初中数学八年级秋季班-第6讲：一元二次方程的判别式及应用-教师版.pdf

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1、 八年级秋季班 1 / 22 根的判别式是一元二次方程中重要的知识点， 可以通过根的判别式在不解方程的情况下判断出根的情况， 也可以在已知根的情况之下求出方程中所含字母的取值范围本节重点能运用根的判别式，判别方程根的情况，会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围等 1一元二次方程根的判别式：我们把2320 xx叫做一元二次方程2320 xx的根 的判别式，通常用符号“2320 xx”表示，记作2320 xx 2 一元二次方程2320 xx， 当2320 xx时，方程有两个不相等的实数根； 当2320 xx时，方程有两个相等的实数根； 当2320 xx时，方程没有实数根 反之，也成立

2、根的判别式及其应用 内容分析内容分析 知识结构知识结构 模块一：判别式的值与根的关系 知识精讲知识精讲 八年级秋季班 2 / 22 【例1】 .填空题： （1） 2320 xx的判别式的值是_； （2） 2221(3)xxx x 判别式的值是_； （3） 23(2)20 xaxab判别式的值是_ 【难度】 【答案】（1）1；（2）3；（3）28244aab 【解析】 （1）1a ，3b ，2c ，22434 1 21bac ； （2）整理成一般形式即为210 xx ，1a ，1b ，1c ，243bac ； （3）3a ，2ba ，2cab， 则222424328244bacaabaab 【总

3、结】考查一元二次方程根的判别式的计算，先整理成一般形式再确定相应系数 【例2】 填空题： （1） 若2320axx没有实数根，则 a 的取值范围是_； （2） 如果关于 x 的一元二次方程2210axx有实数根，那么 a 的取值范围是_； （3） 已知关于 x 的方程2(2)20 xaxab的根的判别式等于 0， 且12x是方程的根，则ab_ 【难度】 【答案】（1）98a ；（2）1a 且0a ；（3）138 【解析】（1） 方程没有实数根， 可知0a ， 则方程为一元二次方程，2380a ， 得98a ； （2）方程有实数根，且为一元二次方程，则有2240a 且0a ， 即得：1a 且0a

4、 ； （3）方程根的判别式为 0，即22242840aabab ，12x 是方程的例题解析例题解析 八年级秋季班 3 / 22 根，代入即得：21122022aab，整理，得：2830ab，所以1a ，则23588ab ，138ab 【总结】考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，注意题目隐含条件 【例3】 如果 a、c 异号，那么一元二次方程 20axbxc的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法确定 【难度】 【答案】A 【解析】a、c 异号，则有240bac 恒成立，可知方程有两不等实根，故选 A 【总结】考查一元二次方程根的判别式的应用 【

5、例4】 不解方程，判定下列方程的根的情况： （1）212202xx； （2）2(21)(2)0yy y； （3）22340 xmxm 【难度】 【答案】（1）两个不相等的实数根；（2）无实数根；（3）略 【解析】 （1）因为12a ，2b ，2c ，则有2460bac ，所以方程有两个不相 等的实数根； （2）整理即为25210yy ，则5a ，2b ，1c ，则有24160bac ，所以原方程无实数根； （3）22234 470mmm ，可知当0m 时，方程有两个相等的实数根； 当0m 时，方程无实数根 【总结】考查根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况 八年级秋季班 4 / 22 【例

6、5】 已知关于 x 的一元二次方程2(1)10(0)mxmxm 一定有实数根吗？为什么？ 【难度】 【答案】一定有实数根 【解析】 因为am ，1bm，1c ， 则有22241410bacmmm 恒 成立，由此可知方程一定有实数根 【总结】方程一定有实数根，0 恒成立即可 【例6】 若关于 x 的方程22 (4)6x mxx没有实数根，求 m 的最小整数值的情况 【难度】 【答案】2 【解析】方程整理成一般式即为221860mxx，方程没有实数根，则210m ， 即方程必为一元二次方程，且有2=84 21648880mm ，即得116m ， 则m的最小整数值为 2 【总结】考查一元二次方程根的

7、情况确定相应字母取值范围 【例7】 关于 x 的方程22169mxxmxm 有两个实数根，求 m 的取值范围 【难度】 【答案】15m 且0m 【解析】方程整理成一般式即为226910mxm xm ，方程有两个实数根，则0m ， 即方程必为一元二次方程，且有2= 264912040mmmm ， 即得：15m 且0m 【总结】 考查一元二次方程根的情况确定相应字母取值范围， 注意有两个相等实数根也属于有两个实数根的情形 八年级秋季班 5 / 22 【例8】 判断关于 x 的方程22(2)4xkxk根的情况 【难度】 【答案】6k 时，方程有两个相等的实数根；6k 时，方程有两个不相等的实数根 【

8、解析】方程整理成一般式即为22240 xkxk， 则 222=24 24123660kkkkk恒成立， 由此可得当6k 时， 方程有两个相等的实数根；6k 时， 方程有两个不相等的实数根 【总结】考查一元二次方程根的判别式的分类讨论，根据字母取值范围讨论 【例9】 已知关于 x 的方程22242320 xaxaa （1）若方程有两个不相等的实根，求 a 的取值范围； （2）若方程有两个相等的实根，求 a 的值，并求出此时方程的根； （3）若方程有实根，求 a 的最大整数值 【难度】 【答案】（1）23a ；（2）23a ，方程根为1223xx；（3）0 【解析】 （1）方程有两个不等实数根，则

9、有22442 23224160aaaa ， 即得：23a ； （2）方程有两个相等实数根，则有24160a ，即得23a ，此时方程即为 2882039xx，解得:1223xx； （3）方程有实数根，则有24160a ，即得23a ，则a的最大整数值为 0 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定字母取值范围题型，根据题目要求得出结论 八年级秋季班 6 / 22 【例10】 已知12xx，是方程20 xpxq的两个实数根，且2211225xx xx，求 q 的最大值 【难度】 【答案】53 【解析】因为12xx，是方程20 xpxq的两个实数根，根据韦达定理可得：12xxp ， 12x xq，由

10、2211225xx xx，即得2212125xxx xpq，则有25pq， 同时韦达定理成立的前提是方程有实数根，即得24540pqqq ，得53q ， 即q的最大值为53 【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根 （1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题 模块二：根的判别式的应用 知识精讲知识精讲 八年级秋季班 7 / 22 【例11】 填空： （1） 方程2410axx 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是_； （2） 当 k =_，方程2(22)520 xkxk有两个相等的实数根； （

11、3） 关于 x 的二次三项式24(1)4xmx是一个完全平方式，则 m =_ 【难度】 【答案】（1）4a 且0a ；（2）2；（3）2 或 0 【解析】 （1）方程有两个不等实根，则有224440baca 且二次项系数0a ， 即得：4a 且0a ； （2）因为方程有两个相等实根，则有22= 224 524160kkk， 即得：2k ； （3）因为原式是完全平方式，即方程24(1)40 xmx有两个相等实根， 则有2161440m ，即得：0m 或2m 【总结】考查一元二次方程根的判别式与方程根的关系 【例12】 要使一元二次方程2230 xxa有两个相等实数根，则 a 的值为（ ） A2

12、B98 C98 D2 【难度】 【答案】B 【解析】方程有两个相等实根，则有2=34 2980aa ，即得98a ，故选 B 【总结】方程有两个相等实根，即0 【例13】 填空： （1） 一元二次方程20 xpxq有两个相等的实数根，那么qp的值为_； （2） 若一元二次方程2250mxmxm有两个相等的实数根，则 m =_ 例题解析例题解析 八年级秋季班 8 / 22 【难度】 【答案】（1）14（应排除0p 的情形）；（2）52 【解析】 （1）方程有两个相等实根，则有2=40pq，即得：4pq，则144qqpq； （2）因为方程有两个相等实根，则有2= 2454250mmmmm，方程为

13、一元二次方程，可得：0m ，则有250m，52m 【总结】方程有两个相等实根，即0 ，注意题目隐含条件 【例14】 已知关于 x 的一元二次方程2(1)(21)30()mxmxmm为实数有两个实数根，求 m 的取值范围 【难度】 【答案】1112m 且1m 【解析】方程有两个实数根，则有10m ，方程必为一元二次方程，且 22141312110mmmm ，即得：1112m 且1m 【总结】 考查一元二次方程根的判别式确定方程根的情况， 注意有两个相等实根的情况和二次项系数不为 0 的隐含条件 【例15】 说明不论 m 取何值，关于 x 的方程2(1)(2)xxm总有两个不相等的实数根 【难度】

14、 【答案】略 【解析】方程整理为一般形式即22320 xxm，222=34 2410mm 恒成 立，即证方程总有两个不相等的实数根 【总结】方程总有不等实根，0 恒成立即可，注意先整理成一般形式再说明 八年级秋季班 9 / 22 【例16】 已知关于 x 的一元二次方程2(1)(21)1mxmxm，其中 m 为实数 （1）若方程有两个相等的实数根，求 m 的值； （2）若方程有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围 【难度】 【答案】（1）54；（2）54m 且1m 【解析】 （1）方程整理为一般形式即2(1)(21)10mxmxm ，方程有两个相等实根， 则有2= 21411450mmmm

15、，即得：54m ； （2）方程有两个不等实根，则有450m 且二次项系数10m ， 即得：54m 且1m 【总结】考查一元二次方程根的判别式讨论方程根的情况，注意二次项系数不为 0 【例17】 关于x的方程2(1)( 21)10mxmxm有实数根，则关于 x 的方程2(3)2(3)50mxmxm的根的情况又如何？写出判断的过程 【难度】 【答案】方程有两不相等的实数根 【解析】 （1）当10m ，即1m 时，方程为一元一次方程，必有实数根，此时另一方程 为24840 xx，284441280 ，即得方程有两个不相等的实数根； （2）当10m 时，方程有实数根，可得221411450mmmm ，

16、 得54m 且1m ，则30m，又24343 532960mmmm ， 所以方程2(3)2(3)50mxmxm有两个不相等的实数根， 综上所述，方程2(3)2(3)50mxmxm有两个不相等的实数根 【总结】考查根据字母取值范围确定方程根的情况，注意分类讨论 八年级秋季班 10 / 22 【例18】 关于 x 方程：222(2)40 xmxm两根的平方和比两根的积大 21，求 m 的值 【难度】 【答案】1 【解析】 设方程两根分别为1x，2x， 根据一元二次方程韦达定理， 可得：1222xxm ， 2124x xm，22121221xxx x，即22212123423421xxx xmm，

17、整理得：216170mm，解得：11m ，217m ，同时韦达定理成立的前提是方 程有实数根，即得224244160mmm ，得0m，所以1m 【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根 【例19】 已知关于 x 的方程2()()()0bc xca xab有两个相等的实数根，求证：2bacbc且 【难度】 【答案】略 【解析】证明：因为方程2()()()0bc xca xab有两个相等的实数根，则方程为一元 二次方程，即得0bc且2224440cabcabacb acb ， 即220acb，得2bac且bc 【总结】考查一元二次方程根的判别式和方程根的情况之间

18、的关系，注意式子的化简 【例20】 恰有一实数满足方程2(2)210k xkx ，求 k 的值 【难度】 【答案】2k 或1k 或2k 【解析】 （1）当20k，即2k 时，方程为一元一次方程，符合题意； （2）当20k时，方程为一元二次方程，则有2224 2420kkkk ， 解得：11k ，22k ；综上所述：2k 或1k 或2k 【总结】未明确说明是一元二次方程的前提下，注意分类讨论 八年级秋季班 11 / 22 【例21】 已知 a、b、c 是三角形 ABC 的三边：且关于 x 的方程 222222222244()3()0 xbcaxa bb cc a有两个相等的实数根， 试判定三角形

19、ABC的形状 【难度】 【答案】等边三角形 【解析】因为方程有两相等实根，得22222222221644 30bcaa bb ca c ， 即2224442222222222221680bcaa bb ca cacbcab ， 化简得：220ac，220bc，220ab，因为 a、b、c 是三角形三边， 可得0a ，0b ，0c ，故有abc，即得三角形 ABC 是等边三角形 【总结】考查一元二次方程根的判别式和方程根的情况之间的关系，注意式子的化简 【例22】 已知关于 x 的方程210 xmxm 有两个不相等的正整数根，求 m 的值 【难度】 【答案】2 22m 【解析】设方程两根分别为1

20、x，2x，根据一元二次方程韦达定理，可得120 xxm ， 1210 x xm ，得0m，同时韦达定理成立的前提是方程有实数根，即得 2241440mmmm ，得：2 22m 【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根 【例23】 求证：关于 x 的方程()()1xa xab一定有实数根，且一个大于 a，一个小于a 【难度】 【答案】略 【解析】方程整理成一般形式即为22210 xab xaab ，则有 22224140abaabb 恒成立， 即证方程一定有实数根， 设方程两根分 别为1x，2x，根据一元二次方程韦达定理，可得：122xxab，2121x xa

21、ab， 则有2221212121210 xaxax xa xxaaabaaba ， 八年级秋季班 12 / 22 即得1xa和2xa一正一负，证得方程有一根大于 a，一根小于 a 【总结】 考查一元二次方程根的判别式和韦达定理的综合应用， 注意首先整理成一元二次方程的一般形式 【例24】 已知实数 a、b 满足221aabb且22tabab，求 t 的取值范围 【难度】 【答案】133t 【解析】由22221aabbababt，可得：23212tabtab，则有302t ，令a、b是一元二次 方程20 xab xab的两根， 则有23144022ttabab ， 得13t ， 即得133t 【

22、总结】 考查一元二次方程韦达定理和根的判别式的综合应用， 转化为方程的根的问题即可求解 【例25】 要使关于 x 的方程22244450440 xmxmmmxx和的根以及系数 m都是整数，求满足这样的条件的 m 的值 【难度】 【答案】1 【解析】当0m 时，方程2440mxx是一元一次方程，根为1x 是整数，此时另一方 程为250 x ，方程根不为整数；当0m 时，两个方程都有根，则有 22144 44516200mmmm ，2241616160mm ， 得514m且0m ，方程根为整数，则值为完全平方数，取整数1m ，此时两方 程根均为整数，符合题意所以 m 的值为 1 【总结】考查一元二

23、次方程根的判别式的综合应用 八年级秋季班 13 / 22 【例26】 若 k 为正整数，且关于x的方程22(1)6(31)720kxkx有两个不相等的正整数根，求 k 的值 【难度】 【答案】2 【解析】 因为方程有两个不相等的实数根， 则方程为一元二次方程， 所以210k ， 得1k ， 对方称因式分解得112160kxkx，解得：1121xk，161xk，方程 有两根为正整数且不相等，则有1 1k ，2，3，4，6，12，11k ，2，3，6，当2k 或3k 时同时成立又方程有两个不相等的实数根，则 22 6(31)472(1)0kk ，即236(3)0k ，所以3k 综上，k 的值为 2

24、 【总结】本题一方面考查因式分解法解方程，另一方面考查了根的判别式的应用，同时注意方程的根为正整数时对应求值的方法 【例27】 已知12xx，是关于 x 的方程：24410kxkxk 的两个根： （1） 当 k 为何值时，12123(2)(2)2xxxx 成立，如果存在，求出 k 的值；不存在，说明理由？ （2） 当12212xxxx的值为整数的实数 k 的值 【难度】 【答案】（1）不存在；（2）2或3或5 【解析】 （1）因为12xx，是方程24410kxkxk 的两根，所以40k ，且 244 41160kk kk ，即得0k ，根据韦达定理可得：121xx， 1214kx xk，则有2

25、2212121212121232225292xxxxxxx xxxx x ， 即2132 1942kk ，得：59k ，与0k 不符，所以不存在这样的 k 值； （2） 因为221212211214244114xxxxkxxx xkk ， 式子值为整数， 可得：11k ， 12k ，14k ，结合0k ，可得：2k 或3k 或5k 【总结】考查一元二次方程的韦达定理，同时注意韦达定理成立的前提是方程有实数根 八年级秋季班 14 / 22 【习题1】 已知关于 x 的方程2(21)0kxkxk，当0k时，它是一元二次方程 填空： （1） 当 k_时，方程有两个不相等的实数根； （2） 当 k_时

26、，方程有两个相等的实数根； （3） 当 k_时，方程没有实数根 【难度】 【答案】（1）14k 且0k ；（2）14k ；（3）14k 【解析】221441kk kk ， （1）方程有两个不等实根，410k 且0k ，即得14k 且0k ； （2）方程有两个相等实根，则有410k ，即得14k ； （3）方程没有实数根，则有410k 且0k ，即得14k 【总结】考查一元二次方程根的判别式判断方程根的情况 【习题2】 一元二次方程2(1)230kxkxk有两个不相等的实数根， 则 k 的取值范围是_ 【难度】 【答案】32k 且1k 【解析】方程有两个不相等的实数根，可知方程为一元二次方程，则

27、二次项系数10k ， 且有224138120kkkk ，即得：32k 且1k 【总结】 考查利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况， 注意二次项系数不为 0 的隐含条件 随堂检测随堂检测 八年级秋季班 15 / 22 【习题3】 关于x的方程22(31)910mxmxm 无实数根，则m的取值范围是_ 【难度】 【答案】15m 【解析】方程无实根，则必有0m ，即方程为一元二次方程，则有 24 314912040mmmm ，即得：15m 【总结】方程无实根，注意排除二次项系数为 0 的情况 【习题4】 关于x的方程2(2)210mxmxm 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是_ 【难度】

28、【答案】23m 且2m 【解析】方程有两个不相等的实数根，可知方程为一元二次方程，则二次项系数20m， 且有224211280mmmm ，即得23m 且2m 【总结】 考查利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况， 注意二次项系数不为 0 的隐含条件 【习题5】 对于一元二次方程20(0)axbxca给出下面 4 个条件：0c； a c，异号；240bac；0abc使方程有实数根的条件有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【难度】 【答案】C 【解析】方程有实数根， 只需要240bac 成立即可， 由此可得： 0c ，20b 恒 成立，方程有实数根（方程必有一根为 0） ；a c

29、，异号，则0ac ，240bac 恒 成立，方程有实数根；240bac，不能确定24bac 与 0 的大小关系，不能确 定是否有实数根；0abc，即得方程必有一根为1x ，综上所述，故选 C 【总结】方程是否有实数根，只需判断在给定条件下240bac 是否恒成立即可 八年级秋季班 16 / 22 【习题6】 当 k 取何值时，方程22213kxkxxxk 有实数根 【难度】 【答案】1312k 【解析】整理成一般形式即为212310kxkxk ， （1）当10k ，即1k 时， 此时230k ，方程为一元一次方程，必有实数根； （2）当10k ，即1k 时， 方程有实数根，则有22341112

30、130kkkk ，即得1312k 且1k ； 综上所述，当1312k 时，方程有实数根 【总结】考查方程有实数根的问题，对二次项系数含有字母的注意分类讨论 【习题7】 求证：关于 x 的方程29(7)30()xkxkk为实数有两个不相等的实数根 【难度】 【答案】略 【解析】证明：22274 932215711360kkkkk 恒成立， 即可证得方程有两个不相等的实数根 【总结】 考查一元二次方程根的存在性问题， 只需要根据题目条件判断相应与 0 的大小关系即可 【习题8】 要使关于x的方程24(1)40axaxa有实根， 整数a取得的最大值是多少？ 【难度】 【答案】0 【解析】 （1）当0

31、a ，此时410a，方程为一元一次方程，必有实数根； （2）当0a 时，方程有实数根，则有21614432160aaaa ， 即得：12a 且0a ；综上所述，12a ，则整数 a 取得的最大值为 0 【总结】考查方程有实数根的问题，由于本题没有说明是一元几次方程，因此要对二次项系数进行分类讨论 八年级秋季班 17 / 22 【习题9】 求证：不论 m 取何值，关于 x 的方程2(21)210mxmx 总有实数根 【难度】 【答案】略 【解析】证明： （1）当210m ，即12m 时，此时20m，方程为一元一次方程，必有 实数根； （2） 当21 0m 时， 方程有实数根， 则2224 214

32、10mmm 恒 成立；综上所述，即证方程必有实数根 【总结】考查方程有实数根的问题，对二次项系数含有字母的注意分类讨论 【习题10】 已知：方程221xxk没有实数根，求证：方程212xkxk 一定有两个不相等的实数根 【难度】 【答案】略 【解析】证明：方程22 =1xx k整理成一般形式即为2210 xxk ，方程没有实数根， 则有224 140kk ，即得：0k ；方程2=12xkxk整理成一般形式即为 2210 xkxk ，则有2224 2184412kkkkk ，由0k ，则有 44k ，2416k ，则24124k ，即证方程有两个不相等的实数根 【总结】考查一元二次方程根的存在性

33、问题，判断相应与 0 的大小关系即可 【习题11】 已知系数 k 是整数，方程2(3)230 xkxk有一个正根、一个负根，且负根的绝对值较大，求 k 的值 【难度】 【答案】2【解析】设方程两根分别为1x，2x，根据一元二次方程韦达定理，可得：123xxk ， 1223x xk，因为方程有一个正根，一个负根，且负根绝对值大，则有30230kk， 解得：332k ，同时韦达定理成立的前提是方程有实数根，即得 2234 2323(3)(1)0kkkkkk 恒成立，得31kk 或 八年级秋季班 18 / 22 所以332k ，又因为 k 为整数，所以可得2k 【习题12】 设 m 为有理数，是否存

34、在实数 k，使方程22443240 xmxxmmk的根是有理数 【难度】 【答案】54k 【解析】因为方程22443240 xmxxmmk根为有理数，则有 2222444 32416321612816mmmkmmmmk 24(644 )mmk为完全平方数，即2644mmk为完全平方数即可， 所以449k，解得：54k 【总结】 一元二次方程的根为有理数， 则说明根的判别式是完全平方数， 即相应的方程0 即可 【作业1】 求下列方程的判别式的值： （1）214xx； （2）214 (0)kxx k； （3）221(21)xkkx； （4）2(1)(1)210(1)kxkxkk. 【难度】 【答案

35、】（1）12；（2）164k；（3）2845kk；（4）2923kk 【解析】 （1）方程整理成一般形式即为2410 xx ，1a ，4b ，1c ， 22444 1 1 12bac ； （2）方程整理成一般形式即为2410kxx ，ak，4b ，1c ，24164back ； （3）方程整理成一般形式即为222110 xkxk，1a ，21bk，21ck ， 22224214 11845backkkk ； （4）1ak，1bk，21ck ，222414121923backkkkk 【总结】考查一元二次方程根的判别式的计算，先整理成一般形式再确定相应系数 课后作业课后作业 八年级秋季班 19

36、/ 22 【作业2】 已知代数式2(26)16xmx是完全平方式，求 m 的值 【难度】 【答案】7 或1 【解析】2(26)16xmx是完全平方式，即得关于x的方程2(26)160 xmx有两个 相等的实数根，则有2264 160m ，2316m，解得：17m ，21m 【总结】考查完全平方式与方程根个数的转化，完全平方式即方程有两个相等实根 【作业3】 已知关于 x 的一元二次方程2210kxx 有两个相等的实根，求 k 的值 【难度】 【答案】1k 【解析】方程有两个相等实根，则有2=241440kk，方程为一元二次方 程，可得0m ，即得：1k 【总结】考查一元二次方程的根的情况，方程

37、有两个相等实根，即0 【作业4】 已知关于x的方程2(2)210k xkx： （1） 若方程只有 1 个实数根，求 k 的值； （2） 若方程有实根，求 k 的取值范围； （3） 若方程有两实根，求 k 的取值范围 【难度】 【答案】（1）2；（2）2k 或1k ；（3）2k 或21k 或2k 【解析】 （1）方程只有 1 个不等实根，即方程为一元一次方程，二次项系数20k， 即得:2k ； （2）同（1） ，2k 时，方程为一元一次方程，有实根；20k，即2k 时，方程 为一元二次方程， 方程有实根， 则有2224 2420kkkk ， 即得2k 或 1k ，则2k 或21k 或2k ；综上

38、所述，2k 或1k ； （3）由（2）可知，方程有两实根，2k 或21k 或2k 【总结】考查一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，注意分类讨论 八年级秋季班 20 / 22 【作业5】 已知关于 x 方程2310 xkx 有实数根，求 k 的取值范围 【难度】 【答案】0k 【解析】方程有实数根，则有234 11940kk ，即得49k ，同时二次 根式下，0k ，综上所述，可得0k 【总结】考查一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，注意题目的隐含条件 【作业6】 已知关于 x 的方程21(2 )04xmn xmn有两个相等的实数根，求代数式(0)mnn的值 【难度】 【答案】1 或 4

39、 【解析】因为方程有两个相等的实数根，则有21=2404mnmn， 即22540mmnn，解得mn或4mn，则1mn或4 【总结】方程有两个相等实根，即0 ，注意题目隐含条件 【作业7】 已知关于 x 的方程2(5)2(2)0axaxa没有实数根，试判断方程22(2)(5)0axaxa的根的情况 【难度】 【答案】两个不相等的实数根 【解析】 （1）当50a时，即5a 时，方程为一元一次方程，必有实数根，不合题意； （2）当50a时，方程没有实数根，可得242454160aaaa ， 得4a ，则0a ，242454160aa aa ，可知方程有两个不等实数 根，综上所述，方程有两个不相等的实

40、数根 【总结】考查根据字母取值范围确定方程根的情况，注意分类讨论 八年级秋季班 21 / 22 【作业8】 已知5n ，且关于 x 的方程2220 xxn两根都是整数，求 n 的值 【难度】 【答案】0.5，0，1.5，4 【解析】2220 xxn，配方即得2121xn，方程两根为整数，则21n为平方数， 由5n ，可得021 11n ，即得210n ，或21 1n ，或21 4n ，或21 9n ， 即得0.5n ，0，1.5，4 【总结】考查方程根为整数，则相应值为完全平方数 【作业9】 已知 a、b、c 是三角形 ABC 的三边： 求证：关于 x 的方程222222()0b xbcaxc

41、没有实数根 【难度】 【答案】略 【解析】因为222222222222422bcab cbcbcabcbca ， 化简，得2222bcabcabcabcabcabca ， 因为 a、 b、 c 是三角形三边， 可得0a ，0b ，0c ， 由三角形三边关系， 可知abc， acb，bca，则0bca，0bca，0bca，0bca， 由此可得0 ，即证方程没有实数根 【总结】考查一元二次方程根的判别式和方程根的情况之间的关系，注意式子的化简 【作业10】 已知关于 x 的方程222(1)20 xnxnn： （1） 求证：无论 n 取何值，这个方程一定有两个不相等的实数根； （2） 设方程的两根为

42、12xx，若1224xx ，求 n 的取值范围 【难度】 【答案】（1）略；（2）04n 【解析】 （1）证明：因为22414240nnn 恒成立，所以方程总有两个不相等 八年级秋季班 22 / 22 的实数根； （2）222(1)220 xnxnnxnxn，解得：12xn，2xn， 因为1224xx ，所以224nn ，即得：04n 【总结】考查方程根的存在性问题，方程有两不等实根，即0 恒成立，同时考查对式子的分解因式 【作业11】 已知 p、q 是常数，有且只有三个不同的实数满足方程2| 2xpxq，试解答下面的问题： （1） 求证：2480pq； （2） 如果方程的三个解正好是一个直角

43、三角形三边的长，求 p、q 的值 【难度】 【答案】（1）略；（2）16p ，62q 【解析】 （1）证明：因为方程有三个实根，则方程22xpxq和方程22xpxq必 为一个有两个不相等的实数根，一个方程有两个相等的实数根， 2214248pqpq ，2214248pqpq ，12 恒成立， 则为10 ，22420pq ，即得：2480pq； （2）设方程22xpxq两根分别为1x，2x，由2480pq，可得：284pq， 方程即为221604pxpx， 解得：142px ，242px ； 方程22xpxq 即为2204pxpx，解得：342pxx ，方程三个解恰为直角三角形三边长， 由132xxx，可得：222132xxx，即22244222ppp ，整理得 2160pp，三边长为正数，可得：4p ，解得：16p ，则有28624pq 【总结】考查分类讨论的思想，根据题目要求进行具体分析