2022年工科基础数学第五章一元函数微积分的应用 .pdf

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1、第五章一元函数微积分的应用一元函数的微分和积分的产生都有着实际背景，它们在自然科学、 经济领域以及工程技术上有着广泛的应用。 本章将通过介绍微分中值定理，给出求极限的另外一种方法罗必塔法则；以导数为工具，研究函数的一些几何性态（单调性，极值，凹凸性等），解决一些常见的应用问题； 由微分和函数增量的关系，给出微分在近似计算中的简单应用；通过不定积分来求几个简单的一阶微分方程的解；利用微元法思想，结合定积分的几何意义，求平面区域的面积以及一些特殊的空间立体的体积。第一节中值定理一、罗尔定理若)(xf在闭区间,ba上连续，开区间),(ba内可导，且)()(bfaf，则至少存在一点),(ba，使)(f

2、0。罗尔定理的几何意义是: 定理的证明略。罗尔定理的三个条件缺一不可，否则结论不真。二、拉格朗日中值定理去掉罗尔定理中相当特殊的条件)()(bfaf，仍保留其余两个条件，可得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理：若)(xf在闭区间,ba上连续，在开区间),(ba内可导，则至少存在一点),(ba，使得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 29 页ff bf aba( )( )( )该定理的几何意义是：abafbf)()(是弦AB的斜率，)(f为曲线在点C处的切线斜率。在曲线)(xfy上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦A

3、B。三、柯西中值定理若函数)(xf、)(xF满足下述三个条件：(1) )(),(xFxf在,ba连续；(2) )(),(xFxf在),(ba可导；(3) ),(,0)(baxxF。则至少存在一点),(ba， 使得f bf aF bF afF( )( )( )( )( )( )柯西中值定理的几何意义也十分明显，考虑由参数方程所表示的曲线)()(xfYxFX，,bax试x为参变量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 29 页曲线上点),(YX处的切线斜率为)()(xFxfdXdY弦AB的斜率为)()()()(aFbFafbf假定点

4、C对应于参数x，那未曲线C点处切线平行于弦AB，于是)()()()()()(FfaFbFafbf。四、中值定理运用举例例 1试证：当x0时，有不等式xxxx)1ln(1。证明考虑辅助函数xtttf0),1ln()(，由拉格朗日中值定理有),(0)0()(fxfxfx0即11)1ln(xx而xx0,0111111故1)1ln(11xxx0,)1ln(1xxxxx。第二节罗必达法则当xa( 或x) 时，两个函数)(xf与)(xF都趋向于零或都趋向于无穷大，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页那么，极限)()(lim)(x

5、Fxfxax可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做不定式 ，并分别简记为型型或00。对不定式，不能简单地用“商的极限等于极限商”这一求极限法则来处理。求不定式极限有一种简便方法 罗必达法则 ，见下述两个重要定理。一、基本类型的不定式型型或00罗必达法则 :(1) 当xa时（可以是a） ，函数)(xf及)(xF都趋于零（或者都趋于） ；(2) )(xf及)(xF在点a的某个邻域内( 点a本身除处 ) 存在，且)(xF0；(3) )()(limxFxfax存在 ( 或无穷大 ) ，则lim( )( )lim( )( )xaxaf xF xfxFx。注意：（1） 此定理用来处理)(或ax时的型型

6、或00不定式极限问题。这种通过分子与分母导数之比的极限来确定不定式极限的方法称之为罗必达法则。（2） 如果极限)()(limxFxfax仍属于型型或00， 且)(xf、)(xF又满足定理中的条件 ，则可以再使用罗必达法则。即lim( )( )lim( )( )lim( )( )xaxaxaf xF xfxFxfxFx还可以继续使用下去。（ 3） 如果)()(limxFxfax不存在（也不是） ，不能断言)()(limxFxfax也不存在，只能说明该极限不适合用罗必达法则来求。反例： 极限01sinlim1sinlim020 xxxxxxx存在，而使用罗必达法则)1cos1sin2(lim1si

7、nlim0220 xxxxxxxx不存在。例 1求极限(1) xexx1lim0(2) 201coslimxxx解这两个例子都是00型不定式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页11lim00eexx原式2120cos2coslim2sinlim00 xxxxx原式例 2求极限(1) xxx1arctan2lim(2) xarcxxcot)11ln(lim解这两个例子仍然都是00型不定式 原式122lim1lim111lim2222xxxxxxxxx 原式1122lim1lim11)1(111lim2222xxxxxx

8、xxxxx例 3求极限(1) nxxxlnlim (2) )ln()ln(limaxaxeeax解这两个例子都是型不定式原式01lim1lim1nxnxnxnxx 原式111lim)(lim)(lim1limaxeaxeeaxeeeeeeaxaxxxxaxxaxaxaxxax除和00型不定式外，还有00,0 ,1 ,0以及等类型的不定式。计算这些类型的极限，可利用适当变换将它们化为型或00型不定式，再利用罗必达法则，这里不再详细介绍，只举几个例题，有兴趣的读者可参阅有关书籍。例 4求xxxlnlim0，)0()0(型解原式0lim11lim11limlnlim00100 xxxxxxxxxx精

9、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 29 页结论可推广到一般0)(lnlim0 xxx，（,为正实数）例 5求)1(cotlim0 xxx)(型解原式xxxxxxxxxxxxxxxxxxcossincossincoslimsinsincoslim)1sincos(lim0000sincos2cossinlimcossinsinlim00 xxxxxxxxxxxxx1 ,000型的不定式，一般是幂指函数的极限，可采用对数求极限法。例 6求xxx0lim解设xxy， 取对数xxxxy1lnlnln，则0)(lim11limlnli

10、m20200 xxxyxxx从而有1lim0yx例 7求xxxx10)sin(coslim，（1型）解令xxxy1)sin(cos， 则xxxy)sinln(cosln1sincoscossinlim)sinln(coslimlnlim000 xxxxxxxyxxx故eeeyyxx1lnlim00lim例 8求00)1(limtgxxx型解令tgxxy1则ctgxxxtgxyln1lnlnxxxxctgxxyxxxx202000sinlimcsc1limlnlimlim001sinsinlim0 xxxx1limlim0lnlimln000eeeyyyxxx试一试 : 求下列极限：精选学习资料

11、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 29 页11lim0 xxxxexee；nnmmaxaxaxlim（nma,0为常数）；xxxxxsintanlim0；)1ln(lnlim1xxx；)111(lim0 xxex；第三节函数的单调性一、从几何图形上看函数的单调性函数1xeyx与它的导函数1xey在-1,1上的图像， 从图形上可以观察到：函数1xeyx在-1,0上是单调减少，在(0,1上是单调增加；其导函数1xey在-1,0上小于零，在 (0,1上大于零。函数的单调性是否与导函数的符号有关呢?为此，我们进一步地作图，希望从中获得更多的感

12、性认识。0)(tanxf0)(tanxf曲线是单调递增的曲线是单调递减的函数)(xfy在a,b上单调增加 ( 减少 ) ，则它的图形是一条沿x轴正向上升 ( 下降 )的曲线，曲线上各点处的切线之斜率均为正的( 负的 ) ，即：)0)(, 0)(xfyxfy这表明： 函数的单调性确实与其导数的符号有关，因此， 可以利用导数的符号来判定函xyy)(xfyOOxa)(xfybab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 29 页数的单调性。二、函数单调性的判别法设函数)(xf在,ba上连续，在),(ba内可导，）是区间（和baxx,21

13、内的任意两点，且设21xx，则)()()()(1212xxfxfxf，)(21xx若在),(ba内0)(xf，则)(f0，从而)()(21xfxf；即：函数)(xfy在),(ba上单调增加；若在),(ba内0)(xf，则)(f0，从而)()(21xfxf，即：函数)(xfy在),(ba上单调减少。综上讨论，我们有如下结论：函数单调性判别法设函数)(xfy在,ba上连续，在),(ba内可导，(1) 若在),(ba内0)(xf， 则)(xfy在),(ba上单调增加；(2) 若在),(ba内0)(xf， 则)(xfy在),(ba上单调减少。说明：（1） 判别法中的闭区间若换成其他各种区间（包括无穷区

14、间），结论仍成立。（2） 以后把函数单调的区间称之为函数的单调区间。例 1讨论函数1xeyx的单调性。解 函数的定义域为),(， 且1xey当)0,(x时，0y， 故函数在 (0 ,) 上单调减少；当),0(x时，0y， 故函数在),0(上单调增加。例 2讨论函数xy的单调性。解函数的定义域为),(，当)0,(x时，xy，1y0, 故函数在)0 ,(上单减；当),0(x时，xy，01y，故函数在),0(上单增。因此，可以通过求函数的一阶导数其符号不确定的点，将函数的定义域分划成若干个部分区间， 再判定函数一阶导数在这些部分区间上的符号，继而可决定函数在这些部分区间上的单调性。例 3试确定函数x

15、xy82的单调区间。解函数的定义域是0 x的全体实数当x0时，导函数为22)2)(2(282xxxxy令y0得：x2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页于是，点0 ,2x将函数定义域( x0 ) 分划成四个区间所以函数的单调增加的区间是：)2 ,0()2,(；单调增加的区间是：),2()0 ,2(例 4讨论函数3xy的单调性。解 函数的定义域是),(，它的一阶导数为23xy，除去0 x以外，恒有0y，如此函数在区间），以及（0)0 ,(上单调增加。故函数在),(上是单调增加的。结论一般地，如果)(xf在某区间上的有限

16、个点处为零，而在其余各点处均为正( 或负) 时，那么)(xf在该区间上仍是单调增加( 或单调减少 ) 的。利用函数的单调性可以证明较为复杂的函数不等式。例 5试证明：当x4时，有22xx解： 作辅助函数22)(xxfx, ),4xxxfx22ln2)(， 1)4(ln222)2(ln2)(232xxxf当),4x时，223x，1)4(ln2故0)(xf，即)(xf在),4上单调增加，从而有)4()(fxf，而f ( )lnln(ln)4222 4162884104，于是0)(xf,22)(xxfx在), 4上也单调增加。从而有f xf( )( )4241616042，即242xxx,)。该证明

17、方法十分典型，对于一些较精细的函数不等式的证明可借助此法。第四节函数的极值及最值一、极值的概念设函数)(xf在区间),(ba内有定义， 点0 x是),(ba内的一点。 若存在点0 x的一个邻域，对于该邻域内任何异于0 x的点x，不等式f xf x( )()0 (f xf x( )()0) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页成立，称)(0 xf是函数)(xf的一个极大值( 极小值 ) ；称点0 x是函数)(xf的极大值点 ( 极小值点 ) 。函数的极大值与极小值统称为函数的极值；使函数取得极值的点统称为极值点 。关于

18、函数的极值，如下几点是十分重要的。1、函数的极值概念是一个局部概念。如果)(0 xf是函数)(xf的一个极大值，那只是对0 x的一个局部范围来说)(0 xf是)(xf的一个最大值。但对于整个函数的定义域来说，)(0 xf就不一定是最大值了。对于极小值也是类似的。2、极小值有可能较极大值更大。如图：)()(41xfxf ()(1xf是极大值，而)(4xf是极小值 ) 从图中可看出，在函数取得极值之处，曲线具有水平的切线。换句话说：函数在取得极值的点处，其导数值为零。二、函数取得极值的几个重要定理可导函数取得极值的必要条件设函数)(xf在点0 x处具有导数， 且在0 x处取得极值，则0)(0 xf

19、。使导数为零的点( 即方程0)(xf的实根 ) 称为函数)(xf的驻点 。必要条件可换成下面等价的说法：可导函数的极值点必定是为驻点。反过来， 函数的驻点 不一定 就是函数的极值点 , 它最多只是 可能的极值点, 另外极值点也不一定是驻点 , 可导是必要的。反例 1 233)(,)(xxfxxfy , 0)0(f, 即0 x是函数的驻点, 但是从几何上可以看出 , 函数在0 x处取不到极值. 反例 2xxfy)(, 从几何图形上( 右图 ) 可以看出 , 在0 x处取到极小值, 但是0 x不是驻点 , 因为)0(f不存在 . 由此可以看出, 极值点是驻点, 或者是导数不存在的精选学习资料 -

20、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 29 页点, 我们把这两种点称为极值可疑点 . 如何把极值可疑点确定为极值点, 主要是根据下面的充分条件来确定 . 函数取得极值的第一充分条件设函数)(xf在点0 x的某个邻域内可导(0 x点可以例外) ，且0)(0 xf或者)(0 xf不存在 . (1) 当x取0 x左侧的值时，0)(xf；当x取0 x右侧的值时，0)(xf恒为负，那么，)(xf在0 x处取得极大值；(2) 当x取0 x左侧的值时，0)(xf；当x取0 x右侧的值时，0)(xf恒为正，那么，)(xf在0 x处取得极小值；(3) 当x取0

21、 x左右两侧的值时，)(xf恒正或恒负，那么，)(xf在0 x处没有极值。根据第一充分条件, 几乎可以求出任意函数的极值. 例 1求函数593)(23xxxxf的极值。解函数的定义域为),(，且)3)(1(3963)(2xxxxxf, 令0)(xf，得到函数的极值可疑点( 驻点 ) ：3 ,1x。列表故，1x是函数的极大值点，且有极大值：10) 1(f；3x是函数的极小值点，且有极小值：22)3(f。例 2讨论函数32)2(1xy的极值 . 例 3求函数32)52(xxy的极值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 29

22、 页解函数的定义域是),(, 并且3313232353)1(10310310)52(xxxxxxy , 可见 , 在1x时,y=0, 在0 x时 , y不存在 , 所以1, 0 x是极值可疑点. 列表由此可见 , 0 x是函数的极大值点, 且有极大值 :00 xy, 1x是函数的极小值点, 且有极小值 :31xy。对于某些特殊的函数，还有以下一种更为简单的判别方法。函数取得极值的第二充分条件设函数)(xf在点0 x处具有二阶导数，且0)(0 xf、0)(0 xf，则(1) 当0)(0 xf时，函数)(xf在0 x处取得极大值；(2) 当0)(0 xf时，函数)(xf在0 x处取得极小值。注意对

23、于二阶可导的函数)(xf， 它在驻点0 x的二阶导数)(0 xf的符号可判定函数值)(0 xf为何种极值。如果0)()(00 xfxf，则第二充分条件失效。例 4求函数1)1()(32xxf的极值。解2222)1()1(6) 1(6)(xxxxxxf，令0)(xf， 得驻点1 ,0, 1xfxxxxxxx()()()()()616212615122222，06)0(f， 函数有极小值0)0(f而0) 1(f， 用第二充分条件无法进行判定，考察函数的一阶导数在x1的左右两侧邻近值的符号。当x取1的左右侧邻近的值时，)(xf0；当x取 1 的左右侧邻近的值时，)(xf0；故函数在x1处没有极值。三

24、、闭区间上连续函数的最值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 29 页综上讨论，函数取得最值的点只能是区间的端点或开区间内导数为零、导数不存在的点。计算函数在这些点处的函数值，比较它们的大小就可得到函数的最值。例 5 求函数3232)(xxxf在-2,2上的最值。解因为3122)(xxf, 令0)(xf, 得驻点1x, 又0 x时 ,)(xf不存在；而33434)2(,0)0(, 1)1(,443)2(ffff。比较可知：最大值是3434)2(f, 最小值是0)0(f。四、最值应用问题利用求函数的最值来处理实际问题，有如下几

25、个步骤：1 据实际问题列出函数表达式及它的定义区间；2 求出该函数在定义区间上的可能极值点( 驻点和一阶导数不存在的点) ；3 讨论函数的单调性，确定函数在可能极值点处是否取得最值。例 6 试求单位球的内接圆锥体体积最大者的高，并求此体积的最大值。解： 设球心到锥底面的垂线长为x，则圆锥的高为) 10(1xx，圆锥面底面半径为12x，圆锥体积为vxxxxxx()() ()()()()131131101222由31,0)31)(1(3xxxv得驻点, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 29 页在310 x上，v0，函数单增

26、；在131x上，v0，函数单减，故31x是函数的最大值点，)31(v是函数v x( )的最大值。于是最大的体积为3132)31(v，此时的高为34。例 7 某产品生产x单位时的总成本是xxxxC1705121300)(23。单位产品的价格是 134 元，求使利润最大的产量。解生产x单位时，总收入,134)(xxR利润为)()()(xCxRxL300365121)1705121300(1342323xxxxxxx)4)(36(41361041)(2xxxxxL令0)(xL，得36, 421xx。又1021)(xL，,08)4(L及7.269)4(L是极小值；, 08)36(L及996)36(L是

27、极大值。由于只有0 x时，)(xL才有意义，并且产量在4 到 36 时)364(x，0)(xL，即利润在增加，而产量超过36 时，0)(xL，利润又在减少。所以生产36 单位产品时，利润最大，并且最大利润是996 元。例 8 证明：当xxxx1)1ln(0时，。证设函数)1ln(1)(xxxxf，则在0 x上，)(xf是连续的，并且在时，0 x01)1(2)11(111)1 (211)(2xxxxxxxxxf所以)(xf在0 x时，是单调递增的，因而0 x时，)0()(fxf，而0)0(f故0)(xf0)1ln(1xxx即xxx1)1ln(例 9当0 x时，证明)1ln(xxex证设)1ln(

28、)(xxexfx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 29 页xxeexfxx11)(0 得唯一驻点0 x，又22)1(1)2()1(1)(xxexxeeexfxxxx0112)0(f说明0 x是函数惟一的极小值点，因此0)0(f是函数的最小值，及0 x时0)0()1ln()(fxxexfx所以)1ln(xxex试一试求下列函数的单调区间和极值：3) 1)(1(xxy7186223xxxyxxy3222xexy第五节曲线的凹凸与拐点一、凹凸的概念研究了函数的单调性、极性，对于函数的性态有了更进一步的了解。为了描绘出函数的图

29、像的主要特征，仅凭此两点还是不够的。引例作函数2xy与xy在 0,1 上的图像。曲线的凹凸的特性可由下面的几何图形所反映出的事实看出：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 29 页由此可以得到，设函数)(xfy在),(ba上连续，如果对),(ba上任意21,xx两点，恒有2)()()2(2121xfxfxxf则称曲线)(xfy在),(ba上的是 凹的 ( 或凹弧 ) ，也称函数)(xfy是),(ba上的 凹函数 。如果恒有2)()()2(2121xfxfxxf则称曲线)(xfy在),(ba上是 凸的 ( 或凸弧 ) ，也称函

30、数)(xfy是),(ba上的 凸函数 。二、凹凸性的判别法函数的一阶导数的符号可判断函数的单调性，二阶导数的符号又能确定函数的何种属性呢 ?来看一个最简单的例子，给我们以启迪。抛物线2axy的二阶导数为ay2，若a0， 即0y，抛物线是开口向上的凹弧 ；若a0， 即0y，抛物线是开口向下的凸弧 。由此可得 凹凸性的判别方法：设函数)(xfy在,ba上连续，在),(ba内具有一阶和二阶导数，那未(1) 、若在),(ba内，0)(xf，则)(xf在,ba上的图形是凹的；(2) 、若在),(ba内，0)(xf，则)(xf在,ba上的图形是凸的。一个函数在定义域内往往并不是单一凹的（或凸的）。我们知道

31、，连续曲线的单调递增和单调递减的区间分界点（导数为零或不存在的点）是极值点， 那么连续曲线上的凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点 。和求极值点类似，求函数拐点的一般方法 是：设函数)(xf在区间I上连续（1） 求出)(xf在I上为零或不存在的点；（2） 这些点将区间I划分成若干个部分区间，然后考察)(xf在每个部分区间上的符号，确定曲线)(xfy的凹凸性；（3） 若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相反，则此分界点是拐点；若在两个相邻的部分区间上，曲线的凹凸性相同，则此分界点不是拐点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共

32、29 页例 1求曲线14334xxy的凹凸区间与拐点。解： 函数的定义区间为),(，231212xxy，)32(3624362xxxxy，令0y得：32,0 x所以函数的凹区间是：),32()0,(，凸区间是)32,0(。第六节微分在近似计算中的应用根据微分的定义，若函数)(xfy在0 x处有导数，则)(xfy在该点可微，且xxfdyxfxxfy)()()(000或者xxfxfxxf)()()(000并且其近似度随着x的减小而更精确。例 1求031sin的近似值解令1801,630,sin)(000 xxxxf；xxfcos)(故xxfxfxxf)()()()1806sin(31sin0000

33、18023211806cos6sin0.5151 。如果取xxx, 00，当0 x，有下列一些常用公式：tgxxxsin（这里的 x 是以弧度为单位）nxxn11；xex1；xx)1ln(；例 2 求3127的近似值。解 设3)(xxf，取2,1250 xx，则xxfxfxdfxfxxf)()()()()(12700000302667.575252)123(31125323。本例取2x，误差可能较大，所以一般选择下面的方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 29 页因为3333125215)12521(125212512

34、7所以设31)(xxf，取016.01252,00 xx，则xffxxfxfxxf)0()0()()()(12521000300533.1016.0311故0266. 500533.151273。第七节最简单的微分方程在科学技术和生产实践中，经常讨论量与量的关系，但是这种关系往往不能够直接建立，而是通过导数或者微分来确立他们的关系式，这就是通常说的微分方程。本节将介绍微分方程的一些基本概念，几种最简单的一阶微分方程的解法。一、微分方程的基本概念我们把含有未知函数导数的方程称为微分方程 。并且未知函数为一元的称为常微分方程，否则称为偏微分方程。本节讨论的都是常微分方程，这里所称的微分方程都是指常

35、微分方程。微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。例如xxydxdysin25一阶3ln)(4322xdxdyxdxyd二阶满足微分方程的函数称为微分方程的解。例如cxyxyxy222, 5,2（c 是任意常数）都是微分方程：02xy的解。并由此可得：微分方程的解是不唯一的。通常把微分方程的解分成以下几种：微分方程的 通解 ：如果微分方程的解中，所含独立的任意常数的个数等于阶数，这个解就称为微分方程的通解。例如：cxy2就是微分方程02xy的通解。xxececy3221（21,cc是任意常数）是微分方程065yy的通解。微分方程的 特解， 如果微分方程的解中没有任意常数，这个解

36、就称为是微分方程的特解。例如：5, 122xyxy都是微分方程02xy的特解。特解通常都是由通解得来的，这种用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值来确定通解中任意常数的条件，称为初始条件 。例如，函数cxy2是微分方程02xy的通解。如果求满足初始条件1)0(y的特精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 29 页解，只要把该初始条件带入通解中，得c=1，则函数12xy就是一个特解。一阶微分的初始条件通常是：00yyx或00)(yxy不是通解也不是特解的解，称为一般解，这种解这里不讨论。二、一阶变量可分离的微分方程形如)()(y

37、gxfdxdy或者dyydxx)()(的一阶微分方程称为变量可分离的微分方程，具体求通解方法是：对方程dyydxx)()(两边同时不定积分，dyydxx)()(解得cyGxF)()(即为通解。例 1 求微分方程0yeyx的通解。解yedxdyx，化为：dxedyyx1，两边再不定积分dxedyyx1，即0lnceyx，化简得通解xecey，其中0cec是任意常数。例 2 求微分方程1)cos1(0txdttxdx满足初始条件的特解。解dttdxx)cos1 (1，两边不定积分得dttdxx)cos1(1，即0sinlncttx，化简得通解ttcexsin,其中0cec是任意常数；代入初始条件c

38、ce0sin01 ，故得特解ttexsin。三、一阶齐次微分方程形如：)(xyfdxdy的微分方程，称为一阶齐次微分方程，这种方程是通过变量替换将其化为一阶变量可分离的微分方程，具体做法是：令dxduxudxdyxuyuxy,则，将它们带入原方程，dxxduuufufdxduxu1)(1),(并化为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 29 页再通过解一阶变量可分离的微分方程求解，最后要将u回代成xy。例 3 求dxyxdyyx)()(的通解。解方程两边同除以x，)1 ()1(xydxdyxy，令dxduxudxdyuxy则

39、,，则)1()(1(udxduxuu化为uuuuudxdux11112，即dxxduuu1112，两边不定积分得02222)1ln(21arctan)1(1121arctan11lncuuuduuduuux化简回代得通解为xyceyxarctan22。四、一阶线性微分方程形如：)()(xqyxpdxdy称为 一阶线性微分方程，当0)(xq时，称其为 一阶线性齐次微分方程 ，否则称为 一阶线性非齐次微分方程。该微分方程的求解主要分以下两步：第一步，求一阶齐次微分方程的通解将齐次方程0)(yxpdxdy化为dxxpdyy)(1再两边积分dxxpdyy)(1解得dxxpcey)(为该方程的通解（不定

40、积分中已不再有任意常数）。第二步，上面解中的c 是任意常数，如果把c 也作为 x 的函数)(xuc，并且将函数dxxpexuy)()(代入到非齐次方程中，其左边一般不会是0，而是一个函数，至于是否是一阶线性微分方程的解，则要看带入后左边的这个函数是否刚好等于)(xq。或者说只要选择恰当的)(xu，就能够使得dxxpexuy)()(为一阶非齐次方程的解，为此将dxxpdxxpexpxuexudxdy)()()()()(以及dxxpexuy)()(代入到非齐次方程中，得到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 29 页)()()(

41、)()()()()()(xqexuxpexpxuexudxxpdxxpdxxp即dxxpexqdxdu)()(积分得cexqxudxxp)()()(所以一阶线性非齐次微分方程的通解 是)()()(cdxexqeydxxpdxxp注意 ：这里的不定积分里面都没有任意常数。例 4 求方程xxeyy的通解解（方法一）求yy0 的解，方程化为dxdyyydxdy1,两边积分得对应的齐次方程的通解是xcey再设原方程的解为xexuy)(则xxexuexuy)()(代入原方程得xxxxxeexuexuexu)()()(xxedxxdu2)(解得cexexdedxxexuxxxx2222412121)(所以

42、该方程的通解为xxcexey)12(41（方法二）设xxexqxp)(,1)(将它们代入公式得)()()(cdxexeecdxexqeydxxdxdxxpdxxp2cdxxeexxxxcexe)12(41例 5 求微分方程yxy1满足0)1(y的特解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 29 页解如果仍然把x 看成自变量， y 看成因变量，那么这个方程不是我们前面所学过的任何一种类型的微分方程，但当把该方程写成yxdydxyxdydx即,就是一个以y 为自变量的一阶线性微分方程，把yyqyp)(, 1)(代入公式得)()(

43、)(cdyyeecdyeyqexyydyypdyyp1yceceyeeyyyy代入初始条件11c即c=2 特解是12yexy试一试求下列微分方程的通解或特解。0) 1()1 (dyxdxy124xyyxy满足0)(22xydydxyxxxxyy212,830 xyydxdy满足0)2(2ydxdyyx第八节定积分的应用利用定积分的几何意义及性质可以解决几何上、经济上等其它方面的一些问题。一、平面图形的面积根据定积分的几何意义，曲线)(xfy上连续），在且,)(, 0)(baxfxf和 x 轴与直线bxax,所围成的曲边梯形的面积是badxxfS)(，如果0)(xf，这时曲边梯形的面积应该是ba

44、dxxfS)(。其实只要曲线)(xfy在,ba上连续，则和x轴及直线bxax,所围成的 曲边梯形的面积就是（如下图）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 29 页badxxfS)(3101)3132(3231021021xxdxxdxxSSS解所围面积可以看成是由直线1x与抛物线22xy所围面积减去由1x与抛物线2xy所围的面积，并且两抛物线的交点是(1，1)和（ 1，1） ，故3801)31(4)1(4)2(31021122xxdxxdxxxS0 x y -1 1 2xy例 2 求由曲线2xy与22xy22xy1 1 x

45、2xy2yx例1求由抛物线2xy和2yx所围区域的面积。解所围区域的面积可以看成是由x 轴，x=1 和2yx所围成的面积减去y=1,y 轴和2xy所围成的面积，所以0 同理可得以 y为积分变量的曲边梯形的面积计算（如右图） S=dcdyyf)(y d c x o x=f(y) y=f(x) x b a y o y o x a b y=f(x) x y a b o y=f(x) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 29 页选择以 y 为积分变量2ln232ln21212)ln21(122121yydyyydyS二、旋转体的体

46、积平面上的一个区域，绕一条直线旋转一周所形成的立体称为旋转体 。设旋转体是由连续曲线)(xfy和直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成的（如下图） ，那么其体积是dxxfVbax2)(同样可得，由连续曲线)(yx和直线y=c,y=d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转而成的旋转体体积（如下图）是dcydyyV2)(例 4 求抛物线12222byax分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的立体的体积。y x 0 y a b y x o c d )(yx例3求由曲线1xy及直线有 y=x,y=2 所围成的面积。解首先求出所围区域的边界曲线的交点坐标，是（1，1）（2，2）和

47、（21，2）y=x (2,2) 1 2 1 2 xy=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 29 页)3(2)3()1(2322322222aaabaaaxxbdxaxbdxyVaaaax234ab同理可得绕y 轴的旋转体体积是badybyadyxVbbbby2222234)1(解因为曲线方程是22yx所以有0242220202yydydyxVy三、在经济上的应用举例例 6 已知某一个商品的月产量为Q 单位时，总成本的变化率是124.0)(QQC（单位元） ，固定成本为300 元，总成本 C(Q)。如果这种产品的销售单价

48、是200 元，求总利润 L(Q) ，问月产量多少时才能够获得最大利润？解 由于总成本C(Q)是124.0)(QQC的原函数，并且产量总是非负的，于是有cQQdQQQC122 .0)124 .0()(2又因为固定成本是300 元，即 C(0)=300 ；所以300122. 0)(2QQQC例5 求由抛物线22xy , 直线 y=2及 y轴所围的图形绕 y轴旋转一周所形成的旋转体的体积。1 2 x y o 22xya -a -b b y x 解：绕 x轴旋转的旋转体是由曲线221axby和x轴所围的平面图形绕x轴旋转而成，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

49、- - - - -第 25 页，共 29 页又总利润L(Q) 等于总收入R(Q)减去总成本C(Q) ,而 R(Q)=200Q, 故3002.0212300122. 0200)()()(22QQQQQQCQRQL由04.0212)(QQL得 Q=530，即月产量是530 单位时，有最大利润：499623005302 .0530212)530(2L（元）例 7 已知生产某商品Q 单位总收入的变化率是50200)(QQR（元 /单位） ，求生产 Q 单位时总收入R(Q) 以及平均单位收入，并求生产2000 单位时的总收入和平均收入。解由总收入的变化率得总收入是201001200)50200()(QQ

50、dQQQRQ平均收入是100200)()(QQQRQP当生产 2000 单位时，总收入是360000200010012000200)2000(2R（元）平均收入是1802000360000)2000(P（元）本章小节一、主要内容三个中值定理； 罗必达法则； 单调区间和极值的求法；最值的应用； 凹凸区间和拐点的求法；微分求近似值； 三种一阶微分方程的通解和特解的求法；利用定积分求平面区域的面积，求旋转体的体积；定积分在经济上的简单应用。二、基本要求(1)知道三个中值定理，了解凹凸的定义域及几何特征。(2)熟练掌握使用罗必达法则求“00”型和“”型不定式，单调区间和极值，简单平面区域的面积，简单的