初中数学八年级秋季班-第19讲：勾股定理及两点间的距离公式-马秋燕.docx

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1、八年级秋季班勾股定理及两点间的距离公式内容分析本章节主要讲解两部分内容，一是直角三角形的三条边之间的数量关系即勾股定理，包括勾股定理的证明、应用及逆定理的证明和应用两方面；二是两点间的距离公式难点是勾股定理的证明及应用，它是解决直角三角形三边之间关系的常用方法，是一个工具公式，在以后的学习中运用非常广泛知识结构模块一：勾股定理的证明及应用知识精讲1、 勾股定理：（1） 直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2） 应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程

2、，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想例题解析【例1】 （1）在直角ABC中，C=90，A=30，BC=1，则AB=_；（2）在直角ABC中，C=90，A=45，AB=3，则AC=_【难度】【答案】【解析】【例2】 （1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是_；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为_【难度】【答案】【解析】【例3】 （1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_；（2）直角三角形两直角边长为3和4，

3、则此三角形斜边上的高为_；（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是_【难度】【答案】【解析】【例4】 （1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是_；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为_【难度】【答案】【解析】ABCD【例5】 如图，在直角ABC中，ACB=90，B=60，D是斜边AB的中点，BC=2，求ADC的周长【难度】【答案】【解析】ABCD【例6】 如图，已知：RABC中，ACB是直角，BC=15，AB比AC大9，CDAB于点D，求CD的长【难度】【答案】【解析】【例7】 已知已直角三角形的周长为，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面

4、积【难度】【答案】【解析】ABCMMN【例8】 如图，直线MN是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A测得北偏西30的方向上有一栋别墅C，朝正北方向走了400米到达点B后，测得别墅C在北偏西75的方向上，如果要从别墅C修一条通向MN的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）【难度】【答案】【解析】APQMN【例9】 如图，公路MN和公里PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响

5、的时间是多少秒?【难度】【答案】【解析】ABCDEF【例10】 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC进行翻折，点D落在E处，求出重叠部分AFC的面积【难度】【答案】【解析】ABCDABCDP【例11】 如图，AB两个村子在河边CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD =3千米，CD =3千米现在河边CD建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A、B两村送水，也可以将水送一村再转送另一村铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD选择水厂位置P确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）【难度】【答案】【解析】【例12】 如图，在直角AB

6、C中，BAC=90，AB=AC，E、F是BC上的两点，且ABCEFEAF=45，求证：【难度】【答案】【解析】模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用知识精讲2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和例题解析【例13】 下列命题中是假命题的是（）A 在ABC中，若B=C-A，则ABC是直角三角形B 在ABC中，若，则ABC是直角三角形C 在ABC中，若B：C：A=3:4:5，则ABC是直角三角形D ABC

7、中，若，则ABC是直角三角形【难度】【答案】【解析】【例14】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是_三角形；（2）若ABC的三边A、B、C满足则ABC是_三角形【难度】【答案】【解析】【例15】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是_米【难度】【答案】【解析】【例16】 的三边分别为A、B、C，且满足，判断ABC的形状【难度】【答案】【解析】【例17】 如图，公路上A、B两点相距25千米，C、D为两村庄，DAAB于点A，CBAB于点B，已知DA

8、=15千米，CB=10千米，现要在公路AB上建一车站E（1） 若使得C、D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少千米处?（2） 若使得C、D两村到E站的距离和最小，E站建在离A站多少千米处?ABCDE【难度】【答案】【解析】ABCD【例18】 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且B=90，求DAB的度数【难度】【答案】【解析】ABCDEF【例19】 如图，已知在ABC中，B=90，AB=BC，AD是BC边上的中线，EF是AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，求AE：BE的值【难度】【答案】【解析】【例20】 如图，ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PA

9、=3，PB=4，PC=5，求BAPCAPB的度数【难度】【答案】【解析】ABCDEFGHP【例21】 如图，P是凸四边形内一点，过点P作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为E、F、G、H，已知AH=3，DH=4，DG=1，GC=5，CF=6，BF=4，且BE-AE=1，求四边形ABCD的周长【难度】【答案】【解析】【例22】 已知，如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于点D，设AC=，BC=，AB=，CD= ABCD求证：（1）；（2）以、为三边可构成一个直角三角形【难度】【答案】【解析】模块三：两点间的距离公式知识精讲3、 距离公式：如果平面内有两点、，则A、B两点间的距离为：（1）

10、 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB=；（2） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB=例题解析【例23】 已知点A（2，2）、B（5，1）（1） 求A、B两点间的距离；（2） 在轴上找一点C，使AC=BC【难度】【答案】【解析】【例24】 （1）已知A（，3）、B（3，+1）之间的距离为5，则的值是_；（2）已知点P在第二、四象限的平分线上，且到Q（2，-3）的距离为5，则点P的坐标为_【难度】【答案】【解析】【例25】 （1）以点A（1，2）、B（-2，-1），C（4，-1）为顶点的三角形是_；（2）已知点A（0，3）、B（0，-1），ABC是等边三角形，则点C的坐标是

11、_【难度】【答案】【解析】【例26】 已知直角坐标平面内的点A（4，1）、B（6，3），在坐标轴上求点P，使PA=PB【难度】【答案】【解析】【例27】 已知直角坐标平面内的点P（4，），且点P到点A（-2，3）、B（-1，-2）的距离相等，求点P的坐标 【难度】【答案】【解析】【例28】 已知点A（2，3）B（4，5），在轴上是否存在点P，使得的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由 【难度】【答案】【解析】【例29】 已知直角坐标平面内的点A（4，）、B（6，3），在轴上求一点C，使得ABC是等腰三角形 【难度】【答案】【解析】【例30】 已知点A（4，0）、B（2，-1），点

12、C的坐标是（，2-），若ABC是等腰三角形，求C的坐标【难度】【答案】【解析】随堂检测【习题1】 六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）A 2、4、8B4、8、10C6、8、10D8、10、12【难度】【答案】【解析】【习题2】 已知点A（2，4）B（-1，-3）C（-3，-2），那么ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D以上都不是【难度】【答案】【解析】【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_【难度

13、】【答案】【解析】ABCDEF【习题4】 如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使得点D落在BC上的点F处，AB=8，AD=10求EC的长【难度】【答案】【解析】ABCD【习题5】 如图，在四边形ABCD中，ABBC，AB=9，BC=12，CD=15，DA=求四边形ABCD的面积【难度】【答案】【解析】ABDC【习题6】 如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，AB=5，AC=3，AD=2求：ABC的面积【难度】【答案】【解析】【习题7】 若A、B、C是三角形的边长且关于的方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状【难度】【答案】【解析】ABQPM【习题8】 如图，在一条公路上有P、Q两个车站

14、，相距27，A、B是两个村庄，APPQ，BQPQ，且AP=15，BQ=24，现在要在公路上建立一个商场M使得A、B两个村庄到商场M的距离相等，求PM的长 【难度】【答案】【解析】【习题9】 已知点,点C在轴上，使为直角直角三角形，求满足条件的点C的坐标【难度】【答案】【解析】ABCM【习题10】 如图，在中，是内一点，且,求的度数【难度】【答案】【解析】【习题11】 若在ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，ACB=90，则试用两种方法证明【难度】【答案】【解析】课后作业【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等（2） 有一直角边和斜边上对应相

15、等的两个直角三角形全等（3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等A0B1C2D3【难度】【答案】【解析】【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A=_【难度】【答案】【解析】【作业3】 如图，中，斜边，则的值是_【难度】【答案】【解析】【作业4】 已知点，点B的横坐标为-3，且A、B两点之间的距离为10，那么点B的坐标是_【难度】【答案】【解析】【作业5】 现将直角三角形ABC的直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，C与E重合，且AC=3，BC=4，则CD等于_.【难度】【答案】【解析】【作业6】 如果的周长为12，而那么的形状是 _【难度】【答案】【解析】【作

16、业7】 已知等腰直角三角形斜边BC的长为2，为等边三角形，那么A、D两点的距离为_.【难度】【答案】【解析】ABCQP【作业8】 已知：如图，已知在中，将绕点逆时针旋转后得到，若，则两个三角形重叠部分的面积为_.【难度】【答案】【解析】ABCDQP【作业9】 已知：如图，四边形ABCD的三边（、）和都为5厘米，动点P从A出发（），速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发（）到A，速度为2.8厘米/秒，5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时的形状.【难度】【答案】【解析】【作业10】 阅读下列题目的解题过程：已知、为的三边，且满足，试判断的形状.解：（A），(B)(C)，是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错?请写出该步的代号：_；（2）错误的原因：_；（3）本题正确的结论为：_.【难度】【答案】【解析】【作业11】 如图，一根长度为50CM的木棒的两端系着一根长度为70CM的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【难度】【答案】【解析】【作业12】 在直角坐标平面内，已知，在坐标轴上求一点P，使得为直角三角形，求点P的坐标.【难度】【答案】【解析】21 / 21