第四章-线性系统的根轨迹法ppt课件.ppt

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1、4-1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念4-2 常规根轨迹的绘制法则常规根轨迹的绘制法则4-3 广义根轨迹广义根轨迹4-4 系统性能的分析系统性能的分析n开环传递函数n系统特征方程系统特征方程 niimiipszsKsHsG11*0111*niimiipszsK 已知系统开环传递函数 ，讨论闭环极点的分布情况(0K)。 1 5 2 . 0 s ssKG KKsKsssG-122s 12204401212可得闭环极点的变化情况：可得闭环极点的变化情况： K=0s1=0，s2=-4（）0K1s1，s2为不等的负实根K=1s1=-2 s2=-2（）K=2s1=-2+2j，s2=-2-2j1K s

2、1 s2 实部均为-2K=s1=-2+j， s2=-2-jjwK=0KK=1K=0KKKs-122s 12221注注 jw问题问题开环传递函数开环传递函数闭环传递函数闭环传递函数将前向通道传递函数和反馈通道传递函数表示为将前向通道传递函数和反馈通道传递函数表示为 sHsG sHsGsGs1)(G（S）H（S）-R（s）C(s) biiaiigpszsKsG11* djjcjjHpszsKsH11* bidjjiaicjjipspszszsKsHsG1111* djaicjjijibiaidjjigzszsKpspspszsKs111*111* )(开环传递函数开环传递函数闭环传递函数闭环传递函

3、数zi为前向通道的零点为前向通道的零点pi为前向通道的极点为前向通道的极点zj为反馈通道的零点为反馈通道的零点pj为反馈通道的极点为反馈通道的极点*gK*HK*HgKKK 前向通道根轨迹增益前向通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益反馈通道根轨迹增益开环系统根轨迹增益开环系统根轨迹增益*HgKKK dbjjcaiipzK*djaicjjijibiaidjjigzszsKpspspszsKs111*111* )(四四根轨迹方程根轨迹方程1 , 0111*11*niimiiniimiipszsKpszsK 01sHsG 1sHsG1 11*niimiipszsK111*niimiipszsK 2, 1,

4、 01211kkpszsniiimijw1注注*K 表示开环零点表示开环零点 指向闭环极点指向闭环极点s所形成的向量与所形成的向量与x正正实轴的夹角；实轴的夹角； 表示开环极点表示开环极点 指向闭环极点指向闭环极点s所形成的向量与所形成的向量与x正正实轴的夹角。实轴的夹角。jwsZi 或 piS-Zi 或 s-piizs-ziips-pi结论结论 2, 1, 01211kkpszsniiimi111*niimiipszsK结论结论问题问题判断判断s1是否根轨迹上的点是否根轨迹上的点?60,70,80,100,1305432112345s1 z1 z2 p3 p2 p1 ) 12 ( ? )()

5、(32154k例例 K*=1.5 )5 . 0()2()(sssKsG2j1s1180)5 .70180()7 .54180(7 .54) 5 . 021()21() 221(5 . 02)(111jjjssssG15 . 1732. 1732. 1*K|2j1|2j1|22j1| *K|5 . 0s |s |2s |K111*一一 常规根轨迹的绘制法则常规根轨迹的绘制法则1.根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性 根轨迹的分支数与开环有限零点根轨迹的分支数与开环有限零点m m和有限极和有限极n n中的大者相中的大者相同，他们是连续的并且对称于实轴。一般有同，他们是连续的

6、并且对称于实轴。一般有n nm m，所以，所以2.根轨迹的起点与终点根轨迹的起点与终点 K*=0 时对应的根轨迹的点称根轨迹的起点；时对应的根轨迹的点称根轨迹的起点；K*=时对应的根轨迹的点称根轨迹的终点。时对应的根轨迹的点称根轨迹的终点。3. 根轨迹在实轴上的分布情况根轨迹在实轴上的分布情况 对实轴根轨迹上任一点对实轴根轨迹上任一点s s1 1来说，其来说，其左边左边的开环零、极点到的开环零、极点到s s1 1点的相角总是点的相角总是0 0，对相角方程没影响。其，对相角方程没影响。其右边右边的开环零、极的开环零、极点到点到s s1 1点的相角总是点的相角总是，因而只有奇数个开环零、极点才会满

7、，因而只有奇数个开环零、极点才会满足相角方程。共轭零极点到足相角方程。共轭零极点到s s1 1点的相角之和总是点的相角之和总是0 0或或22 。4. 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线amnzpmnknimiiiaa11 ,) 12 ()2)(1(*)(sssKsG1321,6018060aaa5. 根轨迹的分离点与分离角根轨迹的分离点与分离角： 条根轨迹分支在条根轨迹分支在s平面上相遇后又分开的点平面上相遇后又分开的点, ,称称为根轨迹的分离点（或会合点）用为根轨迹的分离点（或会合点）用d表示。表示。n分离点对应系统分离点对应系统，这时，这时（一般地）（一般地）系统为系统为。n根轨迹的分离点或出现

8、在实轴上，或共轭成对地出现在复根轨迹的分离点或出现在实轴上，或共轭成对地出现在复平面中，但以实轴分离点最为常见，分离点计算公式：平面中，但以实轴分离点最为常见，分离点计算公式：n对于低阶特征方程，亦可直接解特征方程，亦可对于低阶特征方程，亦可直接解特征方程，亦可获取。获取。nimiiizdpd1111 G ss开环传递函数开环传递函数 ，n = 2，没有零点，由没有零点，由可知可知K=1，s=-1 2ssksGnimiiizdpd11112 , 021pp1d注注022kss开环传递函数开环传递函数显然显然d d2 2不在根轨迹上，应舍弃。不在根轨迹上，应舍弃。59. 0,14. 321111

9、121dddjdjd jsjssKsssKsG112*222*2-1+j-1-j-1-2-3-4j注注问题问题根轨迹分支根轨迹分支进入进入分离点的分离点的与与离开离开分离点的分离点的方向夹角方向夹角称为称为, ,用用 表示，则表示，则21lkll设系统结构图与开环零、极点分布如图所示，试绘制其设系统结构图与开环零、极点分布如图所示，试绘制其概略根轨迹。概略根轨迹。 由法则由法则3，实轴上区域，实轴上区域0,-1和和-2,-3是根轨迹。是根轨迹。 由法则由法则1，该系统有三条根轨迹分支，且对称于实轴。，该系统有三条根轨迹分支，且对称于实轴。 由法则由法则2，一条根轨迹分支起于开环极点，一条根轨迹

10、分支起于开环极点(0)，终于开环有，终于开环有限零点限零点(-1)，另两条根轨迹起于开环极点，另两条根轨迹起于开环极点(-2)和和(-3)，终，终于无穷远处（无限零点）。于无穷远处（无限零点）。 由法则由法则4，两条终于无穷的根轨迹的渐近线与实轴交角为，两条终于无穷的根轨迹的渐近线与实轴交角为90和和270交点坐标为交点坐标为*(1)(2)(3)Kss ss90012311903111(0 2 3) ( 1)23 1ijijapzn m 由法则由法则5，实轴区域，实轴区域-2,-3必有一个根轨迹的分离点必有一个根轨迹的分离点d，它，它满足下述分离点方程：满足下述分离点方程：考虑到考虑到d必有必

11、有-2和和-3之间，初步试探时，设之间，初步试探时，设d=-2.5, 算出算出因方程两边不等，所以因方程两边不等，所以d=-2.5不是欲求的分离点坐标。现不是欲求的分离点坐标。现在重取在重取d=-2.47,方程两边近似相等，故本例方程两边近似相等，故本例d-2.47，最后画出系统概略根轨迹。最后画出系统概略根轨迹。1111123dd dd 11110.67,0.4123dddd6. 根轨迹的起始角与终止角根轨迹的起始角与终止角( (针对有开环复数极点或开针对有开环复数极点或开环复数零点情况环复数零点情况) )plzlnimliiililzlminliiililplzzpzkppzpk11111

12、2127. 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点（在虚轴上为临界稳定）（在虚轴上为临界稳定） sj 10G s ReIm1010G sG s,K*(1.5)(2)(2)( )(2.5)(0.51.5)(0.51.5)Kssj sjG ss ssjsj2123123180()()79p0121212379149.52j 149.5798. 闭环极点的和与积闭环极点的和与积设闭环控制系统的特征方程式为设闭环控制系统的特征方程式为9. 开环增益开环增益K的求取的求取 01112101111apappspspsasasassGniinininnnn 223)(2*ssssKsG 112145 , 13

13、503111.254anmiiiiakn mpzjjn m 110 11110,2.3311niidPddddjdj 2 90180lll311331323421, 32121113112113526.69071.6 k 0mnpliliiii lpkpzpplkppppppkjjjjk 6 .714p0685)(*234KsssssD16811,舍去0006508324.K.KK*sj二二闭环极点的确定闭环极点的确定 KsssKsssKsG5 . 0K*,24*15 . 0125. 0)(15 . 0125. 0sssK-218012amnzpmnkii-4 -2 0（3 3）求分离点求分离

14、点系统的两个极点都位于负实轴上。故应求两点处的系统的两个极点都位于负实轴上。故应求两点处的K K* *的值。的值。（4 4）由模值方程）由模值方程111246.828,1.172dddd -4 -21| )()(|sHsG 343. 0 1217. 117. 1417. 1 124*2*2172. 1*22dddsdKKsssK 65.11 12828. 6828. 64828. 6 24*1*1828. 6*11dddsdKKsssK KK3.32,686. 00*2411.654( )2211.65411.654( )( )1( )211.6546.828KssG ss ss sssG s

15、sG ss sss 20 0 -1010j-10-10j135 ,45,4201010aad1d2d310。 432323( )( )20114060040004120120040000100KG s H ss ssjsjD sssssKssss 901212421211iiiminliiililplppkppzpk0400060040234Kssss -10+10j -10-10j-20 0 sj10,50000K -10+10j -10-10j-20 0 abcdeg i f 法则法则 4 4 渐近线渐近线mnzpnimjiia 11 mnka )12(法则法则 2 2 根轨迹的起点和终点

16、根轨迹的起点和终点法则法则 1 1 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性法则法则 3 3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则 8 8 根之和根之和 niiC1 )2( mn法则法则 5 5 分离点分离点 mjjniizdpd1111法则法则 7 7 与虚轴交点与虚轴交点法则法则 6 6 出射角出射角/ /入射角入射角1)(2km1j)jz(s)n1iip(s 0)(Im)(Re jDjD一一参数根轨迹参数根轨迹0,1sG 01sQsP（特征方程意义上的）（特征方程意义上的）1.开环零点作变化时的根轨迹开环零点作变化时的根轨迹C(s)1+Kt s-R(s)2)s(s10

17、2110)()(sssKsHsGtsKssst1010210)(20101022sKsstKKsssKsssKSGttt1010210210)(*2*21jw1.1. 利用等效开环传递函数绘制的根轨迹，只能确定控制利用等效开环传递函数绘制的根轨迹，只能确定控制系统的闭环极点，对系统进行稳定性分析，动态性能系统的闭环极点，对系统进行稳定性分析，动态性能定性。定性。2.2. 原系统与等效后的新系统的输出响应是不同的，若求原系统与等效后的新系统的输出响应是不同的，若求根轨迹某点处的稳态误差和输出响应，必须用原系统根轨迹某点处的稳态误差和输出响应，必须用原系统的结构。的结构。11)()(sTsskSH

18、SG011101122kTssTsskTssTss1( )( )0G S H SksTsTsskTssTsssG2221111)( TTksksTs2411, 02, 1222212121,2121TTKjTpTTkjTp41KT 1( )G s 211011,11ccjj Tjj TkKTTKTTKT210 0s s aK sK asssKsG213.5,90aajddddd66. 075. 2 ,118111 -8-7-6-5-4-3-2-10-8-6-4-202468Root LocusReal AxisImaginary Axis-8 -3.5 -1210s s aK s 0,0K09

19、112sssK4,90aa 3 ,11911121dddddd3sd Root LocusReal AxisImaginary Axis-9-8-7-6-5-4-3-2-10-8-6-4-202468-9 -4 -3 -1211010K sss4.5,90aa 5 . 2 , 4 ,11811121dddddd-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10-10-8-6-4-20246810Root LocusReal AxisImaginary Axis -10 -4.5 -4 -2.5 -121100.5K sss0.25,90aa 375. 0 ,39. 1 ,11811121dddddd

20、-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.4-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5Root LocusReal AxisImaginary Axis -1 -0.5 0.25二二零度根轨迹零度根轨迹+R(S)G(S)H(S)C(S)1)()(SHSG), 2, 1, 0(2)()(kkSHSG 10G s H s 1G s H s 1. 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹2. 根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角根轨迹渐近线与实轴正方向的夹角 (21)0, 1, 2,akknm 20, 1, 2,akknm a3. 计算根轨迹起始角与终止角的公式计算根轨迹起始角与终止角的公式4.

21、根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点nimliiililzlminliiililplZZPZPPZP111110G jH jS S1 1=-3=-3，S S2 2=-1+j=-1+j，S S3 3=-1-j=-1-jZ Z1 1=-2=-2。（1 1）2232)(2*ssssKsG21.5,0 ,180aaknm 11121371.6plPZPPPP 1111,0.82311ddddjdj 112301,1sK szKKsp spspj j-1+j-1+j-1-j-1-j-2-2-3-3K=1-0.8-0.80 0(K=0)(K=0)n当当0K10K1K1时，将有一个闭环极点分布在时，将有一个闭环极点分布在s s平面的右半平平面的右半平面，系统不稳定。面，系统不稳定。n当当0K0.630K0K0为为180180，K0K0为为0 0 5131112121ddddd -7-6-5-4-3-2-101-2-1.5-1-0.500.511.52Root LocusReal AxisImaginary Axis（3 3）d d2 2 9 1123 5KsssKs25102)()(1)()(2sssHsGsGs（4 4） 32arcsin-7-6-5-4-3-2-101-2-1.5-1-0.500.511.52Root LocusReal AxisImaginary Axis