2022年高一数学上册第二章指数函数知识点及练习题 2.pdf

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1、课时 4 指数函数一. 指数与指数幂的运算（1）根式的概念如果,1nxa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根 当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示； 0 的n次方根是 0；负数a没有n次方根式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a根式的性质：()nnaa； 当n为奇数时，nnaa； 当n为偶数时， (0)| (0) nnaaaaaa（2）分数指数幂的概念正数的正分数指数幂的意义是：(0,mnmnaaam nN且1)n 0 的正分数指数幂等于0 正

2、数的负分数指数幂的意义是：11( )( ) (0,mmmnnnaam nNaa且1)n0 的负分数指数幂没有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数（3）分数指数幂的运算性质(0, ,)rsrsaaaar sR()(0, ,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba b abrR二. 指数函数及其性质（4）指数函数函数名称指数函数定义函数(0 xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域（0,+ ）过定点图象过定点（ 0,1 ），即当 x=0 时， y=1奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数xayxy(0,1)O1yxayxy(0,1)O1y精选学习资料 - -

3、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页函数值的变化情况y1(x 0), y=1(x=0), 0y1(x 0) y 1(x 0), y=1(x=0), 0y1(x 0)a变化对图象影响在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y 轴；在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x 轴在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y 轴；在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x 轴三.例题分析1.设 a、b 满足 0ab1,下列不等式中正确的是( C ) A.aaabB.babb C.aaba D.bbab解析： A、B不符合底数在(0,1) 之间的单调性; C 、D

4、指数相同 , 底小值小 . 故选 C.2.若 0a1,则函数 y=ax与 y=(a-1)x2的图象可能是( D ) 解析： 当 0a1 时 ,y=ax为减函数 ,a-10 且 a1),则下列等式中不正确的是( D ) A.f(x+y)=f(x)f(y) B.f(x-y)=)()(yfxfC.f(nx)= f(x) n D.f(xy)n =f(x) nf(y) n(nN*) 解析： 易知 A、B、C都正确 . 对于 D,f (xy)n =a(xy)n, 而 f(x) n f(y)n=(ax)n(ay)n=anx+ny, 一般情况下D不成立 .4.设 a=31)43(,b=41)34(,c=43)

5、23(,则 a、b、 c 的大小关系是( B ) A.cab B.cba C.bac D.bcbc.5.设 f(x)=4x-2x+1,则 f-1(0)=_1_. 解析： 令 f-1(0)=a, 则 f(a)=0即有 4a-2 2a=0.2a(2a-2)=0, 而 2a0, 2a=2 得 a=1.6.函数 y=ax-3+4(a0 且 a1)的反函数的图象恒过定点_(5,3)_. 解析： 因 y=ax的图象恒过定点(0,1),向右平移3 个单位 , 向上平移4 个单位得到y=ax-3+4 的图象 , 易知恒过定点 (3,5). 故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xxxx101010

6、10.证明 f(x) 在 R 上是增函数 . 证明： f(x)=1101101010101022xxxxxx, 设 x1x2R, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页则f(x1)-f(x2)=) 110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222xxxxxxxxxxxxxxxx. y=10 x是增函数 , 21221010 xx0,2210 x+10, 故当 x1x2时 ,f(x1)-f(x2)0, 即 f(x1)f(x2). 所以

7、 f(x) 是增函数 .8.若定义运算ab=,baabab则函数 f(x)=3x3-x的值域为 ( A ) A.(0,1 B.1,+) C.(0,+) D.(- ,+ ) 解析： 当 3x3-x, 即 x0 时,f(x)=3-x(0,1 ; 当 3x3-x, 即 x0,a1)的图象 ( C ) A.关于 x 轴对称B.关于 y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析： 可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当 x -1,1时 ,函数 f(x)=3x-2 的值域为 _-35,1 _. 解析： f(x) 在 -1,1 上单调递增.11.设有两个命题 :(1)关于 x 的不等

8、式x2+2ax+40 对一切xR 恒成立 ;(2)函数 f(x)=-(5-2a)x是减函数 .若命题 (1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数 a 的取值范围是 _(- ,-2) _. 解析： (1) 为真命题=(2a)2-160-2a1a0，且 a1) 在区间 1,2上的最大值比最小值大a2，求 a 的值参考答案一、 DCDDD AAD D A 二、 11(0,1)；12(2， 2)；三、 13 解：要使函数有意义必须：xxxxx101010定义域为：x xRxx且01,14 解：rrrrrcbcacba，其中10, 10cbca.当r1时，1cbcacbcarr，所以ar+br cr；

9、当r1时，1cbcacbcarr，所以ar+brcr.15解：(1)是奇函数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页(2)设x1x2，则1111)()(221121xxxxaaaaxfxf。=) 1)(1()1)(1() 1)(1(212121xxxxxxaaaaaaa1， x1x2， a1x a2x. 又a1x+10，a2x+10，f (x1)f (x2)0，即f (x1)f (x2).函数f(x) 在(， +)上是增函数. 16、 (1) 若 a1，则 f(x) 在1,2 上递增，a2aa2，即 a32或 a0(

10、舍去 )(2)若 0a1，则 f(x)在1,2 上递减，aa2a2，即 a12或 a0(舍去 )，综上所述，所求a 的值为12或32. 小测验一选择题（共18 小题）1 （ 2014?宜宾二模）函数y=esinx（ x）的大致图象为（）ABCD2 （2014?兴安盟一模） 已知函数f（x）=（）|x|，设 a=f（20.3） ，b=f（log20.3） ，c=f（ln10） ，则 a，b，c 的大小关系是（）Aac b B bac Cc ab Dabc 3 （2014?温州一模） 对于函数f（x）=4xm?2x+1，若存在实数x0，使得 f（ x0）=f（x0）成立，则实数m 的取值范围是（）

11、AmBmCm 1 Dm 1 4 （2014?长宁区一模） 函数 y=2|x|的定义域为 a，b，值域为 1，16，当 a 变动时， 函数 b=g（a）的图象可以是（）ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页5 （ 2014?浙江模拟）设x1，x2是函数 f（x）=ax（ a1）定义域内的两个变量，且x1x2，设那么下列不等式恒成立的是（）A|f （m） f （x1）|f（x2） f（m）| B|f（m） f （x1）| |f（x2） f（m）| C|f （ m） f（x1）|=|f（x2） f（m）| D6 （2

12、014?陕西一模） 函数 f （ x）=2x+1和函数 g （x） =log2（x+3）的图象的交点一定在（）A第一象限B 第二象限C第三象限D第四象限7 （ 2014?泸州二模）已知在同一坐标系下，指函数y=ax和 y=bx的图象如图，则下列关系中正确的是（）Aab1 B ba1 Ca b1 Dba1 8 （2014?新疆一模）已知函数f（x）=4ax1（a0 且 a 1）的图象恒过一个定点P，且点 P在直线 mx+ny1=0 上，则 2m 16n的值是（）A1B 2C8D49 （ 2014?天津一模）若A=x R|x|2，B=x R|3x1 ，则 A B= （）A（ 2，2）B （2， 1

13、）C（0，2）D（ 2，0）10 （2014?岳阳二模）定义在R 上的函数f（x）满足： f （x） f（x）恒成立，若x1x2，则f（x2）与 ef（x1）的大小关系为（）Af（x2） ef（x1）Bf（x2） ef（x1）Cf（x2）=ef（x1）Df（x2）与 ef（x1）的大小关系不确定11 （2014?郑州一模）设a=20.3，b=0.32，c=logx（ x2+0.3） （x1） ，则 a，b，c 的大小关系是（）Aabc B bac Cc ba Dbca 12 （2014?南昌模拟）已知函数在区间 0，1上单调递增，则实数 a 的取值范围是（）Aa 0， 1B a （ 1，0Ca

14、 1，1Da（ ， 11，+）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页13 （2014?抚顺一模）已知函数f（x）=ax（a0，a 1） ，g（ x）=x2+2x+2 ，设函数 F（ x）=minf （x） ，g（x） ， （minp ，q 表示 p，q 中的较小值） ，若 F（x） 2 恒成立，则a的取值范围是（）A（1，2）B （0，1）或（1，2） C（1，）D（0， 1） 或 （1，）14 （2013?四川）函数的图象大致是（）ABCD15 （2014?赤峰模拟）对于函数f（x） ，若 ?a，b，c R，f（a）

15、 ，f（b） ，f（c）为某一三角形的三边长，则称f（x）为 “ 可构造三角形函数” 已知函数f（x） =是“ 可构造三角形函数 ” ，则实数t 的取值范围是（）A，2B 0，1C1，2D0，+）16 （2013?绵阳一模）设，则（）Acba B cab Ca bc Dbac 17 （2013?大兴区一模）设y1=40.7，y2=80.45，y3=，则（）Ay3y1 y2B y2y1y3Cy1y2y3Dy1y3 y218 （2013?温州二模）已知2a=3b=6c则有（）ABCD二填空题（共12 小题）19 （2014?黄浦区一模）方程的解是_20 （2014?江苏模拟）若x+x=3，则=_2

16、1 （2014?龙泉驿区模拟）计算：=_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页22 （2014?南阳三模）设a=， b=，c=log50.3，则 a，b，c 从小到大的顺序是_23 （2014?江西模拟）已知0 ，设函数 f（x）=+sinx（ x ， ）的最大值为P，最小值为Q，则 P+Q=_24 （2014?南通一模）函数f（x） =的值域为_25 （2014?静安区一模）当x0 时，函数 y=（a 8）x的值域恒大于1，则实数 a 的取值范围是_26 （2014?淮安模拟）设函数f（x）=|2x1|的定义域和值域

17、都是a，b（ba） ，则 a+b=_27 （2014?宝鸡三模） 设函数的最小值为2，则实数 a 的取值范围是_28 （2014?宜宾一模）设f（ x）是定义在实数集R 上的函数，若函数y=f（x+1）为偶函数，且当 x 1 时， 有 f （x） =12x， 则的大小关系是_29 （2014?湖南模拟）已知函数f（x）=2x且 f（x）=g（x）+h（x） ，其中 g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2a?g（x）+h（2x） 0 对任意 x 1， 2恒成立，则（1）g（x） =_（2）实数 a 的取值范围是_30 （2013?绵阳模拟）化简：（其中 a 0）_（用分数指数幂表示）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页