2022新教材高中数学第九章解三角形9.1.1正弦定理练习新人教B版必修第四册.docx

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1、9.1.1正弦定理课后篇巩固提升基础巩固1.在ABC中,下列关系式中一定成立的是()A.absin AB.a=bsin AC.absin AD.absin A解析由正弦定理,得asinA=bsinB,所以a=bsinAsinB,在ABC中,0b=4,AB.B=6.故选A.答案A3.在ABC中,已知b=3,c=8,A=3,则ABC的面积等于()A.6B.12C.63D.123解析SABC=12bcsinA=1238sin3=63.故选C.答案C4.在ABC中,a=23,b=22,B=45,则A为()A.30或150B.60或120C.60D.30解析由正弦定理可得:asinA=bsinB,sin

2、A=asinBb=232222=32.0A135,A=60或A=120.故选B.答案B5.在ABC中,一定成立的等式是()A.asin A=bsin BB.acos A=bcos BC.asin B=bsin AD.acos B=bcos A解析在ABC中,由正弦定理得asinA=bsinB,即asinB=bsinA.故选C.答案C6.在ABC中,若A=30,a=2,b=23,则此三角形解的个数为()A.0个B.1个C.2个D.不能确定解析asinA=212=1,1223,即asinAasin B,则AB,若AB,则sin Asin B都成立D.在ABC中,asinA=b+csinB+sinC

3、解析由正弦定理易知A,C,D正确.对于B,由sin2A=sin2B,可得A=B或2A+2B=,即A=B或A+B=2,所以a=b或a2+b2=c2,故B错误.故选B.答案B8.在ABC中,a,b,c分别是A,B,C所对的边.若A=105,B=45,b=22,则c=,ABC的面积为.解析C=180-105-45=30.根据正弦定理bsinB=csinC,可知22sin45=csin30,解得c=2.故ABC的面积为S=12bcsinA=12222sin105=226+24=3+1.答案23+19.已知在ABC中,BC=15,AC=10,A=60,则cos B=.解析由正弦定理得ACsinB=BCs

4、inA,所以sinB=ACsinABC=103215=33,因为ACBC,所以BA=60,则B为锐角,所以cosB=1-sin2B=63.答案6310.在ABC中,若acosA2=bcosB2=ccosC2,则ABC一定是三角形.解析由正弦定理得sinAcosA2=sinBcosB2=sinCcosC2,所以sinA2=sinB2=sinC2.因为0A,B,C,所以0A2,B2,C22,所以A2=B2=C2,所以A=B=C.故ABC为等边三角形.答案等边11.在ABC中,a=2,c=2,sin A+cos A=0,则角B的大小为.解析因为角A是三角形的内角,所以A(0,),又因为sinA+co

5、sA=0,所以有tanA=-1,所以A=34,由正弦定理可知:asinA=csinC222=2sinCsinC=12,因为A=34,所以C0,4,因此C=6,由三角形内角和定理可知:B=-A-C=12.答案1212.在ABC中,求证:a-ccosBb-ccosA=sinBsinA.证明因为在ABC中,asinA=bsinB=csinC=2R,所以左边=2RsinA-2RsinCcosB2RsinB-2RsinCcosA=sin(B+C)-sinCcosBsin(A+C)-sinCcosA=sinBcosCsinAcosC=sinBsinA=右边.所以等式成立,即a-ccosBb-ccosA=s

6、inBsinA.能力提升1.在ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=3,A=45,B=75,则a=()A.2B.3C.1D.3解析因为A=45,B=75,所以C=180-45-75=60,在ABC中,asinA=csinC,所以asin45=3sin60a=2.故选A.答案A2.满足条件C=60,AB=3,BC=95的ABC有()个A.0B.1C.2D.3解析由于BCsinC=9310395,所以ABC有两解.故选C.答案C3.在ABC中,若ABAC=2且BAC=30,则ABC的面积为()A.3B.23C.33D.233解析由ABAC=2,得bccos30=2,所以bc=43.由

7、三角形面积公式得S=12bcsinA=124312=33.故选C.答案C4.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,acos B=(2c-b)cos A,则角A的大小为()A.6B.4C.3D.2解析由正弦定理得sinAcosB=(2sinC-sinB)cosA,即sin(A+B)=2sinCcosA,即sinC=2sinCcosA,也即cosA=22,故A=4.故选B.答案B5.如图,A,B是半径为1的圆周上的定点,P为圆周上的动点,APB是锐角,大小为.图中PAB的面积的最大值为()A.12sin +sin 2B.sin +12sin 2C.+sin D.+cos 解析在ABP中,

8、由正弦定理可得,ABsinAPB=2R=2,则AB=2sin.SABC=12ABh,当点P在AB的中垂线上时,h取得最大值,此时ABP的面积最大.取AB的中点C,过点C作AB的垂线,交圆于点D,取圆心为O,则OC=OB2-BC2=1-sin2=cos(为锐角),CD=DO+OC=1+cos.所以ABP的面积最大为S=12ABDC=12(2sin)(1+cos)=sin+sincos=sin+12sin2.故选B.答案B6.在ABC中,角A所对的边为a,若a=2,且ABC的外接圆半径为2,则A=.解析由正弦定理可得asinA=4,所以sinA=a4=12,0A,A=6或56.答案6或567.已知

9、ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是.解析过点A作BC垂线,交BC于点E,则AE=15,所以sinABC=154,则sinCBD=sin(-ABC)=154,所以SBCD=12BDBCsinCBD=1222154=152.答案1528.在ABC中,B=120,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.解析如图,由正弦定理易得ABsinADB=ADsinB,即2sinADB=3sin120,故sinADB=22,即ADB=45.在ABC,已知B=120,ADB=45,即BAD=15.由于AD是BAC的角平分线,故BAC=2BAD=30.在

10、ABC中,B=120,BAC=30,易得ACB=30.在ABC中,由正弦定理得ACsinABC=ABsinACB.即ACsin120=2sin30,故AC=6.答案69.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知tan A=43,tan B=13,a=5.(1)求tan C;(2)求ABC中的最长边.解(1)因为tanC=-tan(A+B)=-tanA+tanB1-tanAtanB=-43+131-49=-3.(2)由(1)知C为钝角,所以C为最大角,因为tanA=43,所以sinA=45.又tanC=-3,所以sinC=31010.由正弦定理得545=c31010,所以c=15108

11、为最长边.10.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2c-ba=cosBcosA.(1)求角A的大小;(2)设a=22,b=3,求sin(2B-A)的值.解(1)由正弦定理可得2sinC-sinBsinA=cosBcosA,即2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC.因为sinC0,所以cosA=12.又A(0,),所以A=3.(2)由正弦定理asinA=bsinB,得sinB=bsinAa=3sin322=368,所以cosB=1-sin2B=108.所以cos2B=1-2sin2B=1-23732=-1116,sin2B=2sinBcosB=31516.当sin2B=31516时,sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=113+31532;当sin2B=-31516时,sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=113-31532;所以sin(2B-A)=113+31532或113-31532.7