1的开平方问题的开平方问题，即怎样的一个数，它的平方会等于，即怎样的一个数，它的平方会等于1 1。新知引入新知引入思考：思考： 方程方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数在实数集中无解，联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解么？这个方程有解么？ 现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数 i ，把，把 i 叫做虚数单位叫做虚数单位，并且规并且规定定： （1）i21

2、； （2）实数可以与实数可以与 i 进行四则运算进行四则运算，在进行四则运算时，原在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率有的加法与乘法的运算率( (包括交换率、结合率和分配率包括交换率、结合率和分配率) )仍然仍然成立。成立。 这样就解决了方程这样就解决了方程x x2 2+1=0+1=0在实数系中无解的问题，即在实数系中无解的问题，即 1 1可可以开平方，且以开平方，且1的平方根为的平方根为 i，所以方程的解为，所以方程的解为x= i.我们把形如我们把形如a+bi(a,bR)的数叫做的数叫做复数复数.一一. 复数的概念复数的概念 由于实数与数由于实数与数i i可以进行四则运算，所以实数可以

3、进行四则运算，所以实数a a与与i i相加相加结果记作结果记作a+ia+i；实数；实数b b与与i i相乘结果记作相乘结果记作bi;bi;实数实数a a与实数与实数b b和和i i相乘的结果相加记作相乘的结果相加记作a+bia+bi，等等。从而实数与，等等。从而实数与i i进行四则运进行四则运算的结果都可以写成算的结果都可以写成a+bi(a,ba+bi(a,b都是实数都是实数) )的形式。的形式。二二.复数集复数集 复数复数用字母用字母z表示，即表示，即z= a+bi(a, bR) ，称之为称之为复数的代数形式复数的代数形式。复数复数a+bi(a, bR)中实数中实数a与与b分分别称为复数别称

4、为复数z的的实部实部与与虚部虚部，i是是虚数单位虚数单位， 当当b=0时时，a+bi就是就是实数实数， 当当b0时时，a+bi是是虚数虚数，其中其中a=0且且b0时称为时称为 纯虚数。纯虚数。 全体复数所成的集合叫做全体复数所成的集合叫做复数集复数集.用字母用字母C表示表示. 即即RbabiaC,实数集就是复数集的一个子集。实数集就是复数集的一个子集。它们的关系如下：它们的关系如下：(0)()( ,)(0)(0)(0)ba bia bRaba整数有理数 实数分数复数无理数 无限不循环小数纯虚数虚数非纯虚数二二.复数集复数集三三.复数相等的定义复数相等的定义 根据两个根据两个复数相等复数相等的定

5、义的定义，设设a, b, c, dR，两个复数两个复数a+bi和和 c+di 相等规定相等规定为为a+bi =c+di . 由这个定义得到由这个定义得到 a+bi=0 . 两个复数不能比较大小两个复数不能比较大小(b=0时除外时除外)，只能由定义判断它只能由定义判断它们相等或不相等们相等或不相等。acbd00ab 如果两个复数的实部和虚部分别相等如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就我们就说这两个说这两个复数相等复数相等.例例1.1.实数实数 m m 取什么数值时，复数取什么数值时，复数z z= =m m +1+(+1+(m m1)1)i i是：是：（1 1）实数？）实数？ （2 2）虚数？

6、（）虚数？（3 3）纯虚数？）纯虚数？0101mm解：复数解：复数z=m+1+(m1)i 中，因为中，因为mR，所以，所以m+1，m1都是实数，它们分别是都是实数，它们分别是z的实部和虚部，的实部和虚部， （1）m=1时，时，z是实数；是实数； （2）m1时，时，z是虚数；是虚数；（3）当）当 时，即时，即m=1时，时，z是纯虚数；是纯虚数；四四.例题讲解例题讲解 例例2.已知已知(2x1)+i=y(3y)i，其中其中x, yR，求求x, y.解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部 ，虚部等于虚部，得方程组，虚部等于虚部，得方程组，

7、 解得解得 x= , y=4.211(3)xyy 25四四.例题讲解例题讲解 xo1 你能否找到用来表示你能否找到用来表示复数的几何模型复数的几何模型吗？吗？实数可以用实数可以用数轴数轴上的点来表示。上的点来表示。(几何模型几何模型)五五.复数的几何意义复数的几何意义(形形)数轴数轴上的点上的点 (数数)实数实数 一一对应一一对应 复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b) 建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚轴虚轴（数）（数）（形）（形）-复数平面复数平面

8、(简称简称复平面复平面)一一对应一一对应z=a+bi复数复数z=a+bi复平面内的点复平面内的点Z(a,b)一一对应一一对应这是复数的一个几何意义这是复数的一个几何意义五五.复数的几何意义复数的几何意义xyobaZ(a,b)z=a+bi复数复数z=a+bi复平面内的点复平面内的点Z(a,b)一一对应一一对应这是复数的一种几何意义这是复数的一种几何意义 在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样，数是一一对应的，这样，我们还可以用平面向量我们还可以用平面向量来

9、表示复数来表示复数复数复数z=a+bi一一对应一一对应这是复数的另一种几何意义这是复数的另一种几何意义OZ平面向量五五.复数的几何意义复数的几何意义xyobaZ(a,b)z=a+bi复数复数z=a+bi复平面内的点复平面内的点Z(a,b)一一对应一一对应这是复数的一种几何意义这是复数的一种几何意义 为方便起见，我们常为方便起见，我们常把复数把复数z=a+bi说成点说成点Z或者说成向量或者说成向量 ，并，并且规定，相等的向量表且规定，相等的向量表示同一个复数示同一个复数.复数复数z=a+bi一一对应一一对应这是复数的另一种几何意义这是复数的另一种几何意义OZ平面向量OZ.biazbiazOZ或的

10、模，记作的模叫做复数我们把五五.复数的几何意义复数的几何意义(A)在复平面内，对应于实数的点都在实在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上；轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上；虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数；数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。数都是纯虚数。辨析：辨析：1下列命题中的假命题是（下列命题中的假命题是（ ）D六六.巩固练习巩固练习 2“a=0”是是“复数复数a+bi (a , bR)所对所对应的点在虚轴上应的点在虚

11、轴上”的（的（ ）。）。 (A)必要不充分条件必要不充分条件 (B)充分不必要条件充分不必要条件 (C)充要条件充要条件 (D)不充分不必要条件不充分不必要条件C六六.巩固练习巩固练习3.3.已知复数已知复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所对应在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数的点位于第二象限，求实数m m的取值范围。的取值范围。 020622mmmm解：由1223mmm或得)2 , 1 ()2, 3(m六六.巩固练习巩固练习4.证明复数证明复数z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i在复平面内所对应在复平面内所对应的点不可能位于第四象限。的点不可能位于第四象限。 点位于第四象限，证明：若复数所对应的020622mmmm则1123mmm或即不等式解集为空集不等式解集为空集所以复数所对应的点不可能位于第四象限所以复数所对应的点不可能位于第四象限.六六.巩固练习巩固练习课堂小结：课堂小结：一一. 复数的相关概念复数的相关概念二二. 复数的两种几何意义复数的两种几何意义