初中数学九年级寒假班第5讲：长方体与三角形-学生版.docx

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1、中考复习长方体与三角形知识结构模块一：长方体的再认识知识精讲1、 长方体的元素及特征1、元素：长方体有六个面，八个顶点，十二条棱2、特征：（1）长方体的每个面都是长方形（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等（3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同2、 长方体的直观图画法：斜二侧画法水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，（如图1所示）第二步：过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高（如图2所示）第三步：顺次联结

2、E、F、G、H（如图3所示）第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示（如图4所示）ABCDABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGH图1图2图3图4图4表示的长方体通常表示为ABCD-EFGH它的六个面通常表示为：平面ABCD、平面ABFE、平面BCGF等它的十二条棱通常分别表示为：棱AB、棱AE、棱EF等3、 长方体中棱与棱的位置关系如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面

3、4、 长方体中棱与平面的位置关系ABCDPQABCDPQ图5图6如图5，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线PQ平面ABCD，读作：直线PQ垂直于平面ABCD如图6，直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ/ 平面ABCD，读作：直线PQ平行于平面ABCD如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：棱EF与面BCGF，棱FG与面ABFE，棱BF与面ABCD都给我们以直线与平面垂直的形象棱EF与面ABCD，棱BF与面ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象5、 长方体中平面与平面的位置关系如图7，平面垂直于平面，记作平面平面，读作平面垂直于平面如图8，平面平行于平面，记作平面/平面，读作平面平行

4、于平面如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：面EFGH，面ABFE与面BCGF三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象面ABCD与面EFGH，面BCGF与面ADHE，面ABFE与面DCGH，都给我们以平面与平面平行的形象例题解析ABCDEFGH【例1】 如图，已知长方体ABCD-EFGH（1）哪些棱与AB平行？（2）哪些棱与AB垂直？（3）哪些棱与AB异面？ABCDEFGH【例2】 如图，已知长方体ABCD-EFGH，与平面ADHE平行的平面是_，与平面ADHE垂直的平面是_【例3】 下列关于长方体的说法中正确的是( )A长方体中互相平行的棱不一定相等B长方体中12条棱的位置关系只有

5、平行和相交C长方体中相对的两个面一定平行D长方体中6个面的面积都相等【例4】 关于长方体有下列三个结论：长方体中每个面都是长方形；长方体中每两个面都互相垂直；长方体中相对的两个面是全等的长方形其中结论错误的个数是( )A0个B1个C2个D3个ABCDEFGH【例5】 如图，已知长方体ABCD-EFGH这个长方体中与棱HE平行的平面是_，与棱HE垂直的平面是_【例6】 已知一个长方体的长、宽、高的比是3 : 2 : 1，它的所有棱长的和是72 cm，那么这个长方体的体积是_模块二：相交线与平行线知识精讲1、 邻补角1、邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两

6、个角叫做互为邻补角如图，与有一条公共边OD，它们的另一条边OA、OB互为反向延长线，则与互为邻补角ADOB122、若与互为邻补角，则3、互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角2、 对顶角1、对顶角的概念：两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角叫做互为对顶角如图，与有一个公共顶点O，并且的两边OB、OC分别与的两边OA、OD互为反向延长线，则与互为对顶角34ABCDO2、对顶角相等3、 垂线1、垂线的概念：如果两条直线的夹角为直角，那么就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足2、垂直的符号：记

7、作：“”，读作：“垂直于”，如：，读作“AB垂直于CD”注：垂直是特殊的相交3、在平面内，过直线上或直的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只能作一条简单地说：过一点，有且仅有一条直线与已知直线垂直4、联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短5、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离如果一个点在直线l上，那么就说这个点到直线l的距离为零4、 同位角、内错角、同旁内角若直线a，b被直线l所截：（1）同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角叫做同位角如：和abl12345678（2）内错角：两个角分别在截线的两侧，且在两条直

8、线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角如：和（3）同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角如和注意：三线八角是位置关系，数量上没有确定的关系5、 平行线1、平行线的定义：同一平面内不想交的两条直线叫做平行线“平行”用符号“/”表示2、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行3、平行线的判定：（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行简单地说，同位角相等，两直线平行（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行简单地说，内错角相等，两直线平行（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那

9、么这两条直线平行简单地说，同旁内角互补，两直线平行4、平行线的性质：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简单地说：两直线平行，同位角相等（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简单地说：两直线平行，内错角相等（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简单地说：两直线平行，同旁内角互补相等（4）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（5）两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离例题解析【例7】 如图，的邻补角为_，的对顶角为_；在图中，找出一对同位角，可以是_和_，找出一对同旁内角，可以是_和_A

10、BCDEF【例8】 在同一平面中，如果直线，那么直线a与c的位置关系是_；如果直线a / b，那么直线b与c的位置关系是_ABCDEF【例9】 如图，已知AB / CD，BF与CD相交于点E，如果，那么_【例10】 下列说法正确的是( )A直线外一点到这条直线的距离是这点到这条直线的垂线段B同位角相等C如果两个角互补，那么这两个角是邻补角D过一点有且只有一条直线垂直于已知直线【例11】 已知直线/，直线分别与直线、直线相交；点A在直线上，点B在直线上，点A、B在直线的同侧；点C在直线上，且点C不在与上设直线AC与所夹的锐角为，直线BC与所夹的锐角为试问、之间有怎样的数量关系？证明你的结论模块三

11、：三角形知识精讲一、 三角形的边与角1、三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边2、三角形的高、中线、角平分线：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高；联结三角形一个顶点及其对边中点的线段叫做三角形的中线；三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线3、三角形的内角和：三角形的内角和等于180一个三角形的三个内角中最多有一个钝角或直角4、三角形的外角：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（2）三角形的外角和定义：对于三角形的每个内角，从与它相邻的两个外角中取一

12、个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和；三角形的外角和等于3605、三角形的分类三角形（按角分）；三角形（按边分）二、 全等三角形1、全等形的概念：能够重合的两个图形叫做全等形2、全等三角形的性质和判定方法：一般三角形直角三角形判定边角边（SAS）角边角（ASA）角角边（AAS）边边边（SSS）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；全等三角形面积相等3、证明题的思路：三、 等腰三角形1、等腰三角形的两个底角相等，简称：等边对等角2、等腰三角形的顶角平

13、分线、底边上的中线、底边的高互相重合，简称：等腰三角形三线合一3、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的角平分线所在的直线4、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形是等腰三角形简称：等角对等边四、 直角三角形1、直角三角形全等的判定：斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）2、直角三角形的性质：（1）两个定理定理1：直角三角形的两个锐角互余；定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）两个推论推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么

14、这条直角边所对的角等于303、勾股定理（1）如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（2）勾股定理逆定理：如果三角形的三边满足，那么三角形是直角三角形例题解析【例12】 （2014学年杨浦区二模第4题）下列命题中，真命题是( )A周长相等的锐角三角形都全等B周长相等的直角三角形都全等C周长相等的钝角三角形都全等D周长相等的等腰直角三角形都全等【例13】 （2015学年闸北区二模第5题）如图，已知，则不一定能使的条件是( )CDABABCD【例14】 （2015学年徐汇区二模第6题）下列命题中假命题是( )A两边及第三边上的高对应相等的

15、两个三角形全等B两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等C两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等D两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等【例15】 （2014学年静安区、青浦区二模第6题）三角形的内心是( )A三边垂直平分线的交点B三条角平分线的交点C三条高所在直线的交点D三条中线的交点【例16】 （2015学年静安区二模第15题）在中，、的平分线相交于点E，那么的度数是_【例17】 （2014学年静安区、青浦区二模第13题）如图，在中，AB = 2AC，点E在中线CD上，BE平分，那么的度数是_ABCDE【例18】 （2014学年徐汇区二模第4题）如图，已知中，CH、CM分别是

16、斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是( )ABABCMHCD【例19】 （2014学年徐汇区二模第16题）如图，DE为的中位线，点F在DE上，且为直角，若AB= 8，BC= 10，则EF的长为_BAEFCD【例20】 如图，网格中小正方形的边长均为1，的三个顶点在格点上ABC求证：是等腰直角三角形ABCD【例21】 如图，已知中，AD平分，交边BC于点D，AB = 10，AC = 6，求点D到边AB的距离ABCDEP【例22】 如图，等边三角形ABC的两条角平分线BD、CE相交于点P，BP = 10 cm，求PD的长ABCEFD【例23】 （2014学年崇明县区二模第15题）如图，已知和

17、均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于点F，如果AB = 9，BD = 3，那么CF的长度为_【例24】 （2014学年虹口区二模第14题）在中，点G是的重心，如果CG = 6，那么斜边AB的长等于_【例25】 如果等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么这个三角形的顶角的度数为_【例26】 （2015学年宝山区、嘉定区二模第21题）如图，在中，按以下步骤作图：分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，相交于两点M，N；联结MN，直线MN交的边AC于点D，联结BD如果此时测得，BC=CD求与的度数【例27】 已知中，AC = 4，BC = 3以的边AC为一边的等腰三角形，它的第三个顶点D

18、在的斜边AB上，求这个等腰三角形的周长【例28】 已知中，AB = AC，D为BC的中点（1）如图，E、F分别是AB、AC上的点，且BE = AF，求证：是等腰直角三角形（2）如果E、F分别是AB和CA的延长线上的点，且BE = AF，那么是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论ABCDEF【例29】 如图，在形外作等腰和等腰，使，作于H，延长HA，交DE于M，求证：DM = MEABCDEMH【例30】 如图，在菱形ABCD中，M、N分别为BC、CD上的点，求证：若有一个内角等于60，则是正三角形ABCDNM随堂检测【习题1】 （2015学年奉贤区二模第5题）下列说法中，正确的是( )A关于某条

19、直线对称的两个三角形一定全等B两个全等三角形一定关于某条直线对称C面积相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称DCBAD周长相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称【习题2】 （2014学年长宁区、金山区二模第7题）如图，已知AD是的边BC上的高，下列能使的条件是( )ABCD【习题3】 画一个长、宽、高分别为3 cm、2 cm、2.5 cm的长方体的直观图ABCDEP【习题4】 如图，已知等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边BC上，AD = BE，那么_【习题5】 （2015学年崇明县二模第14题）如图，在已知的中，DNABCM按以下步骤作图： 分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半

20、径作弧，两弧相交于两点M，N； 作直线MN交AB于点D，连接CD若，则的度数为_ABCI【习题6】 已知中，和两角的平分线相交于点I，求的度数【习题7】 已知：如图，在四边形ABCD中，BC BA，AD = DC，BD平分ABCD求证：ABCD【习题8】 已知：如图，在四边形ABCD中，BD = DC，BC = 2AB求证：点D在的角平分线上【习题9】 已知，在中，AB = AC，点P在直线BC上，PDAB于点D，PEAC于点E，BH是的高（1）当点P在边BC上时（如图），求证：；ABCDEPH（2）当点P在边BC的延长线上时，试探索PD、PE、BH之间的数量关系ABCDEFG【习题10】 （

21、2014学年徐汇区二模第23题）如图，已知在正方形ABCD中，点E在CD边上，过C点作AE的垂线交于点F，联结DF，过点D作DF的垂线交AF于点G，联结BG（1）求证：；（2）如果E为CD的中点，求证：课后作业【作业1】 （2015学年徐汇区二模第3题）如图，在中，BC的垂直平分线EF交的平分线BD于E，如果，那么的大小是( )BADCEFA24B30C32D36ABCDE【作业2】 （2014学年金山区二模第5题）如图，AB / CD，那么等于( )A13B14C15D16【作业3】 （2014学年虹口区二模第6题）下列命题中，真命题是( )A有两边和一角对应相等的两个三角形全等B有两边和第

22、三边上的高对应相等的两个三角形全等C有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等D有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等ABCDEFGH【作业4】 已知长方体ABCD-EFGH的直观图如图所示，图中AD = 2 cm，那么长方体中棱AD的实际长度是_cmABCDEFGPQ【作业5】 已知：如图，DE / FG，和的平分线交于点C，过点C的直线交射线AE于点P，交射线BG于点Q求证：【作业6】 已知，中，D是边BC上一点，垂足是点E，DF交边AC于点F，求的度数ABCDEF【作业7】 已知：如图，在中，AB = AC，ADBC，垂足为点D，BE = CFABCDEF求证：DE = DF【作业8】 如图，已知AD / BC，点E是DC的中点，AE平分，求的度数ABCDE【作业9】 已知三角形的两边长分别为17 cm和10 cm，第三条边上的高为8 cm，求这个三角形的面积ABCDNM【作业10】 如图，已知是边长为9的等边三角形，是等腰三角形，且以D为顶点作一个60角，使其两边分别交边AB于点M，交边AC于点N，联结MN，求的周长19 / 20