初中数学九年级秋季教师版 九年级秋季班-第5讲：期中练习-教师版.pdf

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1、 1 / 27 本讲整理了关于前两章相似三角形和锐角三角比的相关练习， 以帮助同学们巩固所学 比例线段 运算法则 比例的性质 向量的分解 平行向量定理 运算律 实数与向量相乘 向量的线性组合 向量的线性运算 相似三角形的概念 相似三角形的预备定理 相似三角形的判定定理 相似三角形的性质定理 三角形一边的平行线性质定理及推论 三角形一边的平行线判定定理及推论 平行线分线段成比例定理 相 似 形 相似三角形 已知锐角，求三角比 已知锐角的三角比，求锐角 锐角的三角比的概念 已知一边和一个锐角 已知两边 直角三角形中 的边角关系 解直角三角形 解直角三角形 的应用 期中练习 内容分析内容分析 知识结

2、构知识结构 2 / 27 【练习 1】已知在ABC中，90C，A ，AC = 3，那么 AB 的长为（ ） A3sin B3cos C3sin D3cos 【难度】 【答案】D 【解析】根据锐角三角比的概念，可得cosACAAB，即得：3coscosACABA 【总结】本题主要考查锐角三角比的概念 【练习 2】在ABC中，若213sincot023AB，则ABC的形状是（ ） A等边三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 【难度】 【答案】B 【解析】 由213sincot023AB， 即可得1sin2A，3cot3B ， 由此可得30A ，60B ，则18090CAB ，故选 B

3、【总结】本题主要考查两非负数相加和为 0，则两个数均为 0 的知识点，结合特殊角的锐角三角比进行计算 【练习 3】已知在ABC中，90C，设 cos B = n，当B是最小的内角时，n 的取值范 围是（ ） A202n B102n C212n D112n 【难度】 【答案】C 【解析】B是最小内角，则045B ，根据余弦值的增减性，2coscos452B ， 根据0cos1B，故选 C 【总结】本题主要考查锐角三角比的增减性 选择题选择题 3 / 27 A B C D 【练习 4】如果向量a与单位向量e方向相反，且长度为12，那么向量a用单位向量e表示 为（ ） A12ae B2ae C12a

4、e D2ae 【难度】 【答案】C 【解析】方向相反，即可表示为0ane n ，长度为12，可得12n ，故选 C 【总结】考查平行向量的表示 【练习 5】如图，在平行四边形 ABCD 中，如果ABa，ADb，那么ab等于（ ） ABD BAC CDB DCA 【难度】 【答案】B 【解析】根据向量的“平行四边形法则”，得ABADAC 【总结】考查向量运算的“平行四边形”法则 【练习 6】下列不等式中正确的个数是（ ） sin47sin48；cos70sin30；tan55cot55；cos46sin46； sin80cot42 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【难度】 【答案】A 【

5、解析】根据正弦值增减性，锐角正弦值随着角度增大而变大，错误；cos70sin20， 错误； 锐角正切值随着角度增大而变大，cot55tan35， 正确；cos46sin44， 错误；cot42tan48tan451，0sin801，错误；正确，故选 A 【总结】考查锐角三角比的转化和相关增减性 4 / 27 A B C D E O G 【练习 7】如图，已知 AD / BC，AC 与 BD 相交于点 O，点 G 是 BD 的中点，过点 G 作 GE / BC 交 AC 于点 E，如果 AD =1，BC = 3，那么 GE : BC 等于（ ） A1 : 2 B1 : 3 C1 : 4 D2 :

6、 3 【难度】 【答案】B 【解析】根据三角形一边平行线的性质定理，可得：13DOADBOBC， 点G是BD中点，可得：DOGO，则有1ADDOGEGO， 则有:1:3GE BCAD BC 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用 【练习 8】下列命题正确的个数有（ ）个 （1）长度相等的两个非零向量相等 （2）平行向量一定在同一直线上 （3）与零向量相等的向量必定是零向量 （4）任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【难度】 【答案】B 【解析】相等的向量需确保方向相同， （1）错误；平行向量是同一平面内平行的两条有向线 段，不

7、一定在同一直线上， （2）错误；只有零向量模长为 0，可知与零向量相等的必定 是零向量， （3）正确；相等向量可以在同一直线上，此时四个点不能构成四边形， （4）错误综上所述，只有（3）正确，故选 B 【总结】考查与向量有关的相关定义的理解和把握 5 / 27 A B C D E F 【练习 9】 如图， 已知边长为 5 的等边三角形 ABC 纸片， 点 E 在 AC 边上， 点 F 在 AB 边上， 沿着 EF 折叠， 使点 A 落在 BC 边上的点 D 的位置， 且EDBC， 则 CE 的长是 （ ） A10 315 B105 3 C5 35 D20 10 3 【难度】 【答案】D 【解析

8、】是等边三角形，则有60C，由EDBC， 可得：3sin2DECECCE，翻折可得AEDE， 即有3152ACAECECE，得：20 10 3CE 【总结】考查特殊图形结合特殊锐角三角比的相关应用 【练习 10】如图，已知 AD 是等腰ABC底边上的高，且3tan4B，AC 上有一点 E，满 足 AE : CE = 2 : 3，则tanADE的值是（ ） A98 B45 C89 D79 【难度】 【答案】C 【解析】作EFAD交AD于点F， 则有/ /EFCD，25EFAFAECDADAC， 因为ABC是等腰三角形，则有3tantan4CB，设3ADa，则4CDa， 由此可得：65AFa，85

9、EFa，则95DFADAFa，8tan9EFADEDF 【总结】 考查相似三角形和相关锐角三角比的应用， 通过作高把所求锐角放到直角三角形中即可 A B C D E F 6 / 27 【练习 11】 如图， D、 E 分别是ABC的边 AB、 AC 上的点， 且 DE / BC， BE 交 DC 于点 F， EF : FB = 1 : 3，则:ADEBCFSS的值为（ ） A1 : 9 B1 : 3 C2 : 9 D1 : 7 【难度】 【答案】C 【解析】 由 DE / BC， 即得：13DEEFADBCFBAB， 则有12ADDB， 设ADESa，则2BDESa，由13EFFB，即可得12

10、DEFSa， 又219DEFBCFSEFSFB，即得：92BCFSa 由此可得：9:2:92ADEBCFSSaa 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，“A”字型和“8”字型的叠合应用，同时注意等高三角形面积和相似三角形面积比与相应边长的关系 【练习 12】 在一次夏令营活动中， 小智从位于 A 点的营地出发， 沿北偏东 60 方向走了 5 km 到达 B 地，然后再沿北偏西 30 方向走了若干千米到达 C 地，测得 A 地在 C 地南偏西 30 方向，则 A、C 两地的距离为（ ）km A10 33 B5 33 C5 2 D5 3 【难度】 【答案】A 【解析】依题意可得到如图所示的图

11、形，则有60BAE， 2330 ，由/ / /EFMNPQ，可得：2430 ， 160BAE ，则有1801290ABC ， 530EABCAE ，则有60ACB， 由此可得：sinABACBAC，又5AB ， 即得：10 3sin603ABACkm 【总结】考查方位角知识的综合应用，结合特殊角的锐角三角比进行求解计算 A B C D E F 7 / 27 A B C D E F G 【练习 13】如图，小方同学在晚上由路灯 AC 走向路灯 BD，当他走到点 P 时，发现身后他 影子的顶部刚好接触到路灯 AC 的底部，当他向前再步行 20 m 到达 Q 点时，发现身前 他影子的顶部刚好接触到路

12、灯 BD 的底部，已知小方的身高是 1.5 m，两个路灯的高度 都是 9 m，则两路灯之间的距离是（ ）米 A20 B25 C30 D35 【难度】 【答案】C 【解析】设APx，依题意可得：BQAP，1.5APBDAB， 1.59220 xx，解得：5x ，则20230ABx， 故选 C 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的实际应用 【练习 14】如图，在Rt ABC中，90ABC，BA = BC，点 D 是 AB 的中点，连接 CD， 过点 B 作BGCD，分别交 CD、CA 于点 E、F，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于 点 G，连接 DF给出以下四个结论： （1）AGFGAB

13、FB；（2）点 F 是 GE 的中点；（3）23AFAB；（4）5ABCBDFSS， 其中正确的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【难度】 【答案】B 【解析】由90BAGABC，ABGBCD，ABAC， 可得：ABGBCD ，且有/ /AGBC，则有12AGBDBC， 由此可得：12AFGFAGCFBFBC，可知（1）正确；同时，CD不 是ACB的角平分线，可得BEFE，则 F 不是 GE 中点， （2）错误；此时可得1233AFACAB， （3）正确；则有36ABCABFBDFSSS， （4）错误；综上所述，正确的是（1） （3） ，故选 B 【总结】考查等腰直角三角形

14、结合平行问题中特殊边角关系的综合应用 A B C D P Q 8 / 27 A B C D E F O P N M 【练习 15】 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 P 是 AB 上一动点 （不与 A、 B 重合） ， 对角线 AC、 BD 相交于点 O，过点 P 分别作 AC、BD 的垂线，分别交 AC、BD 于点 E、F，交 AD、 BC 于点 M、N，下列结论： （1）APEAME；（2）PMPNAC；（3）222PEPFPO；（4）POFBNF； （5）当PMNAMP时，点 P 是 AB 的中点 其中正确的结论有（ ） A5 个 B4 个 C3 个 D2 个 【难度】 【答案】B

15、【解析】根据正方形的性质，即可得45PAEMAE， 由PMAE，AEAE，可得APEAME， （1）正确； 同理可得PBFNBF ，则有2PMAP，2PNPB， 则有22PMPNPAPBABAC， （2）正确； 由90AOB，可知四边形PEOF是矩形，则有222PEPFPO， （3）正确；BNF为等腰直角三角形，POF是直角三角形，但不能确定为等腰， （4）错误；PMNAMP时，则有PMPN，即22APBP，由此可得APBP，P 为 AB 中点， （5）正确；综上所述，正确的是（1） （2） （3） （5） ，故选 B 【总结】本题综合性较强，主要考查正方形性质的综合应用，注意题目中由正方形得

16、到的边角关系，从而利用勾股定理完成解题 【练习 16】为锐角， （1）2sin3， 则t a n_； （2）cot3， 则s i n_ 【难度】 【答案】（1）2 55；（2）1010 【解析】 （1）由22sincos1，可得：5cos3，则sin22 5tancos55； （2）由coscot3sin，可得cos3sin，又22sincos1，即210sin1， 即得：10sin10 【总结】考查锐角三角比之间的相互关系的转化，或利用设“k”法表示长度进行求解 填空题填空题 9 / 27 【练习 17】为锐角，且1cos2，则12sincos_ 【难度】 【答案】312 【解析】为锐角，1

17、cos2，可得：60，则3sin2，由此即可化简得 223112sincossincos2sincossincos2 【总结】考查22sincos1公式的灵活运用进行锐角三角比化简，也可利用特殊角的锐角三角比的值进行计算求值 【练习 18】在正方形网格中，ABC的位置如图所示，则cosB的值为_ 【难度】 【答案】22 【解析】由图中所示格点位置，知45B ，则2cos2B 【总结】考查利用格点三角形得到相关角的锐角三角比 【练习 19】 如图， 在正方形网格上有 6 个三角形： ABC； CDB； DEB； FBG； HGF；EKF，在中，与相似的三角形是_（填序号） 【难度】 【答案】 【

18、解析】由图示可得：135BAC，且有2ACAB，满足条件的图形只有同时利用三边对应成比例，也可证得成立 【总结】 考查“格点三角形”中根据勾股定理得到特殊边角关系和长度的应用 A B C D E F G H K A B C 10 / 27 【练习20】 已知P是线段AB的一个黄金分割点， 且AB = 20 cm， AP BP， 那么AP =_ 【难度】 【答案】30 10 5 cm 【解析】根据黄金分割点的意义，由 AP BP，可得5110 5102BPAB，则有 2010 51030 10 5APABBPcm 【总结】考查线段的黄金分割点和相应的黄金比，注意线段的黄金分割点有两个 【练习 2

19、1】如果从灯塔 A 处观察到船 B 在它的北偏东 35 方向上，那么从船 B 观察灯塔 A 的方向是_ 【难度】 【答案】南偏西35 【解析】换位观察，方向变为相反，偏离角度大小不变，即得 【总结】考查方位角的基本性质 【练习 22】如图，ABC中，90C，3sin5A，D 为 AC 上一点，且 BD = AC，DC = 7 cm，则 AD =_ 【难度】 【答案】4 77 cm 【解析】 设BCacm， 由3s i n5A， 可得：53ABa，43ACa， 根据勾股定理可得2224493BDBCCDaACa， 即可解得：3 7a ，则4 7AC ，4 77ADACDCcm 【总结】 考查共直

20、角边的两个直角三角形结合锐角三角比的应用， 根据题目条件进行边角转换即可 A B C D 11 / 27 【练习 23】传送带和地面所成斜坡的坡度为 1 : 0.75，它把物体从地面送到离地面高 8 米的 地方，物体在传送带上所经过的路程为_米 【难度】 【答案】10 【解析】传送带和地面所成坡度1:0.75i ，可知物体传送的水平距离即为86mi，根据勾 股定理即可得物体在传送带经过路程为228610m 【总结】考查坡度的意义和应用 【练习 24】如图，在坡度为 1 : 2.5 的楼梯表面铺地毯，已知楼梯高度 AC = 2 米，则地毯长 度至少是_ 【难度】 【答案】7m 【解析】楼梯的坡度

21、为 1 : 2.5，可得楼梯水平长度 5ACBCmi，则地毯长度至少为257m 【总结】考查坡度意义的综合应用，注意地毯要沿着楼梯铺设，完全覆盖 【练习 25】 如图， 正方形 ABCD 中， M 是边 BC 上一点， 且14BMBC 若A B a ，ADb， 试用a，b表示DM _ 【难度】 【答案】34ab 【解析】DMDCMC， 根据正方形的性质， 可得：DCABa， BCADb，由14BMBC，可得：1144BMBCb，则有 34MCb，34DMab 【总结】考查平面向量的线性运算，注意把握好相等向量的定义 A B C D M A B C 12 / 27 【练习 26】如图，点 G 是

22、ABC的重心，AGGC，AC = 4，那么 BG 的长为_ 【难度】 【答案】4 【解析】延长BG交AC于点D，则D是AC中点， 由AGGC，则有122GDAC，根据重心性质， 即可得24BGGD 【总结】本题主要考查重心性质的应用 【练习 27】如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC，BE 平分ABC交 CD 于 E，且BECD， CE : ED = 2 : 1，如果BEC的面积为 2，那么四边形 ABED 的面积是_ 【难度】 【答案】74 【解析】作/ /AGDC交BC于点G，交BE于点F， 延长BE交AD延长线于点H 由 AD / BC，得DEHCEB，DEHAFH， 则有2211

23、24DEHCEBSDESCE，可得：12DEHS 由BECD，/ /AGCD，得AFBH，又 BE 平分ABC，则有12AFFGAG， 即得：112333DECDAGAF， 由此可得：222439DEHAFHSDESAF， 得98AFHS， 由 AD / BC，BE 平分ABC，可知ABH为等腰三角形， 则有91722824AFHDEHABEDSSS四边形 【总结】 考查根据平行构造相似三角形“A”字型和“8”字型的应用， 相似三角形面积比即为相似比的平方，同时考查平行线与角平分线得到等腰三角形的基本图形 A B C G D F G A B C D E H 13 / 27 【练习 28】 某学

24、校为新生设计的学生板凳的正面视图如图所示， 其中 BA = CD， BC = 20 cm， BC、 EF 平行于地面 AD 且到地面 AD 的距离分别为 40 cm、 8 cm 为使板凳两腿底端 A、 D 之间的距离为 50 cm，那么横梁 EF =_（材质及其厚度等暂忽略不计） 【难度】 【答案】44cm 【解析】如图，分别延长 BM、CN 交 AD 于点 P 和点 Q 在等腰梯形中易得APDQ，EMFN， 由/ / /BCEFAD，即得：20BCMNPQ，则有 15AP ，题中40832BM ，40BP ，由/ /EFAD，则有EMBMAPBP， 即321540EM，得12EMFM，则44

25、EFEMMNNFcm 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的实际应用 【练习 29】 如图， 在ABC中，A ，B， AB = c， 用、 c 表示ABCS_ 【难度】 【答案】2tantan2 tantanc 【解析】作CDAB交AB于点D， 则有tanCDAAD，tanCDBBD， 由此可得tanCDAD，tanCDBD，ABADBD， 即tantanCDCDc，可得：tantantantancCD， 则21tantan22 tantanABCcSCD AB 【总结】考查锐角三角比性质的综合应用，通过作高实现边角转换 A B C D E F N M P Q A B C D 14 / 27

26、【练习 30】在Rt ABC中，斜边2 5AB ， 且5tantan2AB， 则Rt ABC的面积是_ 【难度】 【答案】4 【解析】 设两直角边长分别为a、b， 根据锐角三角比的定义，5tantan2AB， 即52baab， 2252abab，由勾股定理可得22220abAB，则有8ab ，142ABCSab 【总结】考查锐角三角比的基本定义结合勾股定理的应用 【练习 31】已知：如图，AD 是ABC的中线，E 为 AD 上的一点，且1AEEDk，射线 CE 交 AB 于 F，AFFB_ 【难度】 【答案】12k 【解析】作/ /DGEF交AB于点G，则有1AFAEFGEDk， 因为D为BC

27、中点，且/ /DGCF，则G为BF中点， 即有2BFFG，则122AFAFFBFGk 【总结】考查三角形一边平行线性质定理的应用，构造“A”“8”叠加的基本图形 【练习 32】如图，在ABC中，AD 是 BC 上的高，且 BC = 5，AD = 3，矩形 EFGH 的顶点 F、 G 在边 BC 上， 顶点 E、 H 分别在边 AB 和 AC 上， 如果设边 EF 的长为 x （0 x 0） ，D 是 CF 中点，联结 AD 并延长交 BC 于 E （1）求BEEC的值； （2）若 BE = 2 EC，求证：CFAB 【难度】 【答案】（1）mnn；（2）略 【解析】 （1）过点F作/ /FGD

28、E交BC于点G， 则有BGBFmGEAFn，又 D 为 CF 中点，可知E为GC中点， 由此可得：BEmnCEn； （2）证明：BE = 2 EC，则有2BEmnCEn， 由此可得：mn，则有AFFB，即F为AB中点 ACBC，CFAB 【总结】 考查三角形一边平行线性质定理的综合应用， 作平行线构造“A”字型和“8”字型等基本图形进行比例变换即可 A B C D E F G 21 / 27 【练习 44】 在平行四边形 ABCD 中， 点 E 在 BC 边上， 点 F 在 BC 边的延长线上， 且 BE = CF （1）求证：四边形 AEFD 是平行四边形； （2）连接 AF，分别交 DE、

29、CD 于 M、N，若BAME ，求证：ND ADAN ME 【难度】 【答案】略 【解析】证明： （1）四边形ABCD是平行四边形， / /ADBC，ADBC，BECF， EFECCFECBEBCAD， 四边形AEFD是平行四边形； （2）四边形ABCD是平行四边形，BADC AMEDMN，BAME ， ADNDMN MNDDNA ，ADNDMN，ANADDNDM MDME，ND ADAN ME 【总结】考查平行四边形性质和相似的结合应用 【练习 45】如图，梯形 ABCD 中，AB / CD，AD = BC，点 E 在边 AD 上，BE 与 AC 相交于 点 O，且ABEBCA 求证：（1）

30、BAEBOA；（2）BO BEBC AE 【难度】 【答案】略 【解析】证明： （1）四边形ABCD是等腰梯形， DABABC ABEBCA，OABBAC， AOBABC AOBABCDAB ABOABE， BAEBOA； （2）由BAEBOA，则有AEBEOAAB， B EA BA EO A 由AOBABC，则有OAOBABBC， BEBCAEBO，即证BO BEBC AE 【总结】考查相似三角形的判定，先判定在应用进行等比转换 A B C D E F N M A B C D E O 22 / 27 【练习 46】如图，在ABC中，90ACB，点 D 在边 AB 上，DE 平分CDB交边 B

31、C 于点 E，EM 是线段 BD 的垂直平分线 （1）求证：CDBEBCBD； （2）若 AB = 10，cos B =45，求 CD 的长 【难度】 【答案】（1）略；（2）5 【解析】证明： （1）EM是线段BD的垂直平分线， BEDE，BEDB EDBCDE，CDEB DCEBCD， CDECBD，CDDEBEBCBDBD （2）由4cos5BCBAB，可得：8BC ，同时4cos5BMBBE，即得：528BEBEBDBM， 58CDBEBCBD，即得5CD 【总结】考查锐角三角比在直角三角形中的综合应用 【练习 47】如图，在ABC中，90BAC，AD 是 BC 边上的高，点 E 在线

32、段 DC 上， EFAB，EGAC，垂足分别为 F，G求证：（1）EGCGADCD；（2）FDDG 【难度】 【答案】略 【解析】 （1）EGAC，AD是边BC上的高， 90ADCEGCCC， E GCA D C， EGCGADCD （2）90BAC，EFAB，EGAC，四边形是AFEG矩形， AFEG EGCGADCD， AFADCGCD EGAC，AD是边BC上的高，即有9090DACDAFDACC， DAFC， FADGCD， FDAGDC， FDAGDAGDCGDA ，即FDGADC， FDDG 【总结】 考查相似三角形判定定理 1 与定理 2 和相似三角形性质的综合题， 需要根据题目

33、需求进行变形，找准题目所求结论，然后根据性质和判定进行灵活转换 A B C D E M A B C D E F G 23 / 27 FEDCBA【练习 48】据新华社 2014 年 12 月 13 日电，参加湄公河联合巡逻执法的中国巡逻船顺利返 航已知在巡逻过程中，某一天上午，我巡逻船正在由西向东匀速行驶，10:00 巡逻船 在 A 处发现北偏东 53.1 方向，相距 10 海里的 C 处有一个不明物体正在向正东方向移 动，10:15 巡逻船在 B 处又测得该物体位于北偏东 18.4 方向的 D 处若巡逻船的速度 是每小时 36 海里 （1）试在图中画出点 D 的大致位置，并求不明物体移动的速

34、度； （2）假设该不明物体移动的方向和速度保持不变，巡逻船航行的方向和速度也不变，试问什么时间该物体与我巡逻船之间的距离最近？ （备用数据：sin53.10.8，cos53.10.6，cot53.10.75，sin18.40.32，cos18.40.95，cot18.43） 【难度】 【答案】（1）D点位置如图，不明物体移动速度为每小时 12 海里；（2）10:20 该物体与巡逻船距离最近 【解析】 （1）B点北偏东 18.4 即为D点位置，如图所示，18.4EBD； 作CFAB交AB于点F，则有CFBE， 则有53.1ACF，由此可得sin10 0.88AFACACF， cos10 0.66

35、CFACACFBE， 由此可得：62cot3BEDEEBD， 巡逻船速度为每小时 36 海里，可得1536960AB ，则有1FBABAFCE ， 则3CDCEED，不明物体速度为1531260海里/小时； （2）两物体距离最近，巡逻船正好在不明物体的下方，转化为追及问题，可知巡逻船行驶 时间为18361220min3h，即 10:20 时该物体与我巡逻船距离最近 【总结】 考查方位角和锐角三角比在实际问题中的应用， 把相应的长度转化为直角三角形的边长即可 24 / 27 【练习 49】如图，在ABC中，90C，AC = 4，BC = 3，O 是 AB 上一点， 且 AO : OB = 2 :

36、 5 （1）过点 O 作OHAC垂足为点 H，求点 O 到直线 AC 的距离 OH 的长；（图 1） （2） 若 P 是边 AC 上的一个动点， 作PQOP交线段 BC 于点 Q （不与 B、 C 重合） （图 2） 求证：POHQPC； 设 AP = x，CQ = y，试求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域； 当 AP 为何值时，能使OPQ与CPQ相似 【难度】 【答案】（1）67； （2）略； 2716663yxx ， 定义域为847x； 267或107或187 【解析】 （1）由OHAC，90C， 可得/ /OHBC，则有27OHOABCAB， 由此可得：67OH ； （2）90

37、OPQ，90CPQOPH90C，90CPQCQP CPQOPH90CPHO， POHQPC； POHQPC，则有PHOHCQPC，由3tan4BCOHAACAH，可得：87AH ， 则有87PHx，4CPx， 即得86774xyx， 整理得：2716663yxx 847x； POHQPC，则有OPOHPQCP，若OPQ与CPQ相似，则应有OHPHPCOH或 OHOHPCPH，即可得:6677847xx或6877647xx，分别解得：187x ，107，267 【总结】 相似的分类讨论只需要转化为一个三角形中的边的关系即可， 分类时要注意变化顺序 H A B C O Q A B C O 图 1

38、图 2 P H 25 / 27 【练习 50】如图，在平面直角坐标系中，点 A、C 分别在 x 轴，y 轴上，四边形 ABCO 为矩 形，AB = 16，点 D 与点 A 关于 y 轴对称，4tan3ACB，点 E、F 分别是线段 AD、 AC 上的动点（点 E 不与点 A、D 重合） ，且CEFACB （1）求 AC 的长和点 D 的坐标； （2）说明AEF与DCE相似； （3）当EFC为等腰三角形时，求点 E 的坐标 【难度】 【答案】（1）20AC ，12 0D，；（2）略； （3）8 0，或1403， 【解析】 （1）由 AB = 16，4tan3ACB，可得：12tanABBCACB

39、，勾股定理可得 2220ACABBC，同时可得：12AOBC，则有120A ，点D与点A关于 y轴对称，可知12 0D，； （2）COADAOOD，可得：ACCD，则有CAOCDO，又/ /BCAO， 得CAOACBCEF，由外角可得CEAECDCDECEFAEF， 由此可得：ECDAEF，即证AEFDCE； （3）由（2）可得：CEFCAE，由FCEACE，可得EFCAEC，EFC为 等腰三角形，即为AEC等腰三角形，由此进行分类讨论： AEAC时，则有20AE ，8EO ，即得E点坐标8 0，； AECE时，作EGAC交AC于点G，则有1102AGAC， 此时4tantan3GEGAEBC

40、AAG，则403GE ， 勾股定理得：22503AEAGGE， 此时143EO ，即得：E点坐标1403，； CEAC时，此时D、E重合，不符合题意，即不存在； 综上所述，点 E 坐标为8 0，或1403， 【总结】 （2）考查利用“一线三等角”基本模型证相似， （3）中的等腰三角形问题通过转化找到简单易算的三角形进行分类讨论即可 A B C D E F O x y G 26 / 27 GyxOMFEDCBA 【练习 51】在平行四边形 ABOC 中，AOBO，且 AO = BO，以 AO、BO 所在直线为坐标 轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知 B（6，0） ，直线 y = 3x + b

41、过点 C 且与 x 轴交于点 D （1）求点 D 的坐标； （2）点 E 为 y 轴正半轴上一点，当45BED时，求直线 EC 的解析式； （3）在（2）的条件下，设直线 EC 与 x 轴交于点 F，ED 与 AC 交于点 G点 P 从点 O 出 发以每秒 1 个单位的速度沿折线 OFFE 运动，在运动过程中直线 PA 交 BE 于 H，设 运动时间为 t当以 E、H、A 为顶点的三角形与EGC相似时，求 t 的值 【难度】 【答案】（1）4 0D，；（2）12yx ； （3）6 或152122 【解析】 （1）由ACBOAO，B（6，0） ， 可得：6 6C，直线 y = 3x + b 过点

42、 C， 则有3 66b ，得：12b ， 令3120yx，得：4x ，即得4 0D，； （2）设0Ea，过点O作/ /OMBE交DE于点M， 则有45OMDBED， 由此可得：135OMEBAE， 根据外角可知45BAOABEBEA，45BEDBEAAED， 所以ABEMEO 由此BAEEMO，则有BEAEOEMO，勾股定理可得22236BEBOOEa， 又42105OMODBEDB，可得22365OMa，代入即为223662365aaaa， 整理得：210240aa，解得：112a ，22a （舍） ，即得012E， 由此可设:12CE ykx过点6 6C，则有6126k ，得：1k ， 由

43、此可知直线 EC 解析式为：12yx ； （3）分类讨论：点P在OF上运动时，由:12CE yx ，可得：12 0F，则有 45OFEACEAEC，由此可得HEAGEC，EHA与EGC相似， 则应有45EAHECG，由此可得45OAPEAH，6OPOA， P点运动时间6 16ts ； 27 / 27 点P在EF上运动时，由:12CE yx ，可得：12 0F， 则有45OFEACEAEC， 同可得HEAGEC，EHA与EGC相似， 则应有45EHAECG，由45BED，可得：DEPH， 可得：直线PH解析式为163yx，令16123yxx ， 解得92x ，即9 152 2P， 由此根据勾股定理可得2291515 212222PF， 由此可知点P运动时间为：15 215 21211222s 【总结】考查由角的转化构造找相似三角形的问题