2022年微分几何试题库 .pdf

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1、1 微分几何一、判断题1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（ ）2、二阶微分方程22A( , )2 B( , )B( , )0u v duu v dudvu v dv总表示曲面上两族曲线. （）3、若( )r tuuu r和( )s tuuu r均在a,b连续，则他们的和也在该区间连续（ ）4、向量函数( )s tuuu r具有固定长的充要条件是对于t 的每一个值，( )s tuuu r的微商与( )s tuuu r平行（ ）5、等距变换一定是保角变换.（）6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（）7、常向量的微商不等于零（ ）8、螺旋线 x=cost,y=sint,z=t

2、 在点（ 1，0，0）的切线为 X=Y=Z （ ）9、对于曲线 s=( )s tuuu r上一点（ t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（ ）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（ ）11、曲线的法面垂直于过切点的切线（ ）12、单位切向量的模是1（ ）13、每一个保角变换一定是等距变换（ ）14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F，这里 F 是第一基本量 .（）二、 填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、螺旋线 x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（ 1，0，0）的法平面是 _ y+z=0, . 精选学习资料

3、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页2 18.设给出1c类曲线 :)(trr,. bta则其弧长可表示为badttr)(19、 已知33cos,sin,cos 2 rxxxr，02x， 则r1 3cos,3sin,45xx，rsin,cos,0 xx，r14cos, 4sin, 35xx，625sin 2x，825sin 2x。20、曲面的在曲线， 如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。21、旋转面 r=( )cos,( )sin,( )ttt,他的坐标网是否为正交的?_ 是_(填“是”或“不是”). 22、过

4、点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_法线_线. 23.任何两个向量qp, 的数量积qp)cos(pqqp24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为_等距(保长)变换_. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_常数_数(填“常数”或“非常数” ).26.若曲线 (c)用自然参数表示)(trr,则曲线 (c)在)(0sP点的密切平面的方程是0)(),(),(000srsrsrR27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面28.杜邦指标线的方程为1222NyMxyLx29、已知曲面cos , sin ,6 ruv uvvr，0u，02v，则它的第一基本形式为222(36)duudv，

5、第二基本形式为21236dudvu，高斯曲率K2236(36)u，平均曲率H0 ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv的法曲率24371517，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为66,37 37。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页3 30、（Cohn-Voeeen定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映射一定是 R3中的合同或对称。31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题33求曲线ttezttyttx,cos,sin在原点的密切

6、平面，法平面，切线方程。解：,cos,sinttettttr,sincos,cossin)(ttteetttttttr2,cossin2,sincos2)(ttteetttttttr在原点处0t,0 ,0 ,0)0(r,1 ,1 ,0)0(r.2,0, 2)0(r在原点处切平面的方程为 : 0)0(),0(),0(rrrR即0ZYX法平面的方程为 : 0)0()0(rrR即0ZY切线方程为)0()0(rrR即110ZYX34、求曲面33zxy的渐近曲线。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页4 解 设33 , ,ru

7、v uvr则21,0,3urur，20,1,3vrvr，22441 3,3,1|991uvuvrrnuvrruvrrrrr0,0,6uurur，0uvrrr，0,0,6 vvrvr446991uuuLn ruvr r，0uvMn rr r，446991vvvNn ruvrr因渐近曲线的微分方程为2220LduMdu dvNdv即22uduvdv或0uduvdv渐近曲线为33221uvC 或33222()uvC35.求双曲抛物面2),(),(uvvubvuar的第一基本形式解:,2),(),(uvvubvuar,2,vbaru.2,ubarvuvbarrFvbarrEvuuu4,422222,

8、.4222ubarrGvv2222222222)4()4(2)4(dvubadudvuvbaduvbaI36.计算球面)sin,sincos,coscos(RRRr的第二基本形式 . 解: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页5 ,cos,sinsin,cossin,0,coscos,sincos),sin,sincos,coscosRRRrRRrRRRr由此得到,cos22RrrE,0rrF,2RrrG2FEGrrncossinsincossin0coscossincoscos13212RRRRReeeR=,sin

9、,sincos,coscos又由于,0 ,sincos,coscosRRr,0,cossin,sinsinRRr,sin,sincos,coscosRRRr所以),(cos2RnrL,0nrM,RnrN因而得到)cos(222RddR37.如果曲面的第一基本形式,)(222222cvudvduds计算第二类克力斯托费尔符号. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页6 解:因为222)(1cvuE, 0F, 222)(1cvuG所以uuGcvuucvuucvuE32242222)(4)(2)(2vvGcvuvcvuvcv

10、uE32242222)(4)(2)(2所以,2222111cvuuEEu,2222211cvuvGEv,2222112cvuvEEvcvuuGGu2221222, cvuuEGu2212222,cvuvGGv222222238、已知曲面的第一基本形式为22()Iv dudv，0v，求坐标曲线的测地曲率。解EGv，0F，0uG，1vEu-线的测地曲率122uvgEEGv vv-线的测地曲率02vugGGE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页7 39、问曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线

11、吗？为什么？答：曲面上曲线的切向量沿曲线本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线是测地线 . 事实上，设:( )(1,2)iiuu si，则的切向量为1212dudurrdsdsrrr记1duads，22duads，111,ijiji jDadaa du ，222,ijiji jDadaa du则曲线的切向量r沿平行移动0Drr120,0DaDa0(1,2)iDaids22,0(1,2)kijkiji jd udu dukdsds ds为测地线40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线 . 解:因为,sin,cosbvvuvur.0,0,0, 12222NbubMLbuGFE由于,0N

12、L所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网,则一族渐近线是,sin,cos00bvvuvur这是螺旋线 ,另一族渐近线是,sin,cos000bvvuvur这是直线 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页8 41、设空间两条曲线和 C 的曲率处处不为零，若曲线和C 可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行， 求证曲线和 C 在对应点的切线夹固定角. 证设:( )rr srr，:( )rrsrr，则由/rr知rr，从而0rr，0rr，()0ddsdsdsrrrrrrconstantrr，即cos,Crr这表明曲线和 C

13、在对应点的切线夹固定角 . 42、证明)(tr具有固定方向的充要条件是0)()(trtr证明:必要性 设ettr)()(e为常单位向量 ),则,)()(ettr所以0)()(trtr充分性 : )()()(tettr()(te为单位向量函数 ),则)()()()()(tettettr, ).()()()()(2tetettrtr因为0)(,0)(ttr于是,当0)()(trtr,从而有,0)()(tete精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页9 即)(/)(tete,因为)()(tete(根据1)(te),因此0)(t

14、e即)(te为常向量 ,所以)()()(tettr有固定方向43、给出曲面上一条曲率线，设上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角 . 求证是一条平面曲线 . 证设:( , )rr u vrr，:( ),( )uu s vv s，其中s是的自然参数，记,r nr r，则cosr nrr，两边求导，得d0dnnrsrrrrr，由为曲率线知 d/ dnrrr， 即dd/ddnrssrrr， 因此dd0ddnnrnrrssrrrrrr. 若0，则为平面曲线；若0nrr，则因为曲面上的一条曲率线，故ddnnrrr. 而0nnnrrrr，所以d0nrr，即 nr为常向量 . 于是为平面曲线 . 4

15、4、求圆柱螺线,sin,cosbttatatR）（在3t处的切线方程。解,cos,sin)(,sin,cos)(btatatrbttatatr3t时，有.,2,23)3(3,23,23baarbar所以切线的方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页10 )3()3(rrP即321)3(23231beaeaep如果用坐标表示，则得切线方程为,3223232bbZaaYaaX即bbZaaYaax3323245、求双曲螺线,sinh,coshattatar从 t=0 起计算的弧长。解：,cosh,sinh,sinh,co

16、shatataattatarr从 t=0 起计算的弧长为t0|tdtzyxdtt0222|)(r=.sinh2coshcoshcosh)1(sinhcoshsinh02222022222222tadttatadttatadtatatatttt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页11 46、求球面sin,sincos,coscosRRRr的第一基本形式。解： 由cos,sinsin,cossin,0 ,coscos,sincos,sin,sincos,coscosRRRRRRRrrRr可得出由此得到曲面的第一类基本量

17、222,0,cosRGFRErrrrrr因而22222dRdcosRI47、曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。证明设，由欧拉公式知和可以交换坐标如果),(2121vuKKkk,cos)()cos1(cos22122221kkkkkkn于是0cos)(2122kkkkn因此nkk2同样又可以得到,0sin)(2121kkkkn由此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页12 nkk2即21kkkn这就是说，主曲率12,kk是nk法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式为22

18、)()(dvuGduuEI。求证：（ 1）u-曲线是测地线；（2）v-曲线是测地线，当且仅当0)(uGu证明：由曲线的方程为.0dvu,0sin1Gdsdv得到0sin所以0代入刘维尔公式得,0sinln21cosln21uGEvEGdsdkg因此得到曲线是测地线u。（2）若u曲线为测地线，由则有得,02dsdsinln11000uGE，即0uG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页13 49、3R 中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。证明： 因为（1）空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换；（2）空间

19、三个合同变换的组合满足合里律；（ 3） 恒 同 变 换)3 ,2, 1(:ixxiiI与 空 间 任 何 合 同 变 换 T的 组 合,TITTI因此 I 对于空间合同变换的组合来说是单位元素；（4）空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同变换。50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。证明： 沿曲线（ C）给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网（则,21uu）0,0,02,0,21122112121121222112211dswvdsdvdswudsdudswvdsdvdswudsduevevveueuu所以)()(2211vuvudsdvdsdudsdvu

20、vdsdudsdvuvdsdu22221111?0)(2112212112dswvuvuvuvu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页14 51、设曲线trrC :)(是具有周期的闭的正规平面曲线， 如果把参数换成自然参数，则它的周期是,0/dttLrL 的闭曲线的周长 . 证明dttrtst/0=,/0dttrdttrt因为trtr，所以./trtr我们得到stsLdttrLtt/0, 所以有srtsrtsrLtsrLsr. 52、对于空间简单的、正规闭曲线，至少存在一条切线与给定的方向l 正交. 证明取 l 为坐

21、标系的z轴方向 .设曲线C的自然参数表示是., 0,:LsszsysxsrC因而单位切向量为?szsysxsa,. 根据微积分中值定理，存在使得, 00Ls精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页15 szLzLz000?，但是,0zLz所以00?sz，即?0,000sssyxa，这表示即与轴垂直于,0zas方向 l 正交。53、单位球面上的曲线C，若, 0kg则,12?kkkkkkg其中1. 证明设单位球面上的曲线由于.:srrC12r，从而有ar ?=0，所以,0?kraa即1+.0?kr由上式得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页16 krk?r,0?kr利用伏雷内公式，化简后得- ?rkkk=0. 若令由于,rn,?krnkkg则有gkkk?=0. 但是单位球面上曲线的法曲率并且由于, 1nk,222kkkgn所以,12kkg1. 因此当时，有0gk.12?kkkkkkg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页