2022年2022年离散函数部分定义 .pdf

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1、离散函数部分定义7.1 基本概念重点：函数的定义及判定，函数的限制，偏函数。部分函数如果从集合X 到 Y 的二元关系f 是 “ 单值 ” 的，即f 满足以下条件：若 x，y1 f 且 x，y2 f，则y1 = y2。就称f 为从X 到 Y 的部分函数。若 f 是部分函数且 x , y f，则称y 是 f 在 x 处的值（在f 作用下 x 的像点 )，记为y = f (x)，并称x 为 y 的一个源像点。定义域、值域设 f 为从集合X 到 Y 的部分函数，则1) f 的定义域dom (f )：dom (f ) = x X有y Y 使y = f (x) f 若 xdom (f ) , 就称f 在

2、x 处有定义，记为“ f (x)”；否则称f 在 x 处无定义 , 记为“ f (x)”, 显然dom (f ) X 。2) f 的值域ran (f )：ran (f ) = y Y 有x X 使y = f (x) f 显然ran (f ) Y 。即: 对每个xdom(f), 都有唯一的y ran(f) 使得 x , y f 全函数，设 f 为从集合X 到集合Y 的部分函数。1) 若 dom (f ) = X，则称f 为从X 到 Y 的全函数 ，简称f 为从 X 到 Y 的函数，记为f：X Y 。2) 若 dom (f ) X，则称f 为从X 到 Y 的严格部分函数。3) 若 ran (f )

3、 = Y，则称f 为从X 到 Y 上的部分函数。4) 若 ran (f ) Y ，则称f 为从X 到 Y 内的部分函数。5) 若对任意的x1，x2dom (f ) ，当x1 x2时, 皆有f ( x1 ) f ( x2 )，则称f 为从X 到 Y 的1 - 1 部分函数 。（即 : 当f ( x1 ) = f ( x2 ) 时, 皆有x1 = x2）限制、延拓设函数 ? : X Y ，A X，则? (AY) 是 从 A 到 Y 的函数，称为? 在 A 上的 限制，记作 ?A , 又称? 为 ?A 到 X 的 延拓。 ?A 可表示为：?A x , y x , y? xA名师资料总结 - - -精

4、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 部分函数f 的 象 与 原象设 f 为从集合X到集合 Y的部分函数， A X 且 B Y。令f A = y有x A 使y = f (x) f 1 B = x有y B 使f (x) = y 称 f A为 A 在 f 下的象， f 1 B为 B在 f 下的原象。即，f A = f (x)x A 且 f (x) f 1 B = xx X 使 f (x) 且 f (x) B X到 Y的全函数集X到 Y的全函数集合Y

5、X，Y X ? ? : X Y 7.2 函数的复合重点：函数的复合运算与逆函数定义 7.6（函数的复合）设 ? : X Y 且g : Y Z ， 函数f 和 g 的复合g o ? ，定义为： | xX zZ y ( y Yy = ?(x) z = g(y) ) 定义 7.7 若函数? : X X，则 ? 的 n 次幂，记为f n ，可归纳定义如下: 1) ? 0= IX2) ? n+1 = ? o ?n 即： 1) ?0 (a) = IX (a) = a ; 2) ?n+1(a) = ? ( ?n (a) ) 7.3 特殊性质的函数与 逆函数重点 : 函数性质的判定及证明。定义 7.8 （满射

6、、单射、双射） ：设 f 是一个全函数，? : X Y. 1)若对每个yY，都有 xX，有 y = f (x)，则称 ? 是 满射；即： f 是满射iff y ( y Y x (xXf (x) = y ) ) 2)若对任意x1, x2X，当 ?(x1) = ?(x2)时，必有x1=x2，则称 f 是单射 ; 即: f 是单射iff x1x2(x1Xx2 Xf(x1)=?(x2) x1=x2）iff x1x2(x1Xx2Xx1x2?(x1) ?(x2) 3）若f 既是满射又是单射的，则称? 是双射的。常值函数：设 ? : XY，若存在同一个c Y，使得对所有的xX ， ?(x) = c，则称?

7、为常值函数，一般记为?c。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 设 R 为集合A 上的等价关系，则x， xR x A 是从A 到A / R 的 满射，并称为自然映射。左逆、右逆、逆定义设X 和 Y 为二集合且f ：X Y 。1）若有g ：Y X 使g o f = IX，则称f 为左可逆的 , 并称g 为f 的一个左逆函数，简称左逆。2）若有g ：Y X 使 f o g = IY，则称f 为右可逆的 , 并称g 为 f

8、的一个右逆函数，简称右逆。3）若有g： Y X 使 g o f = IX且 f o g = IY，则称f 为可逆的，并称g 为f 的一个逆函数，简称逆。设X 和 Y 为二集合。若f ：X Y 为可逆的，则 f 的 逆函数用f 1表示。7.4 集合的特征函数掌握特征函数的定义及应用定义 7.11（特征函数） 设 U 是全集， A 是 U 的子集，A 的特征函数A ：U 0 , 1 , 1 若 xA A ( x )0若 x A 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -