2022年高三数学知识点精析精练求圆锥曲线的方程 .pdf

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1、知识点大全2014 高三数学知识点精析精练17：求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤. 定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+n

2、y2=1(m0,n0). 定量由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 【例题】【例 1】双曲线2224byx=1(bN)的两个焦点F1、 F2，P 为双曲线上一点，|OP|5,|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_. 解：设 F1(c,0） 、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|250+2c2, 又 |PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1| |PF2|, 依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4, 依已知条件有|PF1|

3、 |PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2317, 又 c2=4+b2317,b235,b2=1. 答案： 1 【例 2】已知圆 C1的方程为3201222yx，椭圆 C2的方程为12222byaxab0，C2的离心率为22，如果 C1与 C2相交于 A、B 两点，且线段AB 恰为圆 C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。解：由.,2,22,222222cbcaace得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页知识点大全设椭圆方程为.122222bybx设).1 ,2().,().,(221

4、1由圆心为yxByxA. 2,42121yyxx又, 12, 12222222221221bybxbybx两式相减，得.022222122221byybxx,0)(2)(21212121yyyyxxxx又. 1. 2.421212121xxyyyyxx得).2(1xyAB的方程为直线即3xy将得代入, 1232222bybxxy.021812322bxx. 07224.22bCAB相交与椭圆直线由.3204)(222122121xxxxxxBA得.3203722422b解得. 82b故所有椭圆方程.181622yx【例 3】过点 (1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22

5、的椭圆 C相交于 A、B 两点，直线y=21x 过线段 AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称，试求直线l 与椭圆 C 的方程 . 解法一：由e=22ac,得21222aba,从而 a2=2b2,c=b. 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 . 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12 x22)+2(y12y22)=0,.)(221212121yyxxxxyyyxC1F2F1OAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页

6、知识点大全设 AB 中点为 (x0,y0),则 kAB=002yx, 又(x0,y0)在直线 y=21x 上， y0=21x0, 于是002yx=1,kAB=1, 设 l 的方程为y=x+1. 右焦点 (b,0)关于 l 的对称点设为 (x ,y), byxbxybxy111221解得则由点 (1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2=89,1692a. 所求椭圆C 的方程为2291698yx=1,l 的方程为y=x+1. 解法二：由e=21,22222abaac得,从而 a2=2b2,c=b. 设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为y=k(x1), 将 l 的方

7、程代入C 的方程，得 (1+2k2)x24k2x+2k22b2=0, 则 x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x1 1)+k(x21)=k(x1+x2) 2k=2212kk. 直线 l：y=21x 过 AB 的中点 (2,22121yyxx),则2222122121kkkk, 解得 k=0，或 k=1. 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以 k=0 舍去，从而k=1，直线 l 的方程为 y=(x1),即 y=x+1,以下同解法一 . 解法 3：设椭圆方程为) 1( )0(12222babyax直线l不平行于y

8、 轴，否则AB中点在 x 轴上与直线ABxy过21中点矛盾。故可设直线)2()1(xkyl的方程为整理得：消代入y)1()2()3(02)(2222222222bakaxakxbak)()(2211yxByxA，设，22222212bakakxx知：代入上式得：又kxxkyy2)(2121BAy=12xoyxF2F1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页知识点大全21221xxkk，212222222akbakkk，2122kabkk，22e又122)(22222222eacaabk，xyl1的方程为直线，222ba此

9、时，02243)3(22bxx化为方程，0)13(8)1 (241622bb33b，)4(22222byxC的方程可写成：椭圆，2222bbac又，)0( ，右焦点bF，)(00yxlF，的对称点关于直线设点，则byxbxybxy112121000000，得：在椭圆上，代入，又点)4()11(b22)1(21bb，3343b，1692b，892a所以所求的椭圆方程为：11698922yx【例 4】如图，已知P1OP2的面积为427，P 为线段 P1P2的一个三等分点，求以直线 OP1、 OP2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程 . 解：以 O 为原点， P1OP2的角平分线为x 轴

10、建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为2222byax=1(a0,b0) 由 e2=2222)213()(1abac，得23ab. 两渐近线OP1、OP2方程分别为y=23x 和 y=23x设点 P1(x1,23x1),P2(x2,23x2)(x10,x20), 则由点 P 分21PP所成的比 =21PPPP=2, 得 P 点坐标为 (22,322121xxxx), 又点 P 在双曲线222294ayax=1 上，oyxPP2P1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页知识点大全所以222122219)2(9)2(a

11、xxaxx=1, 即(x1+2x2)2(x1 2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2,427131241321sin|211312491232tan1tan2sin21349| ,21349|212121121212222212121121xxOPPOPOPSOxPOxPOPPxxxOPxxxOPOPP又即 x1x2=29由、得a2=4,b2=9 故双曲线方程为9422yx=1. 【例 5】过椭圆 C：)0( 12222babxay上一动点P引圆 O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB，A、B 为切点，直线AB与 x 轴， y 轴分别交于M、N 两点。 (1) 已知 P点坐标为(x0

12、，y0 )并且 x0y00，试求直线AB方程； (2) 若椭圆的短轴长为8，并且1625|2222ONbOMa，求椭圆 C 的方程； (3) 椭圆 C上是否存在点P，由 P向圆 O 所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解： (1)设 A(x1，y1)，B(x2， y2) 切线 PA：211byyxx，PB：222byyxxP点在切线PA、PB 上，2020220101byyxxbyyxx直线 AB 的方程为)0(00200yxbyyxx(2)在直线 AB 方程中，令y=0，则 M(02xb，0)；令 x=0，则 N(0，02yb) 1625)(|2222022

13、0222222babxaybaONbOMa2b=8 b=4 代入得 a2 =25, b2 =16 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页知识点大全椭圆 C 方程：)0(1162522xyxy（注：不剔除xy 0，可不扣分）(3) 假设存在点P(x0，y0)满足 PAPB，连接 OA、OB由 |P A|=|P B| 知，四边形 PAOB 为正方形， |OP|=2|O A| 220202byx又 P点在椭圆C上22202202baybxa由知x2222202222220,)2(babaybababab0 a2b20 (1)

14、当 a2 2b20，即 a2b 时，椭圆 C 上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直；(2)当 a2 2b20，即 ba2b 时，椭圆C 上不存在满足条件的P点【例 6】已知椭圆C 的焦点是F1（3 ，0） 、F2（3 ，0） ，点 F1到相应的准线的距离为33，过 F2点且倾斜角为锐角的直线l 与椭圆 C交于 A、B两点，使得 |F2B|=3|F2A|. （ 1）求椭圆C的方程；（2）求直线l 的方程 . 解： （1）依题意，椭圆中心为O（0， 0） ，3c点 F1到相应准线的距离为1333, 322bcb，a2=b2+c2=1+3=4 所求椭圆方程为1422yx（2）设椭圆的右准线l与 l

15、 交于点 P，作 AMl，ANl，垂足分别为 M、 N. 由椭圆第二定义，得|22AMeAFeAMAF同理 |BF2|=e|BN| 由 RtPAM RtPBN，得|2|2|21|2AMeAFABPA9 分lePAAMPAM33232121|cos的斜率2tanPAMk. 直线 l 的方程062)3(2yxxy即xylOBNAMF2F1P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页知识点大全【例 7】已知点 B （ 1， 0） ， C （1， 0） ， P是平面上一动点， 且满足.|CBPBBCPC（1）求点 P的轨迹 C 对

16、应的方程；（2）已知点A（m,2）在曲线C 上，过点A 作曲线 C的两条弦AD 和 AE ，且 ADAE，判断：直线 DE是否过定点？试证明你的结论. （3）已知点 A（m,2）在曲线 C上，过点 A 作曲线 C的两条弦AD，AE ，且 AD，AE的斜率 k1、k2满足 k1k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点. 解： （1）设.4,1) 1(|),(222xyxyxCBPBBCPCyxP化简得得代入).2, 5(),5(12, 0)2()5()2(),14(444424:).24, 14(4),1(12:).24, 14(, 242,0484,4) 1(2).2, 1(, 14)2

17、,()2(222222221222过定点即化简得方程为则直线得代入同理可设直线可得由得代入的方程为设直线的坐标为点得代入将xkkyyxkykkxkkkkkyDEkkExyxkyAEkkDkyykykyxyxkyADAmxymA),1,(21212,2,0)2(24),(),(, 14)2,()3(212211222211112xxxyxykkbxkbxkxybkxyyxEyxDbkxyDEmxymAAEAD得由的方程为设直线得代入将)2, 1(,),2, 1(,2)1(22).2, 1(,2) 1(22).2().2(,)2(,)2(2, 02)2()(22()2(,2222212212212

18、122211定点为舍去不合过定点得代入将过定点得代入将代入化简得将且xkkkxybkxykbxkkkxybkxykbkbkbkbkbxxkkbxxbxxkkbxxkbkxybkxy【例 8】已知曲线332)0,0( 12222ebabyax的离心率，直线 l 过 A（a，0） 、B（0， b）两点，原点O 到 l 的距离是.23（）求双曲线的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页知识点大全（）过点B作直线 m 交双曲线于M、N 两点，若23ONOM，求直线m 的方程 . 解： （）依题意，,0, 1abaybxb

19、yaxl即方程由原点 O 到 l 的距离为23，得2322cabbaab又332ace3, 1 ab故所求双曲线方程为1322yx（）显然直线m 不与 x 轴垂直，设m 方程为 y=kx 1，则点 M、N 坐标（11, yx） 、（22, yx）是方程组13122yxkxy的解消去 y，得066)31(22kxxk依设，, 0312k由根与系数关系，知136,136221221kxxkkxx) 1)(1(),(),(212121212211kxkxxxyyxxyxyxONOM=1)()1 (21212xxkxxk=113613)1(62222kkkk=11362k23ONOM11362k= 2

20、3，k=21当 k=21时，方程有两个不等的实数根故直线 l 方程为121, 121xyxy或【例 9】已知动点P与双曲线13222yx的两个焦点1F、2F的距离之和为定值，且21cosPFF的最小值为91（1）求动点P的轨迹方程；（2）若已知)3, 0(D，M、N在动点P的轨迹上且DNDM，求实数的取值范围解： （1）由已知可得：5c，912)2(2222acaa4,92222caba所求的椭圆方程为14922yx. (2) 方法一：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页知识点大全由题知点D、M、N 共线，设为直线m

21、，当直线m 的斜率存在时，设为k，则直线m 的方程为y = k x +3 代入前面的椭圆方程得(4+9k 2) x2 +54 k +45 = 0 由判别式045)94(4)54(22kk，得952k. 再设 M (x 1 , y1 ), N ( x2 , y2)，则一方面有)3(,()3,()3,(222211yxyxDNyxDM，得)3(32121yyxx另一方面有2219454kkxx，2219445kxx将21xx代入式并消去x 2可得94)1(532422k，由前面知，536402k581)1(532492，解得551. 又当直线m 的斜率不存在时，不难验证：551或, 所以551为所

22、求。方法二 : 同上得)3(32121yyxx设点 M (3cos，2sin)，N (3cos ,2sin) 则有)3sin2(3sin2coscos由上式消去 并整理得)(1251813sin22, 由于1sin11)(1251813122， 解得551为所求 . 方法三：设法求出椭圆上的点到点D 的距离的最大值为5，最小值为1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页知识点大全进而推得的取值范围为551。【求圆锥曲线的方程练习】一、选择题1已知直线x+2y3=0 与圆 x2+y2+x6y+m=0 相交于 P、Q 两

23、点， O 为坐标原点，若OPOQ，则 m 等于 ( ) A.3 B.3 C.1 D.1 2中心在原点，焦点在坐标为(0， 52)的椭圆被直线3xy2=0 截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为( ) 12575D.17525C.1252752B.1752252A.22222222yxyxyxyx二、填空题3直线 l 的方程为y=x+3,在 l 上任取一点P，若过点 P 且以双曲线12x24y2=3 的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_. 4已知圆过点P(4， 2)、Q(1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，则该圆的方程为 _. 三、解答题5已知椭圆的中心在坐标原点，焦点

24、在x 轴上，它的一个焦点为F，M 是椭圆上的任意点， |MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x 为轴的对称点M1和 M2，且|M1M2|=3104，试求椭圆的方程. 6某抛物线形拱桥跨度是20 米，拱高4 米，在建桥时每隔4 米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长. 7已知圆C1的方程为 (x2)2+(y1)2=320,椭圆C2的方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页知识点大全2222byax=1(a b0)，C2的离心率为22，如果 C1与 C2相交于 A、B 两点，且线段AB 恰为圆

25、 C1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C2的方程 . 参考答案一、 1.解析：将直线方程变为x=32y,代入圆的方程x2+y2+x6y+m=0, 得(32y)2+y2+(32y)+m=0. 整理得 5y220y+12+m=0,设 P(x1,y1)、Q(x2,y2) 则 y1y2=512m,y1+y2=4. 又 P、Q 在直线 x=32y上，x1x2=(32y1)(32y2)=4y1y2 6(y1+y2)+9 故 y1y2+x1x2=5y1y26(y1+y2)+9= m3=0，故 m=3. 答案： A 2.解析：由题意，可设椭圆方程为：2222bxay=1,且 a2=50+b2, 即方程为222

26、250bxby=1. 将直线 3xy2=0 代入，整理成关于x 的二次方程 . 由 x1+x2=1 可求得 b2=25,a2=75. 答案： C 二、 3.解析：所求椭圆的焦点为F1(1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|. 欲使 2a 最小，只需在直线l 上找一点P.使|PF1|+|PF2|最小，利用对称性可解.答案：4522yx=1 4.解析：设所求圆的方程为(x a)2+(y b)2=r2则有222222222)32(|)3()1()2()4(rarbarba2745130122rbarba或由此可写所求圆的方程. 答案： x2+y22x12=0 或 x2+y210 x8

27、y+4=0 三、 5.解： |MF|max=a+c,|MF|min=ac,则(a+c)(ac)=a2c2=b2, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页知识点大全b2=4,设椭圆方程为14222yax设过 M1和 M2的直线方程为y= x+m 将代入得：(4+a2)x22a2mx+a2m24a2=0 设 M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中点为 (x0,y0), 则 x0=21(x1+x2)=224ama,y0=x0+m=244am. 代入 y=x,得222444amama, 由于 a24,m=0,由

28、知x1+x2=0,x1x2=2244aa, 又|M1M2|=31044)(221221xxxx, 代入 x1+x2,x1x2可解 a2=5,故所求椭圆方程为：4522yx=1. 6.解：以拱顶为原点，水平线为x 轴，建立坐标系，如图，由题意知，|AB|=20，|OM|=4， A、B 坐标分别为 (10， 4） 、 (10， 4）设抛物线方程为x2=2py,将 A 点坐标代入，得100=2p (4),解得 p=12.5, 于是抛物线方程为x2=25y. 由题意知E 点坐标为 (2， 4)，E点横坐标也为2，将 2 代入得 y=0.16,从而 |EE|= (0.16)(4)=3.84.故最长支柱长

29、应为3.84 米. 7.解：由 e=22,可设椭圆方程为22222bybx=1, 又设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则 x1+x2=4,y1+y2=2, 又2222222212212, 12bybxbybx=1,两式相减，得22221222212byybxx=0, 即(x1+x2)(x1x2)+2(y1+y2)(y1y2)=0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页知识点大全化简得2121xxyy=1,故直线 AB 的方程为 y=x+3, 代入椭圆方程得3x212x+18 2b2=0. 有=24b272 0,又 |AB|=3204)(221221xxxx, 得3209722422b，解得 b2=8. 故所求椭圆方程为81622yx=1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页