2022年高考艺术类考生数学考前突围专题椭圆基础篇解析 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载2016 艺体生文化课 - 百日突围系列椭圆的定义与标准方程【背一背基础知识 】1椭圆的定义：平面内与两个定点12,FF的距离之和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆这两个定点12,FF叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的定义用符号语言表示：12122MFMFaF F说明：当12122MFMFaF F时，无轨迹；当12122MFMFaF F时，轨迹为线段12F F2椭圆的标准方程：（1）焦点在x轴上的椭圆的标准方程：222210 xyabab，焦点12,0 ,0FcFc；（2）焦点在y轴上的椭圆的标准方程：222210yxabab，焦点120,0,FcFc其中,

2、 ,a b c几何意义：a表示长轴长的一半，b表示短轴长的一半，c表示焦距长的一半，并且有222abc3椭圆的一般方程：2210,0,AxByABAB【讲一讲基本技能 】1必备技能：（1）在高考中，对于椭圆部分内容，在选择题或填空题中一般考查考生椭圆的定义、离心率、焦点坐标等基础知识的掌握情况；解答题中考查考生在求解椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的数学思想的掌握情况（2）求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在x 轴还是 y 轴上“定式”就是根据“形”精选学习资料 - -

3、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页学习好资料欢迎下载设出椭圆的具体形式，若焦点在x 轴上，则设方程为222210 xyabab；若焦点在y 轴上，则设方程为222210yxabab；若焦点位置不确定，可设方程为2210,0,AxByABAB “定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数,a b或,A B2典型例题例 1 已知椭圆222125xym（0m）的左焦点为1F4,0，则m（）A9B4C3D2【答案】 C 【解析】由题意得：222549m，因为0m，所以3m，故选 C 【考点定位】椭圆的简单几何性质【名师点晴】本题主要考查的是

4、椭圆的简单几何性质，属于容易题解题时要注意椭圆的焦点落在哪个轴上， 否则很容易出现错误 解本题需要掌握的知识点是椭圆的简单几何性质，即椭圆22221xyab（0ab）的左焦点1F,0c，右焦点2F,0c，其中222abc例 2 已知椭圆C：22221(0)xyabab的左右焦点为F1，F2离心率为33，过 F2的直线 l 交 C与 A，B两点，若 AF1B的周长为4 3，则 C的方程为（）A22132xyB2213xyC221128xyD221124xy【分析】由椭圆的定义确定a，再利用离心率求c，最后由求b，从而的椭圆方程【答案】 A【方法总结】用待定系数法求椭圆标准方程时，若焦点位置明确，

5、则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页学习好资料欢迎下载By21(A0，B0，A B)例 3已知 F1，F2是椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上的一点， 且PF1PF2若 PF1F2的面积为9，则 b_【分析】关键抓住点P 为椭 圆 C 上的一点，从而有|PF1|PF2|2a，再利用 PF1 PF2进 而求解【答案】 3【方法总结】椭圆上一点P

6、与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1| |PF2|；通过整体代入可求其面积等【练一练趁热打铁 】1过点 (3，5)，且与椭圆y225x291 有相同焦点的椭圆的标准方程为_【分析】利用定义法或待定系数法求解【解析】法一：椭圆y225x291 的焦点为 (0， 4)，(0，4)，即 c4由椭圆的定义知，2a（30）2（54）2（30）2（54）2，解得 a2 5由 c2 a2 b2可得b24所以所求椭圆的标准方程为y220 x241法二：因为所求椭圆与椭圆y225x291 的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c2 259 16设它的

7、标准方程为y2a2x2b21(ab0)因为 c216，且 c2a2b2，故 a2b216又点 (3，5)在所求椭圆上，所以（5）2a2（3）2b21，即5a23b21由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为y220 x24 1【方法总结】(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线，则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解；(2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应，要注意字母的取值范围精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页学习好资料欢迎下载椭圆的几何性质【背一背基础知识 】椭圆的简单

8、几何性质（以222210 xyabab为例）：如图 1 所示，填写各空(1)范围：,xa yb(2)对称性：关于x轴、y轴以及原点对称，对称轴为x轴、y轴，对称中心为0,0O(3)顶点：1212,0 ,0 ,0,0,AaAaBbBb长轴长122A Aa，短轴长122B Bb(4)离心率cea，01ee越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁总结可得如下表格：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210 xyabab222210yxabab定义到两定点21FF、的距离之和等于常数2a，即21|2MFMFa（212|aF F）范围axa且bybbxb且aya图 1 精选学习资料 - - -

9、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页学习好资料欢迎下载顶点1,0 ,a2,0 ,a10,b20,b10,a20,a1,0 ,b2,0b轴长长轴的长2a，短轴的长2b对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122()F Fccab离心率22222221(01)ccabbeeaaaa焦点三角 形面积1 2212tan()2MF FSbF MF弦长公式1,12,2(),()A x yB x y，22212121211()4ABkxxkxxx x【讲一讲基本技能 】1必备技能：讨论椭圆的几何

10、性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得,a c的值，直接代入公式cea求得；（2）列出关于, ,a b c的齐次方程（或不等式），然后根据222bac，消去b，转化为关于e的方程（或不等式）求解2典型例题例 1 已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为F短轴的一个端点为M，直线:340lxy交椭圆E于,A B两点 若4AFBF，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A3(0,2 B3(0,4 C 3,1)2 D 3,1)4【答案】 A 【解析】设左焦点为F，连接1AF，1BF则四边形1BF AF是平行四边形，故1AFBF，所以142

11、AFAFa，所以2a，设(0, )Mb，则4455b，故1b，从而221ac，203c，03c，所以 椭圆E的离心率的取值范围是3(0,2，故选 A精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页学习好资料欢迎下载【考点定位】1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式【名师点睛】 本题考查椭圆的简单几何性质，将4AFBF转化为142AFAFa，进而确定a的值，是本题关键所在，体现了椭圆的对称性和椭圆概念的重要性，属于难题求离心率取值范围就是利用代数方法或平面几何知识寻找椭圆中基本量, ,a b c满足的不等量关系，以确定

12、ca的取值范围例 2 椭圆22221xyab（0ab）的右焦点F,0c关于直线byxc的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是【答案】22【考点定位】1. 点关于直线对称；2. 椭圆的离心率 . 【名师点睛】本题主要考查椭圆的离心率. 利用点关于直线对称的关系，计算得到右焦点的对称点，通过该点在椭圆上，代入方程，转化得到关于,a c的方程，由此计算离心率. 本题属于中等题。主要考查学生基本的运算能力 . 【方法总结】求椭圆的离心率，常见的有三种方法：一是通过已知条件列方程组，解出a，c 的值；二是由已知条件得出关于a， c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；三是通过取特殊值

13、或特殊位置，求出离心率【练一练趁热打铁 】1设AB是椭圆的长轴，点C在上，且4CBA若4AB，2BC，则的两个焦点之间的距离为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页学习好资料欢迎下载【答案】4 632过点(1,1)M作斜率为12的直线与椭圆C：22221(0)xyabab相交于,A B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为【答案】223已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1求椭圆 C 的标准方程；【答案】椭圆C 的标准方程为x24y23 1【解析】由题意设

14、椭圆的标准方程为x2a2y2b21(a b0)ac3，ac1，a2，c1，b23，x24y231直线与椭圆的位置关系【背一背基础知识 】椭圆方程：222210 xyabab，直线斜率为k，弦长公式1,12,2(),()A x yB x y，22212121211()4ABkxxkxxx x【讲一讲基本技能 】1必备技能：解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤：(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页学习好资料欢迎下载(3)应

15、用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解2典型例题例 1 如图， F1、F2分别是椭圆C：x2a2y2b21(a b0)的左、右焦点，A 是椭圆 C 的顶点， B 是直线 AF2与椭圆 C 的另一个交点，F1AF260 (1)求椭圆 C 的离心率；(2)已知 AF1B 的面积为403，求 a，b 的值【答案】 (1) e12；(2) a10， b53例 2在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，直线yx被椭圆C截得的线段长为4 105（）求椭圆C的方程；（） 过原点的直线与椭圆C交于,A B两点（,A B不是椭圆C的

16、顶点）点D在椭圆C上，且ADAB，直线BD与x轴、y轴分别交于,MN两点设直线,BD AM的斜率分别为12,k k，证明存在常数使得12kk，并求出的值【答案】（1）2214xy （2）存在常数12使得结论成立【解析】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页学习好资料欢迎下载【分析】（1）首先由题意得到2232aba，即224ab将yx代入2224xya可得55ax，由2 54 10255a，可得2a1b得解（ 2）注意从确定12,k k的表达式入手，探求使12kk成立的设111122(,)(0),(,)A xyx yD

17、 xy，则11(,)Bxy，得到1211121144yyykxxkx，根据直线BD 的方程为1111()4yyyxxx，令0y，得13xx，即1(3,0)Mx得到1212ykx由1212kk，作出结论（2）设111122(,)(0),(,)A x yx yD xy，则11(,)Bxy，因为直线AB的斜率11ABykx，又ABAD，所以直线AD 的斜率11xky，设直线AD 的方程为ykxm，由题意知0,0km，由2214ykxmxy，可得222(14)8440kxmkxm所以122814mkxxk，因此121222()214myyk xxmk，由题意知，12xx，所以1211121144yyy

18、kxxkx，所以直线BD的方程为1111()4yyyxxx，令0y，得13xx，即1(3,0)Mx可得1212ykx所以1212kk，即12因此存在常数12使得结论成立【练一练趁热打铁 】1. 设椭圆 E的方程为22221(0),xyabab点 O为坐标原点， 点 A的坐标为( ,0)a, 点 B的坐标为（0， b） ,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页学习好资料欢迎下载点 M在线段 AB上，满足2,BMMA直线 OM 的斜率为510. （）求E的离心率e; （）设点C的坐标为（ 0，-b ）,N 为线段 AC的中

19、点，证明：MN AB. 【答案】（）2 55（）详见解析. 【解析】【考点定位】本题主要考查椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系等基础知识. 【名师点睛】本题主要将椭圆的性质与求椭圆的离心率相结合，同时考查了中点坐标公式，以及解析几何中直线与直线垂直的常用方法，本题考查了考生的基本运算能力和综合分析能力. 2. 如图，椭圆2222:1(0)xyEabab经过点(0, 1)A，且离心率为22. (I) 求椭圆E的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点,P Q（均异于点A） ， 证明： 直线AP与AQ的斜率之和为2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名

20、师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页学习好资料欢迎下载【答案】 (I)2212xy； (II)证明略，详见解析. 【解析】(II)由题设知，直线PQ的方程为(1)1(2)yk xk，代入2212xy，得22(12)4 (1)2 (2)0kxk kxk k，由已知0，设1122,P x yQ x y，120 x x则1212224 (1)2 (2),1212k kk kxxx xkk，从而直线AP与AQ的斜率之和121212111122APAQyykxkkxkkkxxxx121212112(2)2(2)xxkkkkxxx x4 (1)222(21)22 (2)k kk

21、kkkk k. 【考点定位】1. 椭圆的标准方程；2. 圆锥曲线的定值问题. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页学习好资料欢迎下载【名师点睛】定值问题的处理常见的方法：（1）通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性的证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形形式，证明该式是恒定的，如果以客观题形式出现，特殊方法往往比较快速奏效；（2）进行一般计算推理求出其结果. （一）选择题（ 12*5=60 分）1下列曲线中焦点坐标为)0, 1(的是（）A223312xyBy 4x2 C22143x

22、yD22123xy【答案】 A2已知点P是以21, FF为焦点的椭圆)0( 12222babyax上一点，若021PFPF，21tan21FPF，则椭圆的离心率为（）（A）31（ B）21（C）32（D）35【答案】 D【解析】由1212090PFPFF PF，设2PFm，由题意得，12PFm，由椭圆的定义，可得1223PFPFam，根据勾股定理得1252F Fmc，所以255233cmeam，故选 D3曲线2216106xymmm与曲线221 5959xnnny的（）A焦距相等 B离心率相等 C准线相同 D焦点相同精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

23、 - - -第 12 页，共 18 页学习好资料欢迎下载【答案】 A【 解 析 】 由2216106xymmm表 示2221 0,6,4am bm c焦 点 在x轴 上 的 椭 圆 曲 线221 5959nnnxy的标准方程为22195nnyx表示222229,5,4an bncab焦点在 y轴上的双曲线，其中c 相等，所以焦距相等，故选A4若点 O和 F 分别为椭圆22143xy的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为A2 B 3 C6 D8【答案】 C5已知21,FF是椭圆191622yx的两个焦点，过1F的直线与椭圆交于、两点，则2MNF的周长为A16 B 8 C

24、25 D32【答案】 A 【解析】由椭圆的定义，得2MNF的周长212122()(NFNFMFMFNFMFMNL1644422aaa6 “0, 0 ba”是“方程122byax表示椭圆”的A、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】bababyax,0,0122，所以“0,0 ba”是“方程122byax表示椭圆”的必要不充分条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页学习好资料欢迎下载7设12,FF是椭圆1C：22221xyab（0ab）与双曲线2C的公共焦

25、点，它们在第一象限交于点M，离心率分别为1e和2e，且线段1MF的垂直平分线过2F，则2112ee的最小值为（）A32 2 B32 C23 2 D22【答案】 D8直线220 xy经过椭圆22221(0)xyabab的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A、55 B、12 C、2 55 D、23【答案】 C【解析】由题可知：直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，因此cbk21，故2242cbcb，又因为在椭圆中有222cba，故2254ca，因此552ace912,FF是椭圆22197xy的两个焦点，A点是椭圆上一点，且124AF F，则12AF F的面积为 （）A7 B74 C72 D7

26、52【答案】 C【解析】由题意372abc，得12=22F F，由椭圆的定义可以得到216AFAF，利用余弦定 理222221121121121?458=6AFAFF FAFF F cosAFAFAF24， 求 出172AF， 故 三 角 形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页学习好资料欢迎下载12AF F面积17272 22222S10若抛物线pxy22的焦点与椭圆12622yx的右焦点重合，则P的值为（）A -2 B 2 C 4 D 8【答案】 C【解析】由222226,24abcab知得到椭圆的右焦点为2,0

27、，所以抛物线pxy22的焦点2,0，则4p11过椭圆22221xyab)0(ba的左焦点F1作 x 轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点， 若 F1PF260，则椭圆的离心率为（） A25 B33 C21 D31【答案】 B12若椭圆22221xyab过抛物线xy82的焦点，且与双曲线122yx有相同的焦点，则该椭圆的方程是（）A12422yxB1322yxC14222yxD1322yx【答案】 A【解析】抛物线xy82的焦点坐标为（2，0） ， 双曲线122yx的焦点坐标为)0,2(，)0 ,2(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15

28、 页，共 18 页学习好资料欢迎下载所以椭圆过点（2，0） ，且椭圆的焦距为222c，即2c， 则22222bcba所以，可设椭圆的方程为：122222bybx，将（ 2，0）代入得1242b，即22b所以该椭圆的方程为：12422yx（二）填空题（ 4*5=20 分）13一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为. 【答案】22325()24xy【考点定位】椭圆的几何性质；圆的标准方程【名师点睛】本题考查椭圆的性质及圆的标准方程，本题结合椭圆的图形可知圆过椭圆的上下顶点与左顶点（或右顶点） ，有圆的性质知，圆心在x 轴上，设出圆心，算出半径，根据垂

29、径定理列出关于圆心的方程，解出圆心坐标，即可写出圆的方程，细心观察圆与椭圆的特征是解题的关键. 14如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆222210 xyabab的离心率为22，且右焦点F到左准线 l 的距离为3. 则椭圆的标准方程为 . 【答案】2212xy【解析】B A O x y l P C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页学习好资料欢迎下载由题意，得22ca且23acc，解得2a，1c，则1b，所以椭圆的标准方程为2212xy此时直线方程为1yx或1yx【考点定位】椭圆方程，【名师点晴】求椭圆标准方

30、程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a， b，c 的方程组，解出a2，b2，从而写出椭圆的标准方程15平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2222+=1(0)xybb的离心率为32，且点（3，12）在椭圆C上. 则椭圆C的方程为 . 【答案】2214xy16方程11422tytx表示曲线C，给出以下命题：曲线 C不可能为圆；若曲线C为双曲线 ，则1t或4t；若41t，则曲线C为椭圆；若曲线C为焦点在x 轴上的椭圆，则1t52其中真命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】当25t时，曲线C 表示圆.2322yx，故不对；当25t时，曲线为圆而不是椭圆，故不对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页学习好资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页