2022年高中数学数列求和方法 .pdf

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1、1 / 6数列求和(1)公式法 ：必须记住几个常见数列前n 项和等差数列：2) 1(2)(11dnnnaaanSnn；等比数列：11)1 (111qqqaqnaSnn；(2)分组求和 ：如：求1+1,41a,712a,2311nan,的前 n 项和可进行分组即：2374111111132naaaan前面是等比数列，后面是等差数列，分别求和注：12)13(12)13(annannSn(3) 裂 项 法 ： 如)2(1nnan， 求Sn， 常 用 的 裂 项111)1(1nnnn，)211(21)2(1nnnn；)2)(1(1)1(121)2)(1(1nnnnnnn(4)错位相减法：其特点是cn=

2、anbn其中 an是等差， bn是等比如：求和 Sn=1+3x+5x2+7x3+ +(2n1)xn1注意讨论x，1)1 ()1 ()12()12(1212xxxxnxnxnSnnn(5)倒序求和：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。如求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+(2n1) Cnn=(n+1)2n?名题归类例释错位相减法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 / 6例 1求数例 1，3a，5a2，7a3，(2n 1)an-1，(a1)的前 n 项和解：因 Sn=13a5a27a3 (2n 1)an-1，

3、(1) (1) a得aSn=a3a25a3(2n 3)an-1(2n1)an，2两式相减得 (1 a)Sn=12a2a22a3 2an-1(2n1)an =2(1 aa2a3 an-1)(2n1)an-1 =1)12(1)112nnanaa（所以 :aanaaSnnn11)12()1()1 (22裂项求和法：例 2求和：)( ,32114321132112111*Nnn解：)1(2211kkkak，)1n(n13212112Sn1211121113121211 2nnnnn分部求和法：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6

4、页3 / 6例 3已知等差数列na的首项为1，前 10 项的和为145，求.242naaa解：首先由3145291010110ddaS则12(1)323 22nnnaandna22423(2 22 ) 2nnaaan12(1 2 )323 2261 2nnnn倒序相加法：例 4 设数列na是公差为d， 且首项为da0的等差数列， 求和：nnnnnnCaCaCaS11001解：因为nnnnnnCaCaCaS11001100111nnnnnnnnCaCaCaS21+2得01101102()()()nnnnnnnnSaa CaaCaa C0100()()()2nnnnnnnaaCCCaa110()

5、2nnnSaa常规题型：例 1已知数列na中，nS是其前n项和，并且1142(1,2,),1nnSana，设数列),2, 1(21naabnnn，求证：数列nb是等比数列；设数列), 2, 1( ,2nacnnn，求证：数列nc是等差数列；解：(1)由 S1n=4a2n，S2n=4a1n+2，两式相减，得S2n-S1n=4(a1n-an)，即 a2n=4a1n-4ana2n-2a1n=2(a1n-2an)，又 bn=a1n-2an，所以 b1n=2bn已知 S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得 a2=5，b1=a2-2a1=3由 和 得，数列 bn是首项为3，公比为 2 的

6、等比数列，故bn=321n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 / 6例 2设二次方程nax2-na+1x+1=0(nN)有两根和，且满足6-2 +6=3(1)试用na表示 a1n；3121,236,326111nnnnnnnaaaaaaa2213232)32(2131213211nnnnnaaaaa例 3数列na中，2, 841aa且满足nnnaaa122*Nn求数列na的通项公式；设|21nnaaaS，求nS；解： 1由题意，nnnnaaaa112，na为等差数列，设公差为d，由题意得2382dd，nnan210

7、)1(28. 2假设50210nn则，|,521nnaaaSn时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 / 621281029,2nnaaannn6n时，nnaaaaaaS765214092)(2555nnSSSSSnn故nS409922nnnn65nn?连线高考填空题：1、湖南卷 假设数列na满足：1.2, 111naaann，2，3. 则naaa21.解：数列na满足：111,2,1nnaaan，2，3 ，该数列为公比为2 的等比数列，naaa21212121nn. 2、山东卷 设nS为等差数列na的前 n 项和，

8、4S14，S107S 30，则 S9. 解： 设等差数列na的首项为 a1，公差为d，由题意得,142)14(441da302)17(772) 110(101011dada，联立解得a1=2,d=1，所以 S95412) 19(9293、浙江卷 设nS为等差数列na的前n项和，假设5,10105SS,则公差为用数字作答。解析 ：设首项为1a，公差为d，由题得141491922254510101051111ddddadadada4、(重庆卷 ) 在数列 an中，假设a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_. 解析 ：在数列na中，假设111,23(1)nnaaan，132

9、(3)(1)nnaan，即 3na是以134a为首项，2 为公比的等比数列，1134 22nnna， 所以该数列的通项na123n. 解答题：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 / 65、北京卷 设等差数列 an的首项 a1及公差 d 都为整数，前n 项和为 Sn.()假设 a11=0,S14=98,求数列 an的通项公式；()假设 a1 6，a11 0，S14 77，求所有可能的数列an的通项公式. 解：由S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0,故解得 d=2,a1=20. 因此， an的通项公式是an=222n,n=1,2,3由6, 0,7711114aaS得6,010,11132111adada即122, 0202,11132111adada由 +得 7d11。即 d711。由 +得 13d 1，即 d131于是711d131又 dZ,故 d=1 将代入得10a112. 又 a1Z,故 a1=11 或 a1=12. 所以，所有可能的数列an的通项公式是an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页