初中数学题库试题考试试卷 A级：相似三角形基础.doc

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1、相似三角形基础知识点睛1：比例线段模块一 比例的性质比例线段1这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式;2(反比定理);3(或)(更比定理);4(合比定理);5(分比定理);6(合分比定理);7(等比定理)【例1】 若，则下列各式不成立的是 （ ） A B C D【巩固】若 ，则= 【巩固】若，则=（）A B C D【例2】 如果，则等于（）A B C D【巩固】如果，那么等于( )A B C D【拓展】若，则等于（）A B C D【拓展】已知，且，则 =（）A B C D【例3】 若，则的值为（）A B C或 D不存在 【巩固】已知一张地图的比例尺是，若、两地的实际距离为，则画在地

2、图上的距离是 【巩固】已知，则直线一定经过（）A， B， C， D，【拓展】若，则一次函数的图象必定经过的象限是（）A第一、二象限 B第一、二、三象限C第二、三、四象限 D第三、四象限【拓展】某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（）舞蹈社溜冰社魔術社上学期下学期A舞蹈社不变，溜冰社减少B舞蹈社不变，溜冰社不变C舞蹈社增加，溜冰社减少D舞蹈社增加，溜冰社不变黄金分割点如图，若线段上一点把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即）则称线段被点黄金分割，点叫线段

3、的黄金分割点设，则，即有一元二次方程,根据公式法解得：，因为，所以有，即， ，与的比叫做黄金比【例4】 如图所示，在黄金分割矩形中，分出一个正方形，求【巩固】为平行四边形的边延长线上的一点，且为的黄金分割点，即，交于已知，求的长模块二 平行线分线段成比例定理 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例如图，则若将称为上，称为下，称为全，上述比例式可以形象地表示为当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“”字型，“”字型则有【例5】 如图，小明站在处看甲、乙两楼顶上的点和点三点在同一直线上，点分别在点的正下方，且三点在同一直线上，相距米，相距米，乙

4、楼高米，则甲楼的高为（小明身高忽略不计） ( )A米 B 米 C 米 D 米【巩固】如图，在中，（1） 求的值；（2）求的长【例8】如图，在的边上任取两点和，过点作的平行线交于点，过点作 的平行线交于点，求证：【巩固】如图， 中，有一内接正方形，连接交于， ，求【巩固】如图，且，若，求的长【例5】如图，在平行四边形中，是上的任一点，过点作，与平行四边形的两条边分别交于点、，设，则能反映与之间关系的图象是（ ） A B C D【例6】 如图，已知梯形中，对角线、分别交中位线于点、，且，那么等于 【巩固】已知线段、，求作线段，使，正确的作法是（） A B C D知识点睛2：性质模块一 相似三角形的

5、性质一、相似的有关概念1相似形具有相同形状的图形叫做相似形相似形仅是形状相同，大小不一定相同相似图形之间的互相变换称为相似变换2相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等3相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例二、相似三角形的概念1相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形如图，与相似，记作，符号读作“相似于”2相似比相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形的相似比是1“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”三、相似三角形的性质1相似三角形的对应角相等如图，与相似，则有2相似三角形的对应边成比例如图，与相似，则有（为相似比）3相似三角形的

6、对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比如图1，与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）图1如图2，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）图2如图3，与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）图34相似三角形周长的比等于相似比如图4，与相似，则有（为相似比）应用比例的等比性质有图45相似三角形面积的比等于相似比的平方如图5，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）进而可得图5对应角【例9】如图，若,试找出图中所有的对应角、对应边，并用式子表示对应边【例10】三角形三边之比为，与它相似的三角形最长边是，另两边之各是

7、（ ）A15cm B 18cm C 21cm D 24cm【巩固】的三边长分别为、，的两边长分别为和，若与 相似，则的第三条边长 【拓展】已知的三边长分别为20、50、60，现要利用长度分别为30和60的细木条各一根，做一个三角形木架与相似，要求以其中一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位：）分别为多少？中线、高线、角平分线【例7】 如图与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，试证明：（为相似比）【巩固】已知与相似且对应中线的比为，则与的周长比为（ ）【巩固】若两个相似三角形的相似比是，则这两个三角形对应中线的比是 【例8】 如图与相似，是中边上的高线，

8、是中边上的高线，求证：（为相似比）【巩固】两个相似三角形的面积比与它们对应高之比之间的关系为 【巩固】如果两个相似三角形对应高的比为，那么这两个相似三角形的相似比为 【例9】 如图与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）【巩固】两个相似三角形对应高之比为，那么它们对应中线之比为（） A B C D周长比 、面积比【例10】 如图1，与相似，则有（为相似比）应用比例的等比性质有【例11】 若，它们的面积比为，则的相似比为（） A B C D【例12】 已知，它们的相似比是，的周长为，则的周长为（ ）【巩固】若两个相似三角形的面积之比为，则它们的周长之比为（） A B C D【例1

9、3】 已知，且，则的面积与的面积之比为（） A B C D【例14】 在和中，如果的周长是，面积是，那么的周长、面积依次是 【巩固】如图，已知分别是的边上的一点，且，那么等于（ ） A B C D【拓展】如图，在中，若、的面积分别为、，则的面积为 由三角形相似产生的规律【例15】 一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高的长为现沿底边依交从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（ ）A第4张 B第5张 C第6张 D第7张【巩固】如图所示，路边有两根电线杆，其中，用铁丝将两杆固定，求铁丝与铁丝的交点处距离地面的高度【拓展】 如图，在中，为边的中点，

10、为边上的任意一点，交于点（1）当时，求的值；（2）当时，求的值；（3）试猜想时的值，并证明你的猜想模块二：位似 位似图形：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相较于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心位似变换的坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或位似的性质：（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比（2）位似图形的对应线段的比等于相似比（3）位似图形的周长比等于相似比（4）位似图形的面积比等于相似比的平方位似与相似的区别：例题精讲【例16】 如图，下列各组图形中是位似图形的为

11、 ( ) （1） （2） （3） （4）A（1）（2）（3）（4） B（2）（4） C（1）（2）（4） D（1）（2）（3）【巩固】如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为 （ ）A BC D【巩固】如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，则下列结论正确的理 （ ）A B C D【巩固】判断满足下列关系的与是否是位似图形，如果是，请指出位似中心（1）如图1所示，相交于点，且；（2）如图2所示，相交于点，且【例17】 七边形位似于七边形，它们的面积之比为,已知位似中心到点的距离为，那么到的距离为多少【巩固】如图，与是位似图

12、形，点、共线，点为位似中心（1）与平行吗?试说明理由；（2）若，求的长知识点睛3：判定模块一 相似三角形的判定1平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似3如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似4如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比

13、例，那么这两个直角三角形相似6直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似角对应相等、边对应成比例，三角形相似对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形如图，在与中，则与相似，记作，符号读作“相似于”相似三角形对应边的比叫做相似比全等三角形的相似比是1“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”【例1】 如图，已知四边形是平行四边形求证： 【例2】如图所示，在中，分别为边的中点，点为边上一点，过点作交于点，以为一边

14、作正方形，若，求正方形与矩形的公共部分的面积三条边对应成比例，两三角形相似如图，在与中，若，则有方法点播：利用三边对应成比例证明三角形相似时，如果是填空和选择题，会直接给出三边的长度数或者根据方格数自己算出长度，学生只需要对应的列出比例式就可以解答题中需要由其他的相似导出成比例的三组对边，或者有一类题型要求找某一点时，一定要注意分类讨论，不要丢掉某种情况【例3】 如图所示，如果分别在上，且求证：【巩固】如图，已知是内一点，分另是的中点求证：两角对应相等，两三角形相似如图，在与中，若，则有常见题型中的几何模型有以下几种：方法点播：在解三角形相似问题时，遇到以上第一图和第三图的“”字形图形时，就马

15、上想到有一个公共角，遇到第二图的“”字形时就立马想到有一对对顶角可以利用，遇到直角三角形就想到有无数对互余的角，可以找到两对以上相等的角【例4】 如图，在等腰梯形中，过作，为梯形内一点，连接并延长交于，交于，再连接若求证： 【巩固】如图，在矩形中，将其折叠使落在对角线上，得到折痕，那么的长度为（）【例5】 如图所示，,交于点为上一点，且求证：（1）；（2）【巩固】如图，中，点是内一点，使得， ，则 两边对应成比例且夹角相等，三角形相似如图，在与中，若且，则有方法点播：利用这一性质解题关键之处就是借助很容易求出的相似三角形得到比例线段，再结合本来相等的两个角同时加上同样大小的角和相等来解题【例6】 已知，如图，为内一点连结，以为边在外作求证：【巩固】在和中，如果的周长是，面积是，那么的周长、面积依次为（ ）【拓展】如图，在中，垂足为，且，垂足为，交的延长线于点求证：