同济版大一高数第十章第四节重积分的应用ppt课件.ppt

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1、“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1第四节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 重积分的应用 第十章 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。21. 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从积分定义出发 建

2、立积分式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 3. 解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的方法 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3xyz),(yxfz D、一般立体的体积2 dyxzyxzVD),(),(12 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyxdyxfvd,一、立体体积一、立体体积zxyD),(2yxzz ),(1yxzz “雪亮

3、工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。41体 的体积 V .DrdrdrrV)2(22212202drr提示提示: 先求曲面的交线在 xoy 面上的投影域 D.)(22222yxzyxz与所围立)(22222yxzyxz消去 z 得D 的边界 由0122zyx例例1. 求由曲面ozxy2222DDdr rdrd“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。

4、522243Ryx22243:RyxD222yxRVDrdrrRdR230222023125R例例2.求球体2222Rzyx公共部分体积.与Rzzyx2222求两球交线的投影.解：解：由投影域2222RzyxRzzyx2222消去z得dyxRR)(222Rzyxo2RDDdRRzyxo2RD“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。6例例3. 求由平面所围成的柱体被平面及旋转抛物面截得的立体的体积V .1xy, 0y, 0 x0z)(622yxzx+ y =1D y xO

5、11解解:.10, 10:xyxDDdxdyyxV)(6221120032xx dxdy1203(1)xx dx617xzx+ y=16yDDdxdy622Dx dxdy“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。7xoyza2例例4 4. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20dr

6、rvdddsind2rM“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。8高等数学 第十六讲“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。9MAdzdn二、曲面的面积二、曲面的面积xyzSo设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,Adcosd

7、1 ,yxffnd),(),(1d22yxfyxfAyx称为面积元素则Mnd),(),(11cos22yxfyxfyx“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。10故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyD即“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监

8、控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。11xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。12例例1. 计算双曲抛物面yxz 被柱面222Ryx所截解解: 曲面在 xoy 面上投影为,:222RyxD则yxzzADyxdd122yxyxDdd122r

9、rrRd1d0220 )1)1( 32232R出的面积 A .“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。13求球面2222azyx ，含在圆柱体 axyx 22内部的那部分面积. 由对称性知由对称性知14AA , 1D：axyx 22 曲面方程 222yxaz , 于是 ,222yxaa解解)0,( yx例例2221yzxzoxyza2“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重

10、点的“群众性治安防控工程”。14面积面积 dxdyzzADyx 12214 12224Ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa oxyza2“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。15例例3. 计算半径为 a 的球的表面积.解解:设球面方程为 ar球面面积元素为ddsind2aA 0202dsindaA24asinada方法方法2 利用直角坐标方程. (见书 P167)方法方法1 利用球坐标方程.axyzoddsina“雪亮工程是以区（县）

11、、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。16例例4. 求由曲面zayx22222yxaz和所围成的体积 V 和表面积 S . 解解: (1) 易求出,:222ayxDyx利用二重积分,得yxDVrdrrrdaaa)(2210203365ayzaoxa2222yxaydxdayx22vdV或azzda0aazdza22)2(365azDadxdyzd0zDaadxdyzd2)0( a“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公

12、共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。172212)155(61aSSSdxdyzzyx221yxDS1dxdySyxD 12222yxx222yxydxdyyxD222a(2)dxdyyxaDyx)(1224220daardrr02421) 155(26ayzaoxa2“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。18三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点, ),(kkkzyx其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11nk

13、knkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 可导出其质心 “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。19将 分成 n 小块, ),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似

14、该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。20同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“

15、群众性治安防控工程”。21若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度 xMyM 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。224例例1. 求位于两圆sin2rsin4r和的形心. 2D解解: 利用对称性可知0 x而

16、DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212oyxC“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。23 设设平平面面薄薄板板由由 )cos1()sin(tayttax，)20( t与与x轴轴围围成成，它它的的面面密密度度1 ，求求形形心心坐坐标标 解解先先求求区区域域 D的的面面积积 A， 20t， adxxyA20)( 0)sin()cos1 (2ttadta022

17、)cos1 (2dtta.3221431622aaDa 2a )(xy例例2 202222)2sin2(4tdta2042sin16udua2tu ax 20 利用对称性利用对称性“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。24 所所以以形形心心在在 ax 上上， 即即 ax , DydxdyAy1)(0201xyaydydxAadxxya2022)(61203cos1 6dttaa65 所求形心坐标为所求形心坐标为 由由于于区区域域关关于于直直线线 ax 对对称称 ， D

18、a 2a )(xyaa65,.32aA 设设平平面面薄薄板板由由 )cos1()sin(tayttax，)20( t与与x轴轴围围成成，它它的的面面密密度度1 ，求求形形心心坐坐标标 例例2“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。25例例3. 计算,dd)35(DyxyxI其中D 是由曲044222yxyx所围成的平面域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐标为:面积为:9ADyxxIdd5923) 1(5ADyxydd3积分区域线形心坐标2,1yxDyxxAxd

19、d1DyxyAydd1AyAx35“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。26四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数. ),(zyx该物体位于(x , y , z) 处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22zIdxyoz对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和, 故连续体的转动惯量可用积分计算. “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村

20、（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。27类似可得: ( , , )d d dxIx y zx y z ( , , )d d dyIx y zx y z ( , , )d d doIx y zx y z)(22zy )(22zx )(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量21zyxIII“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。28如果物体是平面薄片,

21、面密度为Dyxyx),(),(DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( “雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。29rraddsin0302例例1.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量221aM 2212oxyDaa的转动惯量.“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。3022sinr解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例例2.2.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标)