同济版大一高数第十章第三节三重积分ppt课件.ppt

《同济版大一高数第十章第三节三重积分ppt课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济版大一高数第十章第三节三重积分ppt课件.ppt（39页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1高等数学 第十七讲“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2第三节一、三重积分的概念三重积分的概念 二、三重积分的计算二、三重积分的计算三重积分的概念和计算方法 第十章 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为

2、重点的“群众性治安防控工程”。3一、三重积分的概念一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用kkkkv),( ),(kkkkv引例引例: 设在空间有限闭区域 内分布着某种不均匀的物质,),(Czyx求分布在 内的物质的可得nk 10limM“大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 求极限求极限”解决方法解决方法:质量 M .密度函数为“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4定义定义. 设,),( , ),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim

3、10存在,),(zyxfvzyxfd),(称为体积元素体积元素, vd.dddzyx若对 作任意分割任意分割: 任意取点任意取点则称此极限为函数在上的三重积分三重积分.在直角坐标系下常写作),2,1(nkvk,),(kkkkv下列“乘积和式” 极限记作记作由定义可知,引例中物体的质量为:vdzyxM,特别若在1,zyxf上那么三重积分在数值上就等于区域的体积即:VdV“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。5性质性质: 三重积分的性质与二重积分相似.例如 中值定理中值定

4、理.),(zyxf设在有界闭域 上连续,则存在,),(使得vzyxfd),(Vf),(V 为 的体积, 三重积分存在定理:当函数zyxfzyxf,上连续时在闭区域在区域上的三重积分必定存在,此时称函数.,上是可积的在zyxf“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。6二、三重积分的计算二、三重积分的计算1） 利用直角坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分方法方法2 . 投影法 (“先一后二”)方法方法3. 截面法 (“先二后一”) 方法方法1 . 三次积分法 ,0),(

5、zyxf先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7投影法方法方法1. 三次积分法三次积分法设区域:利用投影法结果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重积分化成vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxdzxyD),(2yxzz ),(1yxzz 二

6、次积分即得:vzyxfd),(Dyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(dd)(2xyxoyDbax)(1xy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021xy10 x )1(021dxy10d xx481面及平面“雪亮工程是以区（县）、乡（镇

7、）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9zxyDDyxdd 方法方法2. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),(),(),(21该物体的质量为vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(细长柱体微元的质量为),(2yxzz ),(1yxzz yxdd微元线密度记作“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中

8、心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10例例2: 计算zdydxdzxyIsin是由平面其中200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.0yzx22解法一解法一:采用先对z积分,将Izdzxx20sinydyx0 xd20 xd20ydxyxcos0241.面上区域投影到xoy200:20:xxyDxzyx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11ab方法方法3. 截面法截面法 (“先二后一先二

9、后一”)bzaDyxz),(:为底, d z 为高的柱形薄片质量为zD以xyz该物体的质量为vzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zd记作“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12xyz例例3. 计算三重积分,ddd2zyxz. 1:222222czbyax其中解解: :zyxzddd2czczbaz0222d)1(2czc2222221:czbyaxDzzDyxddczz02d23154

10、cbaabc用用“先二后一先二后一 ” zDz“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。13小结小结: 三重积分的计算方法三重积分的计算方法方法方法2. “先一后二先一后二”方法方法3. “先二后一先二后一”方法方法1. “三次积分三次积分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(ZDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具体计算时应根据vzyxfd),(vzyxfd)

11、,(三种方法(包含12种形式)各有特点,被积函数及积分域的特点灵活选择. “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。14oxyz2. 利用柱坐标计算三重积分利用柱坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设,代替用极坐标将yx),z（则就称为点M 的柱坐标.z200sinyzz cosx直角坐标与柱面坐标的关系:常数坐标面分别为圆柱面常数半平面常数z平面oz),(zyxM)0 ,(yx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网

12、格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。15如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为zzdddzvdddd因此zyxzyxfddd),(),(zF其中),sin,cos(),(zfzF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.zdddxyzodd积分域由抛物面、圆柱面、球面所围成。被积函数表达式中含有2222,zxyx等因子。“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“

13、群众性治安防控工程”。16其中为由例例1. 计算三重积分zyxyxzddd22xyx2220),0(, 0yaazz所围解解: 在柱面坐标系下:cos202ddcos342032acos2020az 0及平面2axyzozvdddd20dazz0dzzddd2原式298a柱面cos2成半圆柱体.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。17例例2: 求由圆柱面2040:40:yxDyz401622zyzyx及平面所围成的物体的质量. 物体的密度为22. ,.x y zxy

14、解解:vdyxMD22zdddD20d402dsin40zd204043sin4134d20sin643256d3512x0yz“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。18o oxyz例例3. 计算三重积分解解: 在柱面坐标系下h:hz42dhdh2022)4(124)41ln()41(4hhhhz h2020h202d120d,1ddd22yxzyxzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中由抛物面42zvdddd原式 =“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区

15、）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。19o oxyz例例3. 计算三重积分解解: 用先二后一h:hzI0dzdzh02)1ln(024)41ln()41(4hhhhz 0Z202d120d,1ddd22yxzyxIzyx422)0( hhz所围成 .与平面其中由抛物面zvddddzyxDZ4:22zD“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。20例例4. 计算,ddd)sin5(222

16、2zyxyxxyxI其中.4, 1),(2122围成由zzyxz解解:zyxxIddd2利用对称性zyxyxddd)(2122yxyxzzDdd)(d212241zrrz2032041ddd21214zxoy1zDzyxyxyxdddsin52220“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。213. 利用球坐标计算三重积分利用球坐标计算三重积分 ,R),(3zyxM设),(z其柱坐标为就称为点M 的球坐标.直角坐标与球面坐标的关系,ZOMMoxyzzr),(r则0200r

17、cossinrx sinsinry cosrz 坐标面分别为常数r球面常数半平面常数锥面, rOM 令),(rMsinrcosrz “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。22xyzo如图所示, 在球面坐标系中体积元素为ddrrdrdv d因此有zyxzyxfddd),(),(rF其中)cos,sinsin,cossin(),(rrrfrF适用范围适用范围:1) 积分域积分域表面用球面坐标表示时方程简单方程简单;2) 被积函数被积函数用球面坐标表示时变量互相分离变量互相

18、分离.dddsin2rrd积分域是由球面、锥面所围成。被积函数中含有222zyx的因子。dddsind2rrv drdsinr“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。23例例1.求曲面)0()(32222azazyx所围立体体积.解解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部,cos0:3ar 利用对称性, 所求立体体积为vVdrrad3cos02dcossin32203a331a3cosar ,202020dsin20d4yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标

19、系下所围立体为且关于 xoz dddsind2rrv yzxar“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。24例例2. 计算三重积分,)(222zdydxdzyx22yxz为锥面2222Rzyx解解: 在球面坐标系下:zyxzyxddd)(222所围立体.40Rr 020其中 与球面dddsind2rrv Rrr04d)22(515R40dsin20dxyzo4Rr “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础

20、、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。25zoxy2例例3. 设由锥面22yxz和球面4222zyx所围成 , 计算.d)(2vzyxI提示提示:4利用对称性vzyxd)(222vzxzyyxzyxId)222(222用球坐标 rr d420dsin4020d22532“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。26例例4：计算vdyxzI22所围成。平面和是由锥面其中122zyxz解法一解法一：采用球坐标计算ddrdrrrIsinsincos2152

21、cos10:r402020dsin22ryxcossinrx sinsinry 40cos1042cossinrdrdxyzo“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。27例例4：计算vdyxzI22所围成。平面和是由锥面其中122zyxz解法二解法二：采用三次定积分计算2010:1:yxDz101220zdzddddzdzI2152xyzo“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应

22、用为重点的“群众性治安防控工程”。28yxDydxdyxI22122yxzdzyxDydxdyxyx22221212021drdrrr1021152解法三：解法三：采用先一后二计算1:22zyx1:22 yxDyx例例4：计算vdyxzI22所围成。平面和是由锥面其中122zyxzxyzo“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。29解法四解法四：采用先二后一在处用垂直于z轴的平面去截,222:zyxDZ得到截面域zDydxdyx2210zdzI10zdz20dzrdr0

23、2152例例4：计算vdyxzI22所围成。平面和是由锥面其中122zyxzxyzozD(01)zz“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。30例例5. 计算,ddd12zyxxyI所围成. 其中 由1,1,12222yzxzxy分析分析：若用“先二后一”, 则有zxxyyIyDdd1d201zxxyyyDdd1d210计算较繁! 采用“三次积分”较好.1zxy1o1“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基

24、础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。31:4528 1122yzx1020:rDzx1zxy1o12122001cosIdrrd r211 rydy解法一解法一:例例5. 计算,ddd12zyxxyI所围成. 其中 由1,1,12222yzxzxy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。32:4528 1122yzx2211xzx11x1zxy1o1xxId1211zxxd2211yyzxd1122思考思考: 若被积函数为 f ( y ) 时,

25、 如何计算简便? 解法二解法二:例例5. 计算,ddd12zyxxyI所围成. 其中 由1,1,12222yzxzxy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。33例例6. 计算Idzezyyzy10)1 (2)1 (dzeydydxIzyyxx2)1 (101010)1 (解解: 积分域为平面 x + y + z =1 与三个坐标面所围四e41交换积分顺序， 得zx1y11zyD练习练习计算dzzzdydxIyx00101sin面体 ,dxzy10dydzeyzyDzy

26、2)1 ()1 (10)1 (dyy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。34内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域多由坐标面被积函数形式简洁, 或坐标系 体积元素 适用情况直角坐标系柱面坐标系球面坐标系* * 说明说明:三重积分也有类似二重积分的换元积分公式换元积分公式:),(),(wvuzyxJ对应雅可比行列式为*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf变量可分离.围成 ;“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中

27、心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。352,zxz1. 将. )(),(Czyxf用三次积分表示,2,0 xx,42, 1yxyvzyxfId),(其中由所提示提示:20 xxy21212 zxI2d),(xzzyxf xy2121d20d x思考与练习思考与练习六个平面围成 ,:“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。362. 设, 1:222zyx计算vzyxzyxzd1) 1ln(2222

28、22提示提示: 利用对称性原式 = 122ddyxyx0奇函数222211222222d1) 1ln(yxyxzzyxzyxz“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。37解法二解法二;采用先对0yzx222020:0:xxzDxyzxIzdzxx20sinydyx0 xd20 xdx2021zdzxx)(sin20241.面上区域投影到xozy积分,将例例2: 计算是由平面其中zdydxdzxyIsin200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.“雪亮工程是以区（县）、乡

29、（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。382020:2:22yyzDzxyzyIzdy220 xdzxzy22sinydy20241.面上区域投影到zoyx积分,将解法三解法三;采用先对例例2: 计算zdydxdzxyIsin是由平面其中200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.0yzx22“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。39220:20:2xyxzDyyIydy20 xdy22zdzxx)(sin20241解法四解法四: 若注意到变量y的取值介于两个常数,0y2y之间,且在y处用平行于坐标面zox的平面去截:,则有其截面域yDzdxdzxyDsinydy20先二后一0yzx22例例2: 计算是由平面其中zdydxdzxyIsin200zxzy及抛物面xy 所围成的区域.