2021-2022年收藏的精品资料中考复习： 大压轴：抛物线上的特殊四边形.doc

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1、第4讲 抛物线上的特殊四边形一、 本讲概述 “特殊四边形”一般指平行四边形、矩形、菱形、正方形等。抛物线上点的“坐标探求”，除常结合相似外，就是特殊四边形了。求解过程中，常用到代数思路或几何思路。代数思路往往利用方程思想求坐标；几何思路往往利用特殊四边形相关性质求坐标。比如矩形邻边互相垂直，就可利用“互相垂直两直线的互为负倒数”来快速表示直线解析式；再如平行四边形对角线互相平分，就可提炼成“平行四边形所对角顶点对应坐标之和相等。 如图，平形四边形四顶点坐标. 利用对角线互相平分，结合中点坐标公式则有结论：。二、 典例分析 例1、（湖北黄冈24题）如图1，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点与点

2、关于轴对称，点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点。（1）求点、点、点的坐标；（2）求直线的解析式；（3）当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形；（4）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。 图1【关键词】抛物线上平行四边形的存在、分类讨论【分析】（1）分别令抛物线解析式中与，即可求出与坐标轴的交点坐标。 （2）由对称性质求出点坐标，即可求直线的解析式。 （3）典型的平行四边形存在性问题。如图2，连接。由于题目已经明确了是四边形，所以顶点顺序已经定好了。表示出相关点坐标，按坐标等式

3、关系建方程即可。已求、，再由题意：。由平行四边形顶点等式关系： 解之，得：（舍）或时，四边形是平行四边形。 图2 图3 图4 图5（4）题目要满足的条件：是以为直角边的直角三角形。说明点、点均有可能是直角顶点。所以，分类讨论，建方程即可。建方程的原则是：哪种简便就按哪种，法无定法。设，而已知、。勾股定理，显得复杂。不妨考虑“两条非水平互相垂直的直线之积为-1”建立方程。如图3：当点为直角顶点，。如图4、5：当点为直角顶点，。综上，所求点坐标为或或。【点评】适当利用总结的解题技巧，利于提高解题速度。 例2、(湖北襄阳26题)边长为2的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点是边的中点，连接，点

4、在第一象限，且.以直线为对称轴的抛物线过两点。（1）求抛物线的解析式；（2）点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为秒，过点作于点，当为何值时，以点为顶点的三角形与相似？（3）点为直线上一动点，点为抛物线上一动点，是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由。【关键词】相似寻找、平行四边形存在性问题【分析】（1）不难，由于有对称轴，不妨设解析式为：.把点坐标代人即可。有同学可能要问，点没说的。点咋个好求呢？大家注意一个原则：函数图像上点坐标的探求，通常情况要过该点作坐标轴的垂线。因为这样才能把坐标中的数据瞬间转换成

5、线段长度，从而有效整合条件。所以，我们过点作轴于点，显然,得点.代人可迅速求出解析式：. （2）需对分情况.这里会遇到一个运算上的困难，两直角边之比为1:2，但在中，两直角边的长度是不好直接表示的。我的想法是“边角转换”.当时：,.即：.当时：为等腰三角形，点为中点.勾股定理结合相似，可计算.即：.综上，值为1或5. （3）问是典型的平行四边形存在性问题.先假设存在，解决的关键就是我们总结的结论：直角坐标系中，平行四边形对角顶点对应坐标之和相等。不少同学做这类题，想得很复杂，东画画，西画画，半天得不到最终结果。抛开所有不相干的，就四个点，.当为该平行四边形对角线时： ；当为该平行四边形一边时：

6、 ；当为该平行四边形一边时： .综上，假设成立，所求坐标：。 【点评】分类讨论谁都知道，但分类的标准怎样才能简捷清晰就值得琢磨琢磨了。如最后一个问，其实就是两大情况，为对角线或边，接下来顺理成章就完了。 例3、(成都28题)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且.(1)直接写出点的坐标，并求直线的函数表达式（其中用含的式子表示）； （2）点是直线上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求的值； （3）设是抛物线的对称轴上的一点，点在抛物线上，以点为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由.

7、 图1 图2 【关键词】抛物线中面积最值、抛物线中矩形存在性问题 【分析】（1）容易，一般抛物线问题，先把三交点、一顶点及对称轴尽量拿出来再说。,对称轴为直线。 “”说明点横坐标为4，代人得：即，直线.（2） 典型的面积最值问题。 先从宏观上观察有何特殊之处？非特殊三角形，仅仅边固定而已，。第一种想法：如图1，用点的坐标表示面积求最值，属代数思路。大家要注意：可能少数同学会以为点在顶点处。错，不信我们求求看！显然点在一或四象限，也就是说与轴有交点，不妨设为点。由于为非特殊三角形，面积的表示就成了一大难题。设点，易求点。为了充分利用点的坐标，我们对三角形进行分割，即： 由题意：，最大值为即：。第

8、二种想法：如图2，平移直线至与抛物线相切，切点即为点。两平行线间的距离即为面积最大时底边上高的长度。属几何思路。因为直线，不妨设平移后与抛物线相切的直线.代入，令，得：直线 .可理解成直线向上平移了个单位.结合，可得一比例式：即：.最大值为即：。(3) 问是矩形存在性问题。这类问题由于涉及诸多动点，情况又不唯一，蛮复杂，显得挺吓人的。其实只要理清两个关键，思路自然就流畅许多了。关键一：要搞清楚在平面直角坐标系中，平行四边形四个顶点坐标的关系。如图3，平形四边形四顶点坐标. 图3利用平行四边形对角线互相平分，结合中点坐标公式则有结论： 关键二：分类讨论，给定的边可能是特殊四边形的边长，也可能是对

9、角线。好，我们来作具体分析。易知：点，。且设点。如图4，当为矩形边长时： 图4利用坐标结论：点横坐标应为-4。代入抛物线解析式，得纵坐标为：，则有： 。欲求出具体坐标，还需利用矩形这一条件。可以用勾股定理，在中，.即：.也可以用两边所在直线互相垂直，则两直线的“”互为负倒数（任一直线不平行轴）来求。而点，则，.即：. 如图5，当为矩形对角线时： 图5点，。且设点。利用坐标结论：点横坐标应为2。代入抛物线解析式，得纵坐标为：，则有：。仿上，两种思路可求：.即：.综上，满足条件的点坐标为。 【点评】此题并不难，但很考查基本功，蕴含“分类讨论”、“方程”等数学思想。大家还有注意运算的准确性和简捷性。

10、例4、（成都28题）如图1在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，点在轴的右侧。 （1）求的值及点的坐标；（2）当直线将四边形分为面积比为3：7的两部分时，求直线的函数表达式；（3）当点位于第二象限时，设的中点为，点在抛物线上，则以为对角线的四边形能否成为菱形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由。 图1 图2【关键词】抛物线、菱形存在【分析】 （1）、把特殊点坐标代入，就求出抛物线解析式，相应问题迎刃而解。 （2）、先把总面积求出，再分两种情况讨论即可。如图2，接 若可得所以,: ；：。（3）、此问是典型的抛物

11、线上特殊四边形的存在性问题。解题思路：通常是假定存在后，根据特殊四边形性质，结合相关点坐标，建立方程求解。 由题意，。不妨设 :。我们的目标：通过求未知数，最终确定点的坐标。为了减少未知数个数，先把与 的关系找出来。这里先知晓一个常见结论：若三点同在直线上，则有：由于三点共线，得：整理，得： （舍）或这样，三个未知数就可以畅通无阻地转化了。接下来的任务是要利用菱形性质，再组建方程，解决点坐标。假设这样的菱形存在。则：可得为，。则即 把代入，结果恒成立。神奇！无意间揭开一个隐藏的规律：只要是过点非铅垂的直线，都能得到。不妨设，则:。菱形是特殊的平行四边形，顶点坐标肯定符合平行四边形性质，即 到了

12、这里，已明显感到用来表示相关点的坐标会很繁杂。如果换作来表示，由于两者地位相当，肯定同样繁杂。所以，关键点的坐标考虑用来表示，如点、的坐标。对于点联立，得：中点的横坐标，代入得即：。对于点,:联立，同理，可整理：。有同学到了这里，就迫不及待地想把它代入抛物线解析式，结果又得到了恒等式。要知道，它本身就是通过抛物线解析式得来的。由于四点也符合平行四边形四顶点坐标性质，即：将坐标代入抛物线解析式，由，解之得。所以，假设成立，。【点评】此题很考察我们的运算能力。特别是面临几个未知数的选择时，说实话，起初谁都不知道用哪个最简单。复杂局面时，只有“摸着石头过河”，边算边调整。例5、（广东茂名25题）如图

13、1，抛物线经过两点，且与轴交于点，点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴交轴于点，连接。（1）求经过三点的抛物线的函数表达式；（2）点是线段上一点，当时，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，过点作轴于点为抛物线上一动点，为轴上一动点，为直线上一动点，当以为顶点的四边形是正方形时，请求出点的坐标。 图1 【关键词】抛物线上正方形的存在、分类讨论【分析】（1）代入点坐标求出即可。（2）特征“”，说明点是线段中垂线上的点。由于点均为已知点，则其中垂线解析式可求，然后与直线解析式联立即可求出点坐标。如果嫌列方程组麻烦了，也可只设一个未知数简单点。由于点是线段上一点，可设。利用两点间距离公式表示。解之得： 即

14、。（3）三个动点加一个动点构成正方形。稍不注意，设出多个未知数，就被绕晕了。之前我们也见过抛物线上平行四边形、矩形等特殊四边形的存在问题。基本思路都是“设参造方程”。“设参”，针对动点而言，把握的原则是参数个数越少越好。“造方程”，主要利用特殊四边形性质。有可能是坐标等式关系；也可能通过特殊内角转化成特殊三角形性质；也可能是对角线特殊性质等。总的一句话：具体情况具体分析。就本题来讲，考虑到点均在轴上，易表示。所以不妨设，则。本来可以再设未知数表示点坐标，但我们的原则是未知数个数越少越好。若通过正方形性质，用来表示点坐标，就可以达到这一目的。分类讨论。当为正方形一边时：正方形为且。说明点横坐标为

15、，再由抛物线解析式可得。 ，可求。当为正方形对角线时：。而事实上，点在直线上，显然有，矛盾。所以此情况不存在。 图2,综上,如图2，坐标为。【点评】怎样利用特殊四边形性质简捷地“设参造方程”，是值得我们反复思考的地方。三、本讲小结熟练运用相关技巧，深刻领悟数学思想，努力把特殊问题上升成一般问题，这样也许能以一当十、以十当百。四、真题演练：1、（湖北黄冈24题）如图，在矩形中，点为边上一点，将沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，分别以所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系.（1） 求的长；（2） 求经过三点的抛物线的解析式；（3） 一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发

16、，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当为何值时，?（4） 若点在（2）中的抛物线的对称轴上，点在抛物线上，是否存在这样的点和点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 2、（山东威海25题）如图1，抛物线经过点，点，点 ，与轴交于点，作直线，连接。（1）求抛物线的函数表达式；（2）点是抛物线上的点，求满足的点的坐标；（3）点在轴上且位于点上方，点在直线上，点为第一象限内抛物线上一点。若以点为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长。 图13、（重庆B卷26题）如图1，抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点

17、。点和点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴相交于点。 （1）求直线的解析式；（2）如图1，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，作平行于轴交直线于点，求周长的最大值；（3）点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以 为顶点的四边形是以为边的矩形，若点和点关于所在直线对称，求点的坐标。 图1参考答案或分析第4讲 抛物线上的特殊四边形例1、（湖北黄冈24题）【解答】解：（1）由题意，令中，则令中，则 或所求坐标为、（2）点与点关于轴对称设直线：。解之得：直线：（3）如图2，连接。，过点作轴的垂线交抛物线于点由题意：四边形是平行四边形，且、 解之，得：（舍）或时，四边形是平行四边形。 图2

18、 图3 图4 图5（4）存在。理由如下，不妨设 、如图3：当点为直角顶点时，解之得：(舍)或点坐标为如图4、图5：当点为直角顶点时， 解之得：或点坐标为或综上，存在点，使是以为直角边的直角三角形。所求点坐标为或或。例2、(湖北襄阳26题)略。例3、(成都28题)略。例4、（成都28题）【解答】 解：（1）由题意， 在中令 ， 在中令 ，或 。 （2）连接.由题意，直线与四边形的另一个交点只能在或上。 图2 如图2， 纵坐标为，代入直线:与: 解之得： : ；：。 （3）假设四边形能成菱形。设 ， 由题意，.如图3 图3 直线过点 不妨设: ； 中点的横坐标 代入得 为中点 四边形为菱形 : 联

19、立 整理, 点在直线上 点又在抛物线上 所以，假设成立，。例5、（广东茂名25题）【解答】解：（1）抛物线经过 抛物线解析式为（2） 直线点是线段上一点 设 ，解之得： （3）由题意，。不妨设。 当为正方形一边时：正方形为且在抛物线上 ，解之得： ，解之得：当为正方形对角线时：点为直线上一动点 ,矛盾。此情况不存在。 图2综上,如图2，坐标为。练习1、（湖北黄冈24题）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）存在，或或。练习2、（山东威海25题）【关键词】抛物线上菱形的存在、分类讨论思想【解答】解：（1）抛物线经过点，点 抛物线又经过点 抛物线的函数表达式： （2）过点作于点。由题意，设点。 图

20、2抛物线与轴交于点 ， 点只能在第一象限 解之得：（舍）或或 如图2，点的坐标为。（3）当为菱形边长时，如图3，过点作轴于点，设。 图3 图4，点在直线上 菱形中， 解之得：（舍）或 边长 当为菱形对角线时，如图4，过点作轴于点，仍设。，点在直线上 四边形为菱形 此时四边形为正方形， 解之得：（舍） 此种情况不存在 综上，所求菱形边长为。【点评】利用菱形性质建方程，是解决此类问题基本思路。练习3、（重庆B卷26题）【关键词】抛物线上矩形的存在 、分类讨论【解答】解：（1）抛物线 点和点关于抛物线的对称轴对称 直线:（2）直线上方的抛物线上有一点 设平行于轴交直线于点 直线: 中， 当时，周长的最大值为。（3）情况1，如图2，当 时： 图2 图3 点是轴上一点，设 ，。点 矩形同时具备平行四边形性质 ，即点和点关于所在直线对称，且 点为中点 。即： 情况2，如图3，当时： 同理可求， ，即点和点关于所在直线对称，且 点为中点 。即： 综上，所求点的坐标为或。【点评】抛物线上矩形的存在问题，除了熟练运用顶点坐标等式关系外，还要体会分类讨论思想。