2022年含参不等式恒成立问题 .pdf

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1、学习必备欢迎下载不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型 1：设)0()(2acbxaxxf（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a。类型 2：设)0()(2acbxaxxf（1）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff（2）当0a时，,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff,0)(xxf在上恒成立0)(2020)(2fababfab或或类型 3：min)()(xfIxx

2、f恒成立对一切max)()(xfIxxf恒成立对一切。类型 4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf的图象的上方或的图象在恒成立对一切恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载一、用一次函数的性质对于一次函数,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立例 1：若不等式)1(122xmx对满足22m的所

3、有m都成立，求x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2xxm， ；令) 12() 1()(2xxmmf，则22m时，0)(mf恒成立，所以只需0)2(0)2(ff即0) 12() 1(20)12()1(222xxxx，所以 x的范围是)231,271(x。二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2Rxacbxaxxf有：（1）Rxxf在0)(上恒成立00且a；（2）Rxxf在0)(上恒成立00且a例 2：若不等式02)1()1(2xmxm的解集是 R，求 m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式

4、，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（1）当 m-1=0 时，元不等式化为20 恒成立，满足题意；（2）01m时，只需0) 1( 8) 1(012mmm，所以，)9, 1 m。三、利用函数的最值（或值域）（1）mxf)(对任意 x都成立mxfmin)(；（2）mxf)(对任意 x 都成立max)(xfm。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的” 。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3： 在ABC 中，已知2|)(|,2cos)24(sinsin4)(2mBfBBBBf且恒成立，求实数m 的范围。解析：由 1 , 0(sin,0, 1sin22cos

5、)24(sinsin4)(2BBBBBBBf，3 ,1 ()(Bf，2|)(|mBf恒成立，2)(2mBf， 即2)(2)(BfmBfm恒成立，3, 1(m精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图像法求解。例 5：已知恒成立有时当21)(,)1 , 1(,)(, 1,02xfxaxxfaax，求实数 a 的取值范围。解析：由xxaxaxxf2121)(22，得，在同一直角坐标系中做出两个 函 数 的 图 像 ， 如 果 两 个 函 数 分 别 在x

6、=-1 和 x=1 处 相 交 ， 则 由12221) 1(211aa及得 到a 分 别 等 于2 和0.5 ， 并 作 出 函 数xxyy)21(2 及的图像，所以，要想使函数xax212在区间) 1 ,1(x中恒 成 立 ， 只 须xy2在区 间)1 , 1(x对 应 的 图 像 在212xy在 区间) 1 , 1(x对 应 图 像 的 上 面 即 可 。 当2,1aa只有时才 能 保 证 ， 而2110aa时，只有才可以，所以2, 1()1 ,21a。由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图像来解。利用函数图像解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。练习题： 1、对

7、任意实数x，不等式),(0cossinRcbacxbxa恒成立的充要条件是 _。22bac2、 设 1 ,(7932lglg在ayxxx上有意义，求实数 a的取值范围 .),95。3、 当1|)3 ,31(xL o gxa时，恒成立，则实数 a 的范围是 _。), 331,0(4、已知不等式：32) 1(1211.2111aLognnnna对一切大于 1的自然数 n 恒成立，求实数a的范围。)251, 1(a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载含参不等式恒成立问题的求解策略“函数与方程”、 “化归与转化

8、”、 “数形结合”、 “分类讨论”一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数), 0()(2Rxacbxaxxf, 有1）0)(xf对Rx恒成立00a; 2）0)(xf对Rx恒成立.00a例 1已知函数)1(lg22axaxy的定义域为 R，求实数a的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式0)1(22axax对Rx恒成立，即有04) 1(22aa解得311aa或。所以实数a的取值范围为),31()1,(。若二次不等式中x的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例 2设22)(2mxxxf，当),1x时，mxf)(恒成立，求实数m的取值范围。解

9、：设mmxxxF22)(2，则当), 1x时，0)(xF恒成立当120)2)(1(4mmm即时，0)(xF显然成立；当0时，如图，0)(xF恒成立的充要条件为：1220) 1(0mF解得23m。综上可得实数m的取值范围为) 1 ,3。二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）axf)(恒成立min)(xfa2）axf)(恒成立max)(xfaO x yx -1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载例 4函数), 1,2)(2xxaxxxf，若对任意), 1x，0)

10、(xf恒成立，求实数a的取值范围。解：若对任意), 1 x，0)(xf恒成立，即对), 1x，02)(2xaxxxf恒成立，考虑到不等式的分母), 1 x， 只需022axx在), 1x时恒成立而得而抛物线axxxg2)(2在),1 x的最小值03)1 ()(m i nagxg得3a注：本题还可将)(xf变形为2)(xaxxf，讨论其单调性从而求出)(xf最小值。三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1）为参数）aagxf)()(恒成立max)()

11、(xfag2）为参数）aagxf)()(恒成立max)()(xfag实际上，上题就可利用此法解决。略 解 ：022axx在),1 x时 恒 成 立 ， 只 要xxa22在), 1 x时恒成立。 而易求得二次函数xxxh2)(2在), 1上的最大值为3，所以3a。例 5已知函数4, 0(,4)(2xxxaxxf时0)(xf恒成立，求实数a的取值范围。解： 将问题转化为xxxa24对4 ,0(x恒成立。令xxxxg24)(，则min)(xga由144)(2xxxxxg可 知)(xg在4, 0(上 为 减 函 数 ， 故0)4()(mingxg0a即a的取值范围为)0,(。注：分离参数后，方向明确，

12、思路清晰能使问题顺利得到解决。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 6对任意 1 , 1a，不等式024)4(2axax恒成立，求x的取值范围。解： 令44)2()(2xxaxaf， 则原 问 题 转化 为0)(af恒 成立（1 , 1a） 。当2x时，可得0)(af，不合题意。当2x时，应有0) 1(0)1 (ff解之得31xx或。故x的取值范围为), 3()1 ,(。注：一般地，

13、一次函数)0()(kbkxxf在,上恒有0)(xf的充要条件为0)(0)(ff。五、数形结合法数学家华罗庚曾说过： “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图像和不等式有着密切的联系：1）)()(xgxf函数)(xf图像恒在函数)(xg图像上方；2）)()(xgxf函数)(xf图像恒在函数)(xg图像下上方。例 6、若不等式23log0axx在10,3x内恒成立，求实数a的取值范围。解：由题意知：23logaxx在10,3x内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数23yx和logayx观察两函数图像，当10,3x时，若1a函数logayx的图像显然在函数23yx图像的下方，所以不成立；当 01a时，由图可知，logayx的图像必须过点1 1,3 3或在这个点的上方，则，11log33a127a1127a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页