2022年高二数学解析几何知识点 2.pdf

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1、第三章一、直线的倾斜角与斜率1、倾斜角的概念： （1）倾斜角：当直线与 x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。（2）倾斜角的范围：当与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 0 因此 0 180 。2、直线的斜率（1）斜率公式：K=tan（90）（2）斜率坐标公式：K=1212xxyy（x1x2）（3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。当=0时，k=0；当 0 90 时，k0，且越大， k 越大；当=90 时，k 不存在；当90180 时， k0，且越大， k 越大。二、两直线平行与垂直的判定1、两直线平行的判定：

2、（1）两条不重合的直线的倾斜角都是90 ，即斜率不存在，则这两直线平行；（2）两条不重合的直线，若都有斜率，则k1=k2122、两直线垂直的判定：（1）一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则这两直线垂直；（2）如果两条直线1、2的斜率都存在，且都不为0，则12 k1k2= 1 已知直线l经过点00(,)P xy，且斜率为k，则方程00()yyk xx为直线的点斜式方程. 直线l与 y 轴交点(0, )b的纵坐标b叫做直线l在 y 轴上的截距（intercept） .直线ykxb叫做直线的斜截式方程. 已知直线上两点112222(,),(,)P xxPxy且1212(,)xxyy，则通过

3、这两点的直线方程为1112122121(,)yyxxxxyyyyxx， 由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点式方程，简称两点式已知直线l与x轴的交点为( ,0)A a，与y轴的交点为(0, )Bb，其中0,0ab，则直线l的方程1byax叫做直线的截距式方程 . 注意 ： 直线与x轴交点（a,0）的横坐标a叫做直线在x轴上的截距； 直线与 y 轴交点（0,b）的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距 . 关于, x y的二元一次方程0AxByC（A，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（ general form ） 注意 ：直线一般式能表示平面内的任何一条直线精选学习资料

4、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页已知平面上两点111222(,),(,)P x yP xy，则22122121()()PPxxyy. 特殊地：( , )P x y与原点的距离为22OPxy. ： 已 知 点00(,)P xy和 直 线:0lAxByC， 则 点P到 直 线l的 距 离 为 ：0022AxByCdAB. 已知两条平行线直线1l10AxByC，2:l20AxByC，则1l与2l的距离为1222CCdAB王新敞1两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组11122200A xB yCA xB yC，若

5、方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行2直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决 . 3.坐标法的步骤：建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量；进行有关的代数运算； 把代数运算结果 “翻译”成几何关系 . 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式， 能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式王新敞王新敞直线名称已知条件直线方程使用范围点斜式111(,),P xyk11()yyk xxk 存在斜截式bk，ykxbk 存在两点式),(11yx（),22yx112121yyxxyyxx12xx12yy

6、截距式ba,1xyab0a0b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页一、直线与方程（1）直线的倾斜角定义：x 轴正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与 x轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度。 因此， 倾斜角的取值范围是0180（2）直线的斜率定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxy

7、yk注意下面四点： (1) 当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90；(2) k与 P1、P2的顺序无关； (3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程点斜式：)(11xxkyy直线斜率 k，且过点11, yx注意： 当直线的斜率为 0时， k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因 l 上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：bkxy，直线斜率为 k，直线在 y 轴上的截距为 b两点式：112121yyxxy

8、yxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22, yx截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点( ,0)a,与y轴交于点(0, )b,即l与x轴、y轴的截距分别为,a b。一般式：0CByAx（A，B 不全为 0）注意： 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如：平行于 x 轴的直线：by（b 为常数） ；平行于 y 轴的直线：ax（a 为常数） ；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为 0 的常数）的直线系：000CyBxA（C 为常数）（二）过定点的直线系（）斜率为 k 的直线系：00 xxkyy，直线过定点00,

9、yx；（）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数） ，其中直线2l不在直线系中。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页（6）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,/bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（7）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21

10、/ ll；方程组有无数解1l与2l重合（8）两点间距离公式： 设1122(,),A x yB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121|()()ABxxyy（ 9） 点 到 直 线 距 离 公 式 ： 一点00, yxP到 直线0:1CByAxl的 距 离2200BACByAxd（10）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。二、圆的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。2、圆的方程（

11、1）标准方程222rbyax，圆心ba,，半径为 r；（2）一般方程022FEyDxyx当0422FED时 ， 方 程 表 示 圆 ， 此 时 圆 心 为2,2ED， 半 径 为FEDr42122当0422FED时，表示一个点；当0422FED时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法： 先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离， 相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判

12、断：（1）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，圆心baC,到 l 的距离 为22BACBbAad， 则 有相离与Clrd；相切与Clrd；相交与Clrd（2）设直线0:CByAxl，圆222:rbyaxC，先将方程联立消元，得到一个一元二次方程之后，令其中的判别式为，则有相离与Cl0；相切与Cl0；相交与Cl0注：如果圆心的位置在原点，可使用公式200ryyxx去解直线与圆相切的问题，其中00, yx表示切点坐标， r 表示半径。(3)过圆上一点的切线方程：圆 x2+y2=r2，圆上一点为 (x0，y0)，则过此点的切线方程为200ryyxx(课本命题 ) 圆 (x-a)2+(y-

13、b)2=r2， 圆 上 一 点 为 (x0， y0) ， 则 过 此 点 的 切 线 方 程 为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (课本命题的推广 )4、圆与圆的位置关系： 通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。设圆221211:rbyaxC，222222:RbyaxC两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。当rRd时两圆外离，此时有公切线四条；当rRd时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当rRdrR时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当rRd时，两圆内切，连心线经过切点，

14、只有一条公切线；当rRd时，两圆内含；当0d时，为同心圆。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页选修内容：椭圆把平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12F F）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse） 其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距即当动点设为M时，椭圆即为点集P12|2MMFMFa椭圆的简单几何性质范围：由椭圆的标准方程可得，222210yxba，进一步得：axa，同理可得：byb，即椭圆位于直线xa和yb所围成的矩形框图里；对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个

15、方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴，原点为对称中心；顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴； 离 心 率 ：椭 圆 的 焦 距 与 长 轴 长 的 比ace叫 做 椭 圆 的 离 心 率 （10e） ，椭圆图形越扁时当01a，b，ce；椭圆越接近于圆时当a，b，ce00椭圆的第二定义当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数) 10(eace时， 这个点的轨迹是椭圆定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e

16、是椭圆的离心率对于椭圆12222byax，相应于焦点)0 ,(cF的准线方程是cax2根据对称性，相应于焦点)0 ,( cF的准线方程是cax2对于椭圆12222bxay的准线方程是cay2可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义由椭圆的第二定义edMF |可得：右焦半径公式为exacaxeedMF|2右；左焦半径公式为exacaxeedMF|)(|2左精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形

17、。性质一 ：已知椭圆方程为),0(12222babyax两焦点分别为,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则2tan221bSPFF。cos2)2(2122212212PFPFPFPFFFc)cos1 (2)(21221PFPFPFPFcos12)cos1(244)cos1(24)(222222121bcacPFPFPFPF1222121sinsintan21cos2FPFbSPFPFb性质二 ：已知椭圆方程为),0(12222babyax左右两焦点分别为,21FF设焦点三角形21FPF，若21PFF最大，则点P为椭圆短轴的端点。证明：设),(ooyxP, 由焦半径公式可知：oexaP

18、F1，oexaPF1在21PFF中，2122121212cosPFPFFFPFPF21221221242)(PFPFcPFPFPFPF1)(24124422122ooexaexabPFPFca=122222oxeabaxa022axo性质三 ： 已知椭圆方程为),0( 12222babyax两焦点分别为,21FF设焦点三角形21FPF中,21PFF则.21cos2e证明 ：设,2211rPFrPF则在21PFF中，由余弦定理得：1222242)(2cos212221221221212212221rrcarrcrrrrrrFFrr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

19、 - - - - - -第 7 页，共 10 页.2112221)2(222222222122eacarrca命题得证。双曲线把平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值等于常数（小于12F F）的点的轨迹叫做双曲线 （hyperbola ） 其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距即当动点设为M时，双曲线即为点集P122MMFMFa双曲线的简单几何性质范围：由双曲线的标准方程得，222210yxba， 进一步得：xa， 或xa 这说明双曲线在不等式xa，或xa所表示的区域；对称性：由以x代x，以y代y和x代x，且以y代y这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从

20、而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴， 原点为对称中心；顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点 因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；渐近线：直线byxa叫做双曲线22221xyab的渐近线；离心率：双曲线的焦距与实轴长的比ace叫做双曲线的离心率（1e） 双曲线第二定义:当动点M(x,y) 到一定点F(c,0)的距离和它到一定直线2:alxc的距离之比是常数1cea时,这个动点M(x,y) 的轨迹是双曲线。其中定点F(c,0)是双曲线的一个焦点，定直线2:alxc叫双曲线的一条准线

21、，常数e 是双曲线的 离心率 。双曲线上任一点到焦点的线段称为焦半径。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页椭圆定义1 到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e 的点的轨迹 .（0e0) 12222byax(ba0) 参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(sincosbyax范围ax a， by b ax a，by b 中心原点 O（0，0）原点 O（0，0）顶点(a,0), ( a,0) , (0,b) , (0, b)(a,0), (

22、 a,0) , (0,b) , (0, b)对称轴X 轴， y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b X 轴， y 轴；长轴长 2a,短轴长 2b 焦点F1(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)焦距2c （其中 c=22ba）2c （其中 c=22ba）离心率) 10(eace)10(eace准线x=ca2x=ca2焦半径exarexar通径ab22ab22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页名 称椭圆双曲线图 象xOyxOy定 义平面内到两定点21,FF的距离的和为常数（大于21FF）的动点的轨

23、迹叫椭圆。即aMFMF221当 2a2c时，轨迹是椭圆，当 2a=2c时， 轨迹是一条线段21FF当 2a2c时，轨迹不存在平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数（小于21FF）的动点的轨迹叫双曲线。即aMFMF221当 2a2c时，轨迹是双曲线当 2a=2c时，轨迹是两条射线当 2a2c时，轨迹不存在标准方 程焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上焦点在x轴上时：12222byax焦点在y轴上时：12222bxay注：是根据项的正负来判断焦点所在的位置常数cba,的关系222bca（符合勾股定理的结构）0ba，a最大，bcbcbc,222bac（符合勾股定理的结构）0acc最大，可以bababa,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页