初中数学九年级秋季学生版 九年级秋季班-第4讲：解直角三角形.pdf

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1、 1 / 17 解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容， 通过本节的学习， 需要掌握直角三角形中， 除直角外其余五个元素之间的关系， 并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形， 以及解直角三角形的相关应用 重点在于理解仰角、 俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题；难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题 1、 解直角三角形解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形 在tRABC中，如果=90C，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： 222abc （2）锐角之间的关系： 9

2、0AB （3）边角之间的关系： sincosaABc，cossinbABc tancotaABb，cottanbABa 解直角三角形 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一：解直角三角形 知识知识精讲精讲 2 / 17 A B O x y A B C D E A B C D E O 【例1】 ABC中，90C，已知 AB = 6.4，40B，则A _，AC =_，BC =_（sin400.64 ，sin500.77 ，边长精确到 0.1） 【例2】 若菱形的周长为 8，相邻两内角之比为 3 : 1，则菱形的高是_ 【例3】 如图，OAB中，OA = OB，125AOB已知点 A 的坐标是（

3、4，0），则点 B的坐标是_（用锐角三角比表示） 【例4】 如图， 在ABC中，90BAC， AB = AC， D 为边 AC 的中点，DEBC于点 E，连接 BD，则tanDBC的值为（ ） A13 B21 C23 D14 【例5】 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是边 AD 的中点，若 AC = 10，DC =2 5，则 BO =_，EBD的度数约为_（参考数据：1tan26 342） 【例6】 在锐角ABC中，AB = 14，BC = 14，84ABCS，求 cot C 的值 例题解析例题解析 3 / 17 A B C A B C D A B C A B

4、 C 【例7】 如图，ABC中，2 3AB ，AC = 2，边 BC 上的高3AD ，求ABCS和BAC的大小 【例8】 如图，在锐角ABC，4sin5B ，tan2C ，且40ABCS，求 BC 的长 【例9】 如图，ABC中，30B，45C，22ABAC，求 BC 的长 【例10】 如图，先将斜边 AB 长 6 cm，30A 的直角三角板 ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 90至A B C位置，再沿 CB 向左平移，使点 B 落在原三角板 ABC 位置的斜边 AB 上，则平移的距离为_ 4 / 17 A B C D A B C D A B C D E N M 【例11】 如图，正方形 AB

5、CD 中，E 为边 BC 上一点，将正方形折叠，使 A 点与 E 点重合，折痕为 MN，若1tan3AEN，DC + CE =10 （1）求ANE的面积； （2）求sinENB的值 【例12】 如图，四边形 ABCD 中，90AC ，120B，AB = 4，BC = 2，求四边形的面积 【例13】 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AD = AB = BC，连接 AC，且30ACD，2 3tan3BAC，CD = 3，求 AC 的长 5 / 17 A B C D E F N M x y O 【例14】 小智在学习特殊角的三角比时发现，将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过 B 点的直线折叠，使

6、点 A 落在 BC 上的点 E 处，折痕 BM还原后，再沿过点 E 的直线折叠，使点 A 落在 BC 上的点 F 处，折痕 EN利用这种方法，可以求出tan67.5的值是21，试证明之 【例15】 在平面直角坐标系内，放置了 5 个如图所示的正方形（用阴影表示） 点1B在y 轴上，点1C、1E、2E、2C、3E、4E、3C在 x 轴上已知正方形1111ABC D的边长为 1，1160BCO，11BC/22B C/33B C，则点3A到 x 轴的距离是（ ） A3318 B3118 C336 D316 6 / 17 仰角 视线 水平线 视线 俯角 铅垂线 北 北偏东 30 南偏西 45 北偏西

7、70 南偏东 50 30 70 45 50 h l 1、 仰角与俯角仰角与俯角 在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角如图，当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角俯角 2、 方向角方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90 的角叫做方向角 如图：北偏东 30 ，北偏西 70 ，南偏东 50 ，南偏西 45 3、 坡度（坡比） 、坡角坡度（坡比） 、坡角 在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度 如图， 坡面的铅垂高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡面的坡度坡度 （或坡比坡比） ， 记作 i， 即hil 坡

8、度通常写成 1 : m 的形式，如1:1.5i 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 坡度 i 与坡角之间的关系：tanhil 模块二：解直角三角形的应用 知识知识精讲精讲 7 / 17 A B O C A B D A B P 北 A B C 【例16】 如图， 为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度， 在距离树的底端 30 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角ABO为，则树 OA 的高度为（ ） A30tan B30sin C30tan D30cos 【例17】 如图， 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 55方向， 距离灯塔 2 海里的点 A 处 如果海轮沿着正南方向航行到灯塔的正东方向， 那么海轮

9、航行的距离 AB 的长是 （ ）海里 A2 B2sin 55 C2cos 55 D2tan 55 【例18】 如图所示， 某公园入口处原有三级台阶， 每级台阶高为 18 厘米， 深为 30 厘米，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡 BC 的坡度 i = 1 : 5，那么 AC 的长度是_厘米 【例19】 如图，斜面 AC 的坡度为 1 : 2，AC =3 5米，坡顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B点与 A 点有一条彩带相连，若 AB = 10 米，则旗杆 BC 的高度为（ ）米 A5 B6 C8 D3+ 5 例例题解析题解析 8 / 17 A B

10、C D O A B C D A B C H P Q 【例20】 如图，要在宽为 22 米的大道 AB 两边安装路灯，路灯的灯臂 CD 长 2 米，且与灯柱 BC 成 120角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 DO 与灯臂 CD 垂直当灯罩的轴线 DO 通过公路路面中心线时照明效果最佳此时，路灯的灯柱 BC 的高度应该设计为（ ）米 A112 2 B112 3 C11 32 2 D11 34 【例21】 如图， 为测得一栋大厦 CD 的高度， 一人先在附近一楼房的底端 A 点观测大厦顶端C处的仰角是60， 然后爬到该楼房顶端B处观测大厦底部D处的俯角是30，已知楼房高 AB 约是 45 m，根据

11、以上观测数据可求大厦的高 CD 是_m 【例22】 如图，小智在大楼 30 米高（即 PH = 30 米）的窗口 P 处进行观测，测得山坡上 A 处的俯角为 15，山脚 B 处的俯角为 60已知山坡的坡度为1:3，点 P、H、 B、 C、 A 在同一平面上，点 H、 B、 C 在同一直线上，且PHHC则山坡上 A、B 两点间的距离为_ 【例23】 某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图（如图） ，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你计算图中 CE 的长 （参考数据：sin180.309 ，cos180.951，tan180

12、.325，cot183.078 ，结果精确到 0.1 m） A B C D E 9 m 0.5 m 18 9 / 17 A B C D A B A B O O 【例24】 小方在课外活动中观察吊车的工作过程， 绘制了如图所示的平面图形 已知吊车吊臂的支点 O 距离地面高2OO 米当吊臂顶端由点 A 抬升至点A（吊臂长度不变） 时， 地面 B 处的重物 （高度不计） 被吊至B处， 紧绷着的吊缆A BAB AB垂直地面O B于点 B，直线A B垂直地面O B于点 C，吊臂长度10OAOA米，且3cos5A，1sin2A （1）求重物在水平方向移动的距离 BC； （2）求重物在竖直方向提升的高度B

13、C 【例25】 如图，是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是 10 米，CBDB，坡面 AC的坡角为 45为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面 DC的坡度为3:3i 若新坡角下需留 3 米宽的人行道，问离原坡角（A 点处）10 米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：21.414，31.732） 【例26】 数学兴趣小组准备利用所学的知识测量公路旁某广告牌的高度 如图所示， 先在水平面上点 A 处测得对广告牌上沿点 C 的仰角为 30，然后沿 AH 方向前进 10米至点 B 处， 测得对广告牌下沿点 D 的仰角为 60 已知矩形广告牌垂直于地面的一边 CD 高 2 米求广告牌的高度

14、 GH（结果保留根号） A B C D G H 广告牌 10 / 17 A B C D P N M Q H A B C D O 北 东 【例27】 如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向 A 处，轮船乙位于码头 O 的正北方向 C处，测得45CAO轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为 45 km/h 和 36 km/h经过 0.1 h，轮船甲行驶至 B 处，轮船乙行驶至D 处，测得58DBO此时 B 处距离码头 O 有多远？（参考数据：sin580.85 ，cos580.53，tan581.60 ） 【例28】 如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段 AB 表

15、示高架道路旁的一排居民楼 已知点A到MN的距离为15米， BA的延长线与MN相交于点D， 且30BDN，假设汽车在高架道路上行驶时，周围 39 米以内会受到噪音的影响 （1） 过点 A 作 MN 的垂线，垂足为 H如果汽车沿着从 M 到 N 的方向在 MN 上行驶， 当汽车到达点 P 处时，噪音开始影响这一排居民楼，那么此时汽车与点 H 的距离 为多少米？ （2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板当汽车行驶到点 Q 时，它与这 一排居民楼的距离 QC 为 39 米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音 板至少需要多少米长？（结果精确到 1 米，参考数据：31.7） 11 / 17

16、 A B C D E F N M P J H A B C 【例29】 台风是一种自然灾害， 它以台风中心为圆心， 在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力据气象部门观测，某沿海城市 A 正南方向相距 220 km 的 B处有一台风中心，中心最大风力为 12 级，每远离台风中心 20 km，风力就会减弱一级现台风中心正以 15 km/h 的速度沿北偏东 30方向移动，如图所示若城市所受风力达到或超过 4 级，则称为受台风影响 （1）设台风中心风力不变，该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由 （2）如该城市受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ （3）该城市受到台风影响时的最

17、大风力为几级？ 【例30】 某水库大坝的横截面积是如图所示的四边形 ABCD，其中 AB / CD瞭望台PC 正前方水面上有两艘渔船 M、N，观察员在瞭望台顶端 P 处观测渔船 M 的俯角31，观测渔船 N 的俯角45已知 MN 所在直线与 PC 所在直线垂直，垂足为 E，PE 长为 30 米 （1）求两渔船 M、N 之间的距离（结果精确到 1 米） （2）已知坝高 24 米，坝长 100 米，背水坡 AD 的坡度 i = 1 : 0.25为了提高大坝的防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽 3 米，背水坡FH 的坡度为 i = 1 : 1.5施工 12 天后，为尽快完

18、成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的 1.5 倍，结果比原计划提前 20 天完成加固任务施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？ （参考数据：tan310.60，sin310.52 ） 12 / 17 A B C D A B C D A B C D E F G A B C D 【习题1】 如图， 菱形 ABCD 的边长为 15，3sin5BAC， 则对角线 AC 的长为_ 【习题2】 有一个相框的侧面抽象为如图所示的几何图形，已知 BC = BD = 15 cm，40CBD，则点 B 到 CD 的距离为_cm （参考数据：sin200.342，cos200.940，sin4

19、00.642，cos400.766，结果精确到 0.1 cm） 【习题3】 如图，为了测得电视塔的高度 AB，在 D 处用高为 1 米的测角仪 CD 测得电视塔顶端 A 的仰角为 30，再向电视塔方向前进 100 米到达 F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为 60，则这个电视塔的高度 AB 为（ ） A50 3米 B51 米 C50 3+1米 D101 米 【习题4】 如图，ABC中，90C，3sin5B D 是 BC 上一点， 已知45ADC，DC = 6，求tanBAD的值 随堂检测随堂检测 13 / 17 A B C D A B C D E F A B C 30 45 【习题5】 如图，

20、ABC和ADE都是等边三角形，AB = 2AD，已知45BAD，AC与 DE 相交于点 F，ABC的面积为3，求阴影部分的面积 【习题6】 如图，在四边形 ABCD 中，45AC ，105ADBABC （1）若 AD = 2，求 AB； （2）若2 32ABCD，求 AB 【习题7】 2015 年 4 月 25 日 14 时 11 分， 尼泊尔发生 8.1 级地震， 震源深度为 20 千米 中国救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方 C 处有生命迹象在废墟一侧某面上选两探测点 A、B，点 A、B 相距 2 米，探测线与该面的夹角分别是 30和45（如图） ，试确定生命所在的点 C 与探

21、测面的距离（参考数据：21.414，31.732） 【习题8】 利用几何图形，求 sin 18的值 14 / 17 A B C O 北 北 东 A B C A1 B1 C1 【习题9】 如图， 港口 B 位于港口 O 正西方向 120 km 处， 小岛 C 位于港口 O 北偏西 60方向上一艘游船从港口 O 出发，沿 OA 方向（北偏西 30）以 v km/h 的速度驶离港口 O，同时一艘快艇从港口 B 出发，沿北偏东 30的方向以 60 km/h 的速度驶向小岛 C，在小岛 C 用 1 h 加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去 （1）快艇从港口 B 到小岛 C 需要多长时间？ （2）

22、若快艇从小岛 C 到与游船相遇恰好用时 1 h， 求 v 的值及相遇处与港口 O 的距离 【习题10】 如图所示，已知边长为 2 的正三角形 ABC 沿直线 l 顺时针滚动 （1）当ABC滚动一周到111ABC的位置时，A 点所运动的路程约为_； （精确到 0.1） （2） 设ABC滚动 240， C 点的位置为C， 当ABC滚动 480时， A 点的位置再A，请你利用正切的两角和公式tantantan1tantan， 求出CACCAA的度数 15 / 17 A B C D E F A B C 北 东 A B C D E F A B C D 【作业1】 如图，将正方形 ABCD 的边 BC 延

23、长到点 E，使得 CE = AC，AE 与 CD 相交于点 F，求E的余切值 【作业2】 如图， 在矩形 ABCD 中， AB = 8， BC = 12， E 是 BC 的中点， 连接 AE， 将ABE沿 AE 折叠，点 B 落在点 F 处，连接 FC，则sinEFC的值为_ 【作业3】 如图，AD 是ABC的中线，1tan3B ，2cos2C ，2AC 求： （1）BC 的长； （2）sinADC的值 【作业4】 如图，轮船从 B 处以每小时 60 海里的速度沿南偏东 20的方向匀速航行，在B 处观测灯塔 A 位于南偏东 50方向上轮船航行 40 分钟到达 C 处，在 C 处观测灯塔 A 位

24、于北偏东 10方向上，则 C 处与灯塔 A 的距离是（ ） A20 海里 B40 海里 C2033海里 D4033海里 课后作业课后作业 16 / 17 A B C D A B C D D A B C A B C D E N M 【作业5】 如图，在ABC中，45B，5 62AB ，D 是 BC 上一点，AD = 5，CD = 3，求ADC的度数及 AC 的长 【作业6】 如图，点 D 在ABC的边 BC 上，CBADDAC ，4tan7BAD，65AD ，CD = 13，求线段 AC 的长 【作业7】 如图， 一栋楼房 AB 背后有一台阶 CD， 台阶每层高 0.2 米， 且 AC = 17

25、.2 米 设太阳光线与水平地面的夹角为，当60时，测得楼房在地面上的影长 AE = 10米现有一只小猫睡在台阶的 MN 这层上晒太阳 （参考数据：31.73） （1）楼房的高度约为多少米？ （2）过了一会儿，当45时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由 【作业8】 如图，CD 是ABC的中线，已知90ACD，3cos5A，求 tanBCD 的值 17 / 17 A B C D E F 【作业9】 如图，在梯形 ABCD 中，AD / BC，AB = 4，BC = 6，DACBAEF ，点 E、F 分别在 BC、AC 上（点 E 与 B、C 不重合） ，设 BE = x，AF = y （1）求co

26、sB； （2）求证：ABEECF； （3）求 y 关于 x 的代数式； （4）当点 E 在 BC 上移动时，AEF是否有可能是直角三角形？若有可能，请求出 BE的长；若不能，请说明理由 【作业10】 如图（a）所示，已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上，E是 BC 上一点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG （1）连接 GD，求证：ADGABE； （2）连接 FC，观察并猜测FCN的度数，并说明理由； （3）如图（b）所示，将图（a）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB = a，BC = b（a、b 为常数），E 是线段 BC 上一动点（不含端点 B、C），以 AE 为边在直线 MN 上方作矩形 AEFG， 使顶点 G 恰好落在射线 CD 上 判断当点 E 由 B 向 C 运动时，FCN的大小是否总保持不变， 若FCN的大小不变， 请用含 a、 b 的代数式表示tanFCN的值；若FCN的大小改变，请举例说明 A B C D E F N M G A B C D E F N M G 图（a） 图（b）