初中数学八年级秋季班-第5讲：一般一元二次方程的解法及韦达定理.pdf

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1、 1/13 利用配方法和求根公式法解一元二次方程是八年级数学上学期第十七章第二节内容， 主要对一般的一元二次方程不能运用直接开平方或者是因式分解进行求解的时候，采取的两种方法，重点是对一元二次方程这两种解法的原理和过程的理解，难点是配方法和因式分解在解一元二次方程中的灵活应用经过本节课学习，我们已经将解方程的常用方法讲解完毕，注意灵活运用和综合提高，在计算的准确度上和选择合适的方法解题上多下功夫 1、配方法配方法的步骤的步骤 先把二次项系数化为 1：即方程左右两边同时除以二次项系数； 移项：把常数项移到方程右边； 配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化成2()xmn的形式； 当0

2、n 时，用直接开平方的方法解变形后的方程 一般一元二次方程的解法及韦达定理 知识结构知识结构 模块一：一般一元二次方程的解法 知识精讲知识精讲 内容分析内容分析 2/13 2、求根公式法求根公式法的一般步骤的一般步骤 把一元二次方程化成一般形式20axbxc（0a ） ； 确定 a、b、c 的值； 求出24bac的值（或代数式） ； 若240bac， 则把 a、 b、 c 及24bac的值代入求根公式242bbacxa ， 求出1x、2x；若240bac，则方程无解 【例1】 填空： （1）221_(_)2xxx； （2）221_(_)25xx； （3）22_(_)bxxxa； （4）2222

3、4_(2_)bxxa 【例2】 如果24xax是一个完全平方式，那么a的值可以是（ ） A4 B2 C2 或2 D都不对 【例3】 若0m且2x 时，等式2270 xmxm成立，则m值为_ 【例4】 如果一元二次方程有一个根为 1，那么这个方程可以是_ 【例5】 解下列方程(配方法)： （1）2340 xx； （2）20.040.410 xx ； （3）22240 xmxm； （4）20(0)axbxca 例题解析例题解析 3/13 【例6】 解下列方程（求根公式法） ： （1）22(1)xx； （2）20.20.11xx； （3）22( 31)2 30 xx； （4）22220 xmxmn

4、【例7】 解下列关于 x 的方程（用适当的方法） ： （1）20(0)mxnxpm； （2）(5)(3)(6)145xxx x 【例8】 用指定的方法解下列方程： （1）2123xx（配方法） ； （2）23 2175x（开平方） ； （3）2(12)(12)xx（因式分解） ； （4）231270 xx（公式法） 【例9】 已知：202(21)22xxxx，求x的值 4/13 【例10】 x为何值时，代数式22102191xxx的值等于零 【例11】 的例题：解方程2| 20 xx 解：当0 x 时，原方程化为220 xx，解得：1221xx ，（舍） 当0 x 时，原方程化为220 xx，

5、解得：1221xx ，（舍） 原方程的根是1222xx ， 请参照例题解方程2|1| 10 xx 【例12】 解下列关于 x 的方程方程： （1）22(2)(3)0kxkxk； （2）(5)(3)(2)(4)49xxxx； （3）2222(3)230 xab xaabb 【例13】 已知：2212231447yxxyxx，求x为何值时，12yy 5/13 【例14】 解关于x的一元二次方程24(3)xx mx，其中m是满足不等式310320mm 的 整数 【例15】 求关于 x 的方程：225582220 xyxyyx的实数解 【例16】 已知121423352ababcc ，求abc的值 【

6、例17】 已知abc，是有理数，试证明关于 x 的方程：x22axa2b2c22bc = 0 的根也是有理数 【例18】 已知关于 x 的方程：224(1)3240 xmxmmk，当 m 取任意有理数 时，方程的根都是有理数，求 k 的值或者是 k 的取值范围 6/13 韦达定理：如果12xx，是一元二次方程 20(0)axbxca的两个根,由解方程中的公式法得, 22124422bbacbbacxxaa ， 那么可推得1212bcxxxxaa ，这是一元二次方程根与系数的关系 【例19】 若方程2(1)0 xmxm有解，利用适当的方法解这两个根，分别是 _； 若这两个根互为相反数则m的值是_

7、；若两个根互为倒数，则 m 的值是_ 【例20】 如果1x，2x是方程22360 xx的两个根，那么12xx=_； 12xx=_ 【例21】 若方程：2980kxx的一个根为 1，则 k=_；另一个根为_ 【例22】 写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是532，532 【例23】 已知151522 、是关于 x 的方程210(0)axbxa 的两根，求 b 的值 例题解析例题解析 知识精讲知识精讲 模块二：韦达定理 7/13 【例24】 已知12xx，是方程2133022xx的两根，求下列各式的值： （1）1211xx； （2）2212xx； （3）2212xx； （4）12|xx 【例2

8、5】 已知一个直角三角形的两个直角边的长恰好是方程：22870 xx两个根，求这个直角三角形的周长 【例26】 已知方程：240 xxa的一个根大于 3，另一个根小于 3，求 a 的取值范围 【例27】 已知2212510520.1mmnnmnnm ，求的值 【例28】 已知 ，是方程：2240 xx的两根，求代数式3+8+6的值 8/13 【习题1】 完成下列填空： （1）222 2_(_)xxx； （2）2(2_)_ 1y ； （3）223_93(_)xx 【习题2】 完成下列填空： （1） 对于方程232xx，用_法解比较好，其根为_； （2） 对方程2(21)4x ，用_法解比较好，其

9、根为_； （3） 对方程22360 xx，用_法解比较好，其根为_ 【习题3】 已知2+20 xaxa的两根互为倒数，则 a 的值为_ 【习题4】 用指定的方法解下列方程： （1）20(0)axbxa（因式分解） ； （2）2249610()xaaa 为已知数（直接开平方） ； （3）25690 xx（配方法） ； （4）23240 xx（求根公式） 随堂检测随堂检测 9/13 【习题5】 用适当的方法解下列方程： （1）21xx； （2）22(23)3(23)0 xx； （3）232 620 xx； （4）2(35)5(35)40 xx 【习题6】 解关于 x 方程： （1）2221xaxa

10、； （2）20 xpxq 【习题7】 如果2296(1)5xnxn是一个完全平方式，求 n 的值 【习题8】 用配方法说明：不论x为何值，代数式257xx的值总大于 0，再求出当 x 为何值时，代数式257xx有最小值，最小值是多少？ 10/13 【习题9】 已知关于 x 的方程2(1)(21)30()mxmxmm为实数有两根12xx，其中1200 xx，且12| |xx，求 m 的取值范围 【习题10】 解方程| 3| 20 x xx 【习题11】 已知关于 x 的方程2(1)0kxpxk有两个正整数根，求整数 k 和 p 的值 【习题12】 已知实数ab，且满足2(1)33(1)aa，23

11、(1)3(1)bb， 求babaab的值 11/13 【作业1】 已知代数式239xxm是一个完全平方式，则m=_ 【作业2】 以下说法正确的有几个： （1）方程20 x ，有两个根； （2）方程24xx两边同除以 x，解得方程的解为4x ； （3）因为一个数的平方不可能是负数，所以方程21()2xx 无解； （4）对于方程22(1)(3)xx，因为无论 x 取何值，1x 和3x都不可能相等，所 以方程无解 【作业3】 如果12xx，是方程25750 xx的两根，求下列各式的值： （1）1211xx； （2）2212xx 【作业4】 用适当的方法解下列方程： （1）249x ； （2）2321

12、0 xx； （3）22350 xx； （4）2(4)5(4)xx； （5）23420 xx； （6）2(1)5(1)40yy 课后作业课后作业 12/13 【作业5】 用适当的方法解下列方程： （1）224(2)(31)0 xx； （2）2(31)3(31)20 xx； （3）2622 60 xx； （4）212205250 xx 【作业6】 用适当的方法解下列关于 x 方程： （1）22+21()xaxaa为已知常数； （2）2220()xaxaa为已知常数； （3）22320 ()xxbbb为已知常数 【作业7】 若2+317=0 xx ， 是方程的两个根，求2+2的值 13/13 【作业8】 已知关于 x 的方程2(1)31 (1)xm mxxmx（）（）有一个根是 0，求另一个根及m 的值 【作业9】 已知22620(0)mmmnnnn， 求的值 【作业10】 解关于 x 的方程25| 30 xx 【作业11】 已知方程22120 xx的两根是 ，设1=+C，222=+C， ，=+nnnC（n 是正整数） （1） 求3C的值； （2） 求证：11=2C12nnnCC