2022年2022年矩阵非负矩阵 .pdf

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1、第六章非负矩阵元素都是非负实数的矩阵称为非负矩阵。1 正矩阵定义 61 nm的实矩阵)(ijaA称为非负的 （记为0A）或正的（记为0A） ，如果A的所有元素都是非负的（所有0ija） ，或正的（所有0ija） 。定义一个方阵P， 如果它的每一行和每一列都只有某个元素为1， 其余的元素都为零，在矩阵P称为一个置换矩阵。显然交换矩阵的两行（或两列），可由左乘（或右乘）一个适当的置换矩阵来实现。置换矩阵是可逆的，且当P为置换矩阵时，TPP1。定义 62 矩阵nnijaA)(称为可约的，如果存在n阶置换矩阵P，使得2221110AAAPAPT这里11A是k阶方阵（11nk） ，右上角是)(knk的零

2、矩阵。否则，就称A为不可约的。定理 61（ Perron 定理）任一正矩阵nnijaA)(都有正的特征值r，它是特征方程的单根，而且大于其它特征值的模。这个“极大”特征值对应于矩阵A的一个坐标都是正数的特征向量。这个定理亦可以叙述成：定理 61 设0)(nnijaA，且)(A为其谱半径，则（1）)(A为A的正特征值，其对应的一个特征向量为正向量；（2）A的任何其它特征值，都有)(A；（3）)(A是A的单特征根。层次分析法：ikjkijaaa，nkji,2, 1,（ 1）定义 2 满足关系式（ 1）的正互反矩阵称为一致矩阵。需要检验构造出来的（正互反）判断矩阵A是否严重地非一致，以便确定是否接受

3、A。定理 1 正互反矩阵A的最大特征根max必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征值的模均严格小于max。定理 2 若A为一致矩阵，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - （i ）A必为正互反矩阵。（ii ）A的转置矩阵TA也是一致矩阵。（iii）A的任意两行成比例，比例因子大于零，从而1)(rank A（同样，A的任意两列也成比例） 。（iv ）A的最大特征值nmax，其中n为矩阵A的阶。A的其

4、余特征根均为零。（v）若A的最大特征值max对应的特征向量为TnwwW),(1，则jiijwwa，nji,2, 1,，即nnnnnnwwwwwwwwwwwwwwwwwwA212221212111定理 3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根nmax， 且当正互反矩阵A非一致时，必有nmax。2 非负矩阵定理 6.2 （Frobenius定理）设A是不可约非负矩阵，则A总有正的特征值r，它是特征方程的单根；所有其它特征值的模都不超过r；这个“极大”特征值r对应于矩阵A的一个坐标都是正数的特征向量；如果A有h个特征值110,hr的模都等于r，则这些数都是互不相同的而且是方程0hhr（1h

5、）的根；复数平面上的点集,11hr在绕原点旋转h2角的变换下不变。当1h时，矩阵置换相似于矩阵D，即0000000000001, 12312hhhTAAAADPAP这里P是置换矩阵，又D的主对角线上都是非空零矩阵。矩阵D称为不可约非负矩阵A的标准形。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 定理 63 设nnijaA)(为非负矩阵，则A必有一非负特征值r，而A的所有特征值的模都不超过r；特征值r对应于非负特征向量YrYAY

6、（0Y，且0Y）注一般的非负矩阵尚有一个比较重要的性质若AB0，则有)()(AB。由定义来判别矩阵是否可约是困难的，有多种判别条件可以使用。定理 64 n阶非负矩阵A为不可约的充要条件是存在正整数1ns，使得0)(sAE例如，非负矩阵110111011A是不可约的，因为当213s时，即有0541454145210121012)(22AE定理 65 设A为正矩阵，X是A的对应于特征值)(A的特征向量，又Y是TA的对应于特征值)(A的任一正特征向量，则有TTmmXYXYAA11)()(lim非负矩阵的分类：若非负矩阵A有h个特征值的模均等于)(A，则当1h时，就称方阵A是本原的；当1h时，就称A是

7、非本原的。h统称为A的非本原性指标。本原矩阵与非本原矩阵的性质很不相同。正矩阵都是本原矩阵，但反之不真。定理 66 非负矩阵A是本原矩阵的充要条件是存在某个正整数m，使得0mA。例如，非负矩阵1120A是本原的，因为031222A推论设0A，0B，且A为本原矩阵，则（1）TA也是本原矩阵；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - （2）对任一正整数p，pA也是本原矩阵；（3）BA也是本原矩阵。3 随机矩阵定义 63 非负矩

8、阵nnijaA)(称为一个随机矩阵，如果A的每一行上的元素之和都等于 1。定理 67 非负矩阵nnijaA)(是随机矩阵的充要条件是矩阵A有特征值1，且n维向量TZ)1 , 1 , 1 (是与 1 相应的一个正的特征向量。定理 68 若非负矩阵nnijaA)(有正的极大特征值0)(Ar，且对应于特征值r有正的特征向量0),(21TnzzzZ，则矩阵A能相似于数r与某个随机矩阵P的乘积1)(BrPBA，,diag21nzzzB即是说，rABB/)(1是随机矩阵。定理 69 设A为不可约随机矩阵，则极限mmAlim存在的充要条件是A为本原矩阵。例求mmPlim，其中021212102121210P

9、马氏链定义一个马氏链的转移矩阵P是正则的，当且仅当存在正整数k，使kP的每一元素都是正数。定理若P是一个马氏链的正则阵，那么：（i ）P有唯一的不动点向量W，W的每个分量为正。（ii ）P的n次幂nP（n为正整数）随n的增加趋于矩阵W，W的每一行向量均等于不动点向量W。定理4 设时齐（齐次）马氏链, 2, 1,nn的状态空间为,1NaaE，)(ijpP是它的一步转移概率矩阵，如果存在正整数m，使对任意的Eaaji,，都有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9

10、页 - - - - - - - - - 0)(mpij，Nji,2, 1,则此链具有遍历性；且有极限分布),(1N，它是方程组P或即Niijijp1，Nj, 1的满足条件0j，11Njj的唯一解。4 M 矩阵定义64 设BsEA为n阶实矩阵，且0B，0s。那么，若)(Bs，则称A为 M矩阵；若)(Bs，则称A为非奇异 M矩阵。全体n阶实方阵的集合用记号)(RMn表示。又记), 2, 1,(0,: )()(njiajiRMaAZijnijnn当定理 610 设nnZA为非奇异 M矩阵，且nnZD，又DA。则（1）1A与1D存在，且011DA；（2）D的每个实特征值为正数；（3）0AD证明：（1）

11、i ）非奇异 M矩阵的每个实特征值必是正数由假设有BsEA，0B，)(Bs设B的特征值为n,21，则is为A的特征值。若is为实数，则有0)(Bsssiiii ）构造辅助矩阵QP,，证明011DA取0充分小，构造矩阵0DEP，0AEQ，且有0PQ。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - QEA，PED)(Q为非负矩阵Q的特征值，)(1Q为 M矩阵A的特征值，则有1)(Q，因而211)()(QQEQEA存在，由于0PQ，则

12、211)()(PPEPED也存在，并且011DA。（2） （3）略。定义 65 设)(ijaA是n阶复数矩阵，如果ijijiiaa， （ni, 2, 1） ，则称A为行对角占优的，如果上述不等式是严格不等的，即ijijiiaa， （ni, 2, 1） ，则称A为行严格对角占优的。类似可以定义列对角占优概念。以下把行对角占优简单地说成对角占优。定理 611 设nnZA，则以下各命题彼此等价：（1）存在0X，使得0AX；（2）存在0X，使得0AX；（3）存在正对角矩阵D，使得AD为严格对角占优矩阵，且AD的所有对角线元素为正数；（4）若nnZB且AB，则B非奇异；（5）A的任意主子阵的每个实特征值

13、为正数；（6）A的所有主子式为正数；（7）对每个)1 (nkk，A的所有k阶主子式之和为正数；（8）A的每个实特征值为正数；（9）A为非奇异M矩阵；（10）存在A的一种分裂QPA，使得01P，0Q且1)(1QP；（11）A为非奇异且01A。证明： （ 1）（2）设0X满足0AX。令nTRX)1 , 1 , 1 (0；由于0AX，取0充分小，使得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 00AXAX这时，00XX满足0)(0

14、XXA。（2）（3）设0),(21TnxxxX，满足0AX。令,diag21nxxxD，则nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaAD221122221211212111且jijijiiixaxa， （ni,2, 1） ，因此AD是严格对角占优矩阵，且所有对角线元素为正数。（3）（8）设,diag21nxxxD为（ 3）中的矩阵，且AD严格对角占优，则ADD1也是严格对角占优矩阵。由圆盘定理知，ADD1的每个实特征值为正数，因而A的每个实特征值也为正数。（8）（9）设BsEA，0s，0B，则)(Bs为A的实特征值，由（8）知它是正数，即)(Bs，故A为非奇异 M矩阵。（9）（4）

15、 ：由定理 610 即得。（4）（5） ： （略）（5）（6） ：因为若kA为A的任一k阶主子阵，则kkkkkkAaAEf)1(|)(11而kkA21；由于kA是实矩阵，)(f是实系数多项式，故若有复根则必成双出现。因此，在kkA21的乘积中，如有复数的特征值j，则必有另一复数特征值j（共轭复数），而0ji。再由（ 5）便知0kA。（6）（7） ：显然成立。（7）（8） ：因为knnccEA11)()( 69 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - -

16、 - - - - - - - 式中，kc为A的所有k阶主子式之和。由（7）知所有0kc，因此式69 不能有非正的实根，亦即A的所有实特征根都是正数。（9）（10） ：取sEP及BQ，这里的Bs,满足BsEA，)(Bs，0B这时，01P，0Q，又1)(1)1()(1BsBsQP。（10）（11） ：设（）成立，则有)(CEPA，其中QPC1，又因1)(C，所以有12111)()(PCCEPCEA故从01QPC，得01A。（11）（1） ：令01XAX， 这里TX) 1 , 1 , 1(0， 由 （） 有01A， 所以0X，00XAX。定理证毕。应用矩阵的不可约性质，常可得到一些加强的结果。对于n

17、nZA为不可约矩阵的情形，则有以下定理：定理 612 设nnZA且为不可约矩阵，则下列各命题彼此等价（1）存在0X，使得0AX；（2）存在0X，使得0,0 AXAX（3）A为非奇异M矩阵；（4）01A。下面给出一般M矩阵的一些特性。定理 613 设nnZA，则以下各命题彼此等价（1）A是 M矩阵；（2）对每个0，EA是非奇异 M矩阵；（3）A的任意主子阵的每个实特征值非负；（4）A的所有主子式非负；（5）对每个nk,2, 1，A的所有k阶主子式之和为非负实数；（6）A的每个实特征值非负；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 定理 614 设A为不可约的奇异M矩阵，则（1）1ranknA；（2）存在正向量0X，使得0AX；（3）A的所有真主子阵为非奇异的M矩阵，特别有0iia（ni1） ；（4）对任意nRX，若0AX，则0AX。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -