2022年完整word版,浙江大学2021-2021数学分析-试卷及答案 .pdf

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1、1 浙江大学 20 10 -20 11 学年 春夏 学期 数学分析（）课程期末考试试卷（A）课程号： 061Z0010 ，开课学院： _理学部 _ 考试形式：闭卷，允许带 _笔_入场考试日期： 2011 年 6 月 24 日,考试时间： 120 分钟诚信考试，沉着应考，杜绝违纪。请注意：所有题目必须做在答题本上！做在试卷纸上的一律无效！请勿将答题本拆开或撕页！如发生此情况责任自负！考生姓名：学号：所属院系： _一、 计算下列各题：( 前 4题每题 5 分，最后一题 6 分，共 26分 )1.2()(0 3)sinlim.xyxyx，求：2222()(0 3)()(0 3)sinsinlimli

2、m9.xyxyxyxyyxxy，2.(1 2 2)2221().f xyzgradfxyz，设， ，计算：22223(1 2 2)(1 2 2)(1 2 2)(1 2 2)11.2722.272711 2 2.27fxxfrxyzxrrrxffyzgradf，令，则：则：同样，因此， ，3.2222320(3 2 1)Sxyz求曲面：在点，处的法线方程.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页2 222()2320246 .321(3 21)6 8 6.343xyzF xyzxyzFxFyFzxyznr令：， ，则：，因此

3、，在点， ，的法向量， ，故法线为：4.2221.(2 ).4CxCyLxyds?设曲线：的长度为计算：222(2 )(44)44 .=0.CCCCxydsxyxy dsdsLxyds蜒蜒其中：5.2202zxyzz设 为曲面介于平面和之间部分的下侧，计算：(1)(2).dSdxdy；22222222222244.14 2 .4 .xyxyxyxyxyzxyzzxyxydSzz dxdydxdydxdy由于，则：，因此，二、 计算题：（每题 8 分，共 56分）1.22( )2( )()( )2xf xf xxf x设是周期为的函数，且，求：的211.nFouriern级数，并计算的和精选学习

4、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页3 22222020022112222211(1)( )20.2522( 1)()()cos(12).2325( 1)( )2cos.()(*)65( 1)( 1)(2) (*)0(0)2.61nnnnnnnnnf xbxxadxanxdxnnf xnx xRnxfnnL由于是周期为的偶函数，则：， ，因此，式中，令，则：12222221111122122222211.21111( 1)2.2.2(2 )2(2 )121.6511(*)2.266nnnnnnnnnnnnnnnxnn令：，则：

5、因此，【或】：在式中令，则：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4 2.211(2)1.44nnnnnxnn计算级数的收敛域及和函数，并计算的值222112221111211( )(2)4(2)(1)limlim104.( )(1) 4(2)4( 2)12104.44(0 4).(2)(2)( )( )4nnnnnnnnnnnnnnnnnnnuxxnxxuxnxxxnnnnxttS tS ttn，则：当时，发散；当时，发散因此，级数的收敛域为：，令，则：1222111.(11).1(2)(2)( )ln(1).ln 1

6、ln 4ln(4).4404.14(3)3ln.43nnnnnnttxxS ttxxnxxn其中：故，所以，其中：上式中令，可得，2111112211(2)limlim141( 1)11.11.(2)(2) 11).110444.(0 4)nnnnnnnnnnnnnnnnaxtnttnannttnntxxxnn【或】：令，对于级数而言，因此，的收敛半径为而当时，级数收敛；当时，级数发散故级数的收敛域为， 因此，当，即时收敛因此，原级数的收敛域为， .下面与上同3.222()2.yzzzf xyfxxx y设， ，且具有阶连续偏导，计算：，12221112221222221112222232(1

7、)2.111(2)222214(2).zyxffxxzyxyfffyffx yxxxxyyxyffffxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页5 4.2222()() |.DxydxdyDxyxyxy计算，其中，22221222002212221cos111()2()().1222()sin213(cossin).281()1121.()()1()222uvxrxyDxyrryrIdrrrrdrxuxyIuvdudvuvyvuv，方法一、区域：令：，则：，方法二、令：，则：，221222001233cossin344

8、40443444442004113().2281(cossin )413 13 2sin()sin2sin2.444 2 28uvuuvdudvdrrdrIdr drdduduudu方法三、5.222()|1.ze dxdydzxyzxyz计算三重积分：，其中， ，222222221(0)211110000cos0cos2011012.241(sin )4sincos2422 .22zzxyzzrzruxxuzzxyzxoyezIe dVIdrdre dzr edrrxxxedxue duIe dzdxdye由于积分区域关于平面对称，被积函数关于 为奇函数，因此，方法一、令：方法二、12021

9、1cos2cos2220000011cos2000(1)2 .2sin4sin44(1)2 .zdzIddeddededed方法三、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页6 6.2222()Mxyza设点， ，是球面第一卦限中的一点，S 是球面在该点处的切平面被3 个坐标平面所截三角形的上侧，求：点()M，使曲面积分：SzdxdyydzdxxdydzI为最小，并求此最小值 . 22222226322262222222(1)()( coscoscos )11.2cos2(2).327SSSSxyzaMxyzaxdydzyd

10、zdxzdxdyxyzdSxyzaaadSadSaaaaaa球面在点， ，处的切平面方程为：由于，则：333.3 33 3.233 3(,).2333SaaxdydzydzdxzdxdyaxyzaaaMa因此，等号在时成立故，点为，时，曲面积分有最小值62222(1).30.2(2)xyyzzxxyyzzxxyyzzxSSSSSSSSSSSGuassIxdydzydzdxzdxdyxdydzydzdxzdxdyaaaadVxyzaL+【或】：添加切平面与坐标平面所围立体的另三个三角形、，使其与所围闭曲面方向为外侧则：根据公式可得：切平面：，截距分别为：、构造222222223min()().2

11、0(1)20(2)20(3)0(4)02 .(4).3.33 3xyzagrangef xyzxyzxyzafyzxfzxyfxyzfxyzayzzxxyaxyzxyzxyzaaxyzxyzI函数：， ， ，令：由于 、 、，则：将其代入可得，由于驻点唯一，根据实际问题当时，有最大值因此，33 3.2a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页7 7.22(0)cos(0)42CxdyydxxCAyBxy计算，其中曲线是从点， 沿到点，再从(2 ).BD点 沿直线到点，22222222222222222222022224.4

12、4(4)4(0).444410arc42CCDALDALLyxPyxQPQxyxyyxyxDALxyxdyydxxdyydxxdyydxxdyydxxyxyxyxydyxdyydxy?方法一、，则：连接，作 ：， 足够小 ，方向为顺时针则：2220224221122332222222221tan2217.88(0)(2 )(2 )(2 ).444(4)xyydxdyAAAAAAADLyxPyxQPQCLxyxyyxyxPQ方法二、从点， 沿直线到点，、再从点沿直线到点，、从点沿直线到点，、再从点沿直线到点；记此路径为由于，则：；且在由曲线、所围区域内、都11223322222222222222

13、022202442244444422arctanarctanarctanarctan2242248CLAAA AA AA Dxdyydxxdyydxxyxydydxdydxyxyxyxyx有一阶连续连导数，因此，7.4448精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页8 三、 证明题：（每题 9 分，共 18分）1.210cos( )( )1nnnnxuxDf xn叙述级数在数集上一致收敛的定义，并证明：(0 2 ).在，内连续，且有连续导数22220022022200cos11cos(1)(0 2 )1111cos(0 2

14、)(0 2 )1cos( )(0 2 )1cossin(2)( )111nnnnnnxnxxnnnnnxnNnnxf xnnxnnxng xnnn由于对，有，而收敛，故级数在，内一致收敛 .另外，对，函数在，内连续，因此，在，内也连续 .记，由于12200221cos()cos1220()2sin.sin2 sin22sinsin2(0 2 )11.cossin(0 2 )( )(0 211nknnxnxkxxnnxnnxDirichletnnnxnnxf xnn单调趋向于零，且对，及，根据判别法，在，上一致收敛，即在，上内闭一致收敛又在，内连续，故，在， )内具有连续的导数 .2.0()(

15、)yfx证明：存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，220(0)0sin( )2( )cos1.xdyfxfxf xxdx满足，且并计算的值22222222222()sin()2cos1( )(1)()(2)(0 0)0(3)2 cos()2(4)(0 0)20(5)2 cos()sin0()( )(0)0sin(yyxF xyxyyxF xyRFFyxyRFFxxyxRyf xfxf? 令：，*则：，在上连续；，；在上连续；，；在上连续 .根据隐函数存在性定理，存在，及定义在，内的具有连续导数的函数，满足，且222222220)2 ( )cos1.sin()2cos100.cos()(22)2sin0.sin2 cos().0.22 cos()xxf xxxyyxxxyxyxyyyxxxxydyyyxydx? 在两边同时对 求导， 且当时，则：因此，故，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页