2022年导数的概念及其几何意义 .pdf

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1、1 / 10同步课程导数的概念及其几何意义1 函数的概念？设AB、是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数(f x ）和它对应，那么就称:fAB 为从集合A到集合B的一个函数记作：(,yf xxA）其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合(f x xA） 叫做函数的值域2 判断函数的单调性有哪几种方法？定义法、图象法、复合函数的单调性结论：“ 同增异减 ” 等. 一、导数的概念1函数的平均变化率：一般地，已知函数( )yf x ，0 x ，1x 是其定义域内不同的两点，记

2、10 xxx ，10yyy10()()f xf x00()()f xxf x，则 当0 x时 ， 商00()()f xxf xyxx称 作 函 数( )yf x在 区 间00,xxx（ 或00,xxx）的平均变化率注：这里x，y 可为正值，也可为负值但0 x，y 可以为02函数的瞬时变化率、函数的导数：设函数( )yf x 在0 x 附近有定义，当自变量在0 xx 附近改变量为x时，函数值相应的改变00()()yf xxf x如果当x趋近于0时，平均变化率00()()f xxf xyxx趋近于一个常数l（也就是说平均变化率与某个常数l的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l称为

3、函数( )f x 在点0 x 的瞬时变化率“ 当x趋近于零时，00()()f xxf xx趋近于常数l” 可以用符号 “” 记作：“ 当0 x时，00()()f xxf xlx” ，或记作 “000()()limxf xxf xlx” ，符号 “” 读作 “ 趋近于 ” 导数的概念及其几何意义知识讲解知识回顾精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 / 10同步课程导数的概念及其几何意义函数在0 x 的瞬时变化率，通常称为( )f x 在0 xx 处的导数，并记作0()fx这时又称( )f x 在0 xx 处是可导的于

4、是上述变化过程，可以记作“ 当0 x时，000()()()f xxf xfxx” 或“0000()()lim()xf xxf xfxx” 3可导与导函数：如果( )f x 在开区间 (,)a b 内每一点都是可导的，则称( )f x 在区间 ( ,)ab 可导这样，对开区间(,)a b内每个值x，都对应一个确定的导数( )fx 于是，在区间( ,)ab 内，( )fx 构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数( )yf x 的导函数记为( )fx 或 y （或xy ） 导函数通常简称为导数如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数二、导数的几何意义1.导数的几何意义：设函数( )

5、yf x的图象如图所示AB为过点00(,()A xf x与00(,()B xxf xx的 一 条 割 线 由 此 割 线 的 斜 率 是00()()f xxf xyxx， 可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率当点 B 沿曲线趋近于点A时，割线 AB 绕点A转动，它的最终位置为直线 AD ， 这条直线 AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()limxf xxf xx切线 AD 的斜率由导数意义可知，曲线( )yf x过点00(,()xfx的切线的斜率等于0()fx2.求曲线的切线方程若曲线( )yf x 在点00(,)P xy及其附近有意义，给横坐标0 x 一个增量x ，相应的纵坐标也

6、有一个增量00()()yf xxf x，对应的点00(,)Q xx yy .则 PQ 为曲线( )yf x 的割线 .当0 x时 QP ,如果割线 PQ趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线 PQ 的斜率yx就趋近于切线的斜率. 切线的方程为00()yyk xx. x0 xyxODCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 / 10同步课程导数的概念及其几何意义题型一、导数的概念【例 1】如图，函数( )f x 的图象是折线段ABC，其中ABC， ，的坐标分别为(04)(20)(64)，

7、 ，则(0)ff；函数( )fx 在1x处的导数(1)f1234654321BCAOyx【例 2】求函数21yx在0 x到0 xx之间的平均变化率【例 3】求函数2( )f xxx在1x附近的平均变化率，在1x处的瞬时变化率与导数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 / 10同步课程导数的概念及其几何意义【例 4】求 yx 在0 xx 处的导数题型二、导数的几何意义【例 5】已知曲线1yxx上一点(1 2)A ，用斜率定义求：过点 A 的切线的斜率；过点 A 的切线方程【例 6】函数( )f x 的图象如图所示，下

8、列数值排序正确的是（）Oyx321A 0(2)(3)(3)(2)ffffB 0(3)(3)(2)(2)ffffC 0(3)(2)(3)(2)ffffD 0(3)(2)(2)(3)ffff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 / 10同步课程导数的概念及其几何意义【例 7】求函数( )af xaxx(0)a的图象上过点A2(1)aa，的切线方程题型三、综合问题【例 8】已知直线ykx 1 与曲线 yx3axb 切于点 (1,3)，则 b 的值为 () A3B 3 C5 D 5 【例 9】曲线 yxx2在点 (1， 1

9、)处的切线方程为() Ay 2x1 By2x1 Cy 2x3 Dy 2x2 【例 10】 设曲线 yax2在点 (1，a)处的切线与直线2xy60 平行，则a () A1 B.12C12D 1 【例 11】 若 函数f(x) 13x312f (1)x2 f(2) x 5，则曲线f(x) 在点 (0， f(0) 处的切线l 的方程为_【例 12】 已知 f1(x)sinxcosx，记 f2(x)f1(x)，f3(x)f2(x)， ，fn(x)fn1(x)(nN*，n2) ，则 f1(2)f2(2) f2 012(2)_. 【例 13】 曲线 C：f(x)sin xex2 在 x0 处的切线方程为

10、_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 / 10同步课程导数的概念及其几何意义【例 14】 已知直线 ykx 与曲线 yln x 有公共点，则k 的最大值为 _【例 15】 设 P 为曲线 C：yx2x1 上一点，曲线C 在点 P 处的切线的斜率的范围是1,3，则点 P纵坐标的取值范围是_【例 16】 曲线 C：f(x)sin xex2 在 x0 处的切线方程为_【例 17】 若曲线4yx 的一条切线l与直线480 xy垂直，则l的方程为（）A 430 xyB450 xyC 430 xyD430 xy【例 18】

11、若存在过点 (1 0)，的直线与曲线3yx 和21594yaxx都相切，则a 等于（）A1或2564B1或214C74或2564D74或7【例 19】 已知函数21( )( )5g xf xx 的图象在P点处的切线方程为8yx，又P点的横坐标为5，则(5)(5)ff_【例 20】 曲线32242yxxx在点 (13)，处的切线方程是_曲线32242yxxx过点 (13)，的切线方程是_【例 21】 已知曲线31433yx，则过点(24)P，的切线方程是 _【例 22】 已知曲线 s：33yxx 及点(22)P，则过点P可向 s引切线的条数为_【例 23】 曲线1yx和2yx 在它们的交点处的两

12、条切线与x轴所围成的三角形的面积是_【例 24】 偶函数 f(x)ax4bx3 cx2dxe的图象过点P(0,1)，且在 x1 处的切线方程为yx2，求y f(x)的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 / 10同步课程导数的概念及其几何意义【例 25】 设有抛物线C：y x292x4，通过原点O 作 C 的切线 ykx，使切点P 在第一象限(1)求 k 的值；(2)过点 P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标【例 26】 已知曲线32yxx在点0P 处的切线1l 平行直线 410 xy，且点0

13、P 在第三象限，求0P 的坐标；若直线1ll ，且l也过切点0P ，求直线l的方程【例 27】 已知函数32( )cf xxbxxd 的图象过点(02)P，且在点( 1( 1)Mf，处的切线方程为670 xy求函数( )yf x 的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 / 10同步课程导数的概念及其几何意义【例 28】 已知直线1l 为曲线22yxx在点 (1 0)，处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12ll ，（1）求直线2l 的方程；（2）求由直线1l 、2l 和 x轴所围成的三角形的面积【练 1】

14、函数2( )21f xx在闭区间 1 1x，内的平均变化率为（）A12 xB2xC32 xD42 x【练 2】曲线324yxx在点 (1 3)，处的切线的倾斜角为（）A30B45C60D120【练 3】过点 (11)，作曲线3yx 的切线，则切线方程为_【练 4】已知函数32( )(1)(2)f xxa xa axb ()abR，若函数( )f x的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a， b的值随堂练习精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 / 10同步课程导数的概念及其几何意义【练 5】已知曲线C：43232

15、94yxxx，求曲线C上横坐标为1的点的切线方程【练 6】已知曲线y16x21 与 y1x3在 xx0处的切线互相垂直，求x0的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 / 10同步课程导数的概念及其几何意义【题 1】若函数2( )fxx，则当1x时，函数的瞬时变化率为（）A1 B1C2 D2【题 2】已知曲线1yxx上一点522A，用斜率定义求：过点A的切线的斜率； 过点A的切线方程【题 3】设函数( )bfxaxx，曲线( )yf x在点(2(2)f，处的切线方程为74120 xy求( )yf x 的解析式；证明： 曲线( )yf x 上任一点处的切线与直线0 x和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值课后作业精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页