2022年最新高一数学同步练习).doc .pdf

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1、精品文档精品文档高一数学同步练习必修四第一章三角函数（一）一、任意角、弧度制及任意角的三角函数A.基础梳理1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角终边与角相同的角可写成 k 360 (kZ)(3)弧度制1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角弧度与角度的换算：360 2弧度； 180 弧度弧长公式：l| |r，扇形面积公式：S扇形12lr 12| |r2. 2任意角的三角函数定义设 是一个任意角，角的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r0)，那么角 的正弦、余弦、正切分别是：sin yr

2、，cos xr，tan yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数3三角函数线三角函数线有向线段 MP 为正弦线有向线段 OM 为余弦线有向线段 AT 为正切线B.方法与要点1、一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(2)终边落在x 轴上的角的集合 | k ，kZ ；终边落在y 轴上的角的集合|2k ，kZ ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为 k2，kZ. 2、两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|r 一定是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

3、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档正值(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧3、三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90 的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角(2)角度制与弧度制可利用180 rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用(3)注意熟记0 360 间特殊角的弧度表示，以方便解题C.双基自测1(人教 A 版教材习题改编)下列与94的终边相同的角的表达式中正确的是()A 2

4、k 45 (kZ) Bk 360 94( kZ) Ck 360 315 (kZ) Dk 54(kZ) 解析与94的终边相同的角可以写成2k 94( kZ)，但是角度制与弧度制不能混用。答案C 2若 k 180 45 (kZ)，则 在()A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限D第三或第四象限解析当 k2m1(mZ)时， 2m 180 225 m 360 225 ，故 为第三象限角；当 k2m(mZ)时， m 360 45 ，故 为第一象限角答案A 3若 sin 0 且 tan 0，则 是()A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析由 sin 0 知 是第三、四象限或y 轴非

5、正半轴上的角，由tan 0 知 是第一、三象限角是第三象限角答案C 4已知角的终边过点 (1,2)，则 cos 的值为 ()A55B.2 55C255D12解析由三角函数的定义可知，r5，cos 1555. 答案A 5(2011 江西 )已知角 的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P(4，y)是角 终边上一点，且sin 2 55，则 y_. 解析根据正弦值为负数且不为1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，y0，sin y16y2255? y 8. 答案8 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

6、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档D.考点解析考点一角的集合表示及象限角的判定【例 1】?(1)写出终边在直线y3x 上的角的集合；(2)若角 的终边与67角的终边相同，求在0,2 )内终边与3角的终边相同的角；(3)已知角 是第二象限角，试确定2 、2所在的象限审题视点 利用终边相同的角进行表示及判断解(1)在(0，)内终边在直线y3x 上的角是3，终边在直线y3x 上的角的集合为 3k ，kZ(2) 672k( kZ)，3272k3(kZ)依题意0272k32 ? 37k187，kZ. k0,1,

7、2，即在 0,2 )内终边与3相同的角为27，2021，3421. (3)是第二象限角，k 360 90 k 360 180 ，kZ. 2k 360 180 2 2k 360 360 ，kZ. 2是第三、第四象限角或角的终边在y 轴非正半轴上k 180 45 2 k 180 90 ，kZ，当 k2m(mZ)时， m 360 45 2m 360 90 ；当 k2m1(mZ)时， m 360 225 2m 360 270 ； 2为第一或第三象限角(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360 的整数倍(2) 角 的 集 合 的 表 示 形 式 不

8、是 唯 一 的 ， 如 ： 终 边 在y轴 非 正 半 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档x x2k 2，kZ ，也可以表示为x x2k 32，kZ. 【训练 1】 角 与角 的终边互为反向延长线，则()A B 180 C k 360 (kZ) D k 360 180 (kZ) 解析对于角 与角 的终边互为反向延长线，则 k 360 180 (kZ)

9、k 360 180 (kZ)答案D 考点二三角函数的定义【例 2】?已知角 的终边经过点P(3，m)(m0)且 sin 24m，试判断角所在的象限，并求 cos 和 tan 的值审题视点 根据三角函数定义求m，再求 cos 和 tan . 解由题意得， r3m2，m3m224m，m0，m 5，故角 是第二或第三象限角当 m5时， r22，点 P 的坐标为 (3，5)，角 是第二象限角，cos xr32264，tan yx53153. 当 m5时， r 2 2，点 P 的坐标为 (3，5)，角 是第三象限角cos xr32264，tanyx53153. 任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而

10、与角终边上点 P 的位置无关 若角 已经给出， 则无论点 P 选择在 终边上的什么位置，角 的三角函数值都是确定的【训练 2】 (2011 课标全国 )已知角 的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y2x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档上，则 cos ()A45B55C.55D.55解析取终边上一点(a,2a)，a0，根据任意角的三角函数定义，可得cos 55，答案D 考点三弧

11、度制的应用【例 3】?已知半径为10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角的大小；(2)求 所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S. 审题视点 (1)由已知条件可得 AOB 是等边三角形，可得圆心角的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积解(1)由 O 的半径 r10AB，知 AOB 是等边三角形， AOB60 3. (2)由(1)可知 3， r10，弧长 l r310103，S扇形12lr 1210310503，而 SAOB12 AB1032121010325032， SS扇形SAOB50332. 弧度制下的

12、扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式【训练 3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解设圆心角是 ，半径是 r ，则 2rr 40，S12lr12r(402r)r(20r)2022100. 当且仅当 r20r，即 r10 时， Smax100. 当 r10， 2 时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2 弧度时，扇形名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

13、- 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档考点四三角函数线及其应用【例 4】?在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围并由此写出角的集合：(1)sin 32；(2)cos 12. 审题视点 作出满足 sin 32，cos 12的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围 解(1)作直线 y32交单位圆于A、B 两点，连接OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分 )即为角 的终边的范围，故满足条件的角的集合为 2k 3 2k 23 ，kZ. (2)作直线 x12交单位圆于C、D 两点，连接OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域(图中阴

14、影部分 )即为角 终边的范围，故满足条件的角的集合为 2k 23 2k 43 ，kZ . 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置；(2)根据不等式 (组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公共的部分；(4)写出角的表达式【训练 4】 求下列函数的定义域：(1)y2cos x1；(2)ylg(34sin2x)解(1)2cos x10， cos x12. 由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

15、 - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档定义域为2k 3，2k 3(kZ)(2)34sin2x0，sin2x34，32sin x32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，定义域为k 3，k 3(kZ)二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2 cos2 1；(2)商数关系：sin cos tan . （3）倒数关系：1cottan2诱导公式公式一： sin( 2k)sin ，cos( 2k)cos_ ，tan)2tan(k其中 kZ. 公式二： sin( )sin_

16、， cos( ) cos_ ，tan( )tan . 公式三： sin( ) sin_ ，cos( )cos_ . 公式四： sin( )sin ，cos( ) cos_ . 公式五： sin2cos_ ，cos2sin . 公式六： sin2cos_ ，cos2 sin_ . 诱导公式可概括为k2 的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变

17、偶不变，符号看象限2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan sin cos 化成正、余弦(2)和积转换法：利用 (sin cos )21 2sin cos 的关系进行变形、转化（cossin、cossin、cossin三个式子知一可求二）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档(3)巧用“ 1” 的变换： 1sin2 cos2 cos2 (1tan2 )tan4. （

18、4）齐次式化切法：已知ktan，则nmkbaknmbanmbatantancossincossin3、三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时， 先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周 化锐 特别注意函数名称和符号的确定(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号(3) 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化C.双基自测1(人教 A 版教材习题改编)已知 sin( )12，则 cos 的值为 ()A12B.12C.32D32解析sin( ) sin 12，sin 12. cos 1sin2 32. 答案D 2点 A(sin 2 011， co

19、s 2 011)在直角坐标平面上位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析2 011 360 5(180 31 )， sin 2 011 sin360 5(180 31 ) sin 31 0，cos 2 011cos360 5(180 31 ) cos 31 0，点 A 位于第三象限答案C 3已知 cos 45， (0，)，则 tan 的值等于 ()A.43B.34C43D34解析 (0，)，sin 1cos2 35，tan sin cos 34. 答案B 4cos174sin 174的值是 ()A.2 B2 C0 D.22解析cos 174 cos174cos 4 4cos422，

20、sin 174 sin174 sin 4 4 sin422.cos 174sin 17422222. 答案A 5已知 是第二象限角，tan 12，则 cos _. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档解析由题意知cos 0，又 sin2 cos2 1，tan sin cos 12. cos 255. 答案255D.考点解析考点一利用诱导公式化简、求值【例 1】?已知 f( )sin cos 2 si

21、n2tan ，求 f313. 审题视点 先化简 f( )，再代入求解解f( )sin cos cos tan cos ，f313cos313 cos 10 3cos 312. (1)化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值(2)诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了【训练 1】 已知角 终边上一点P( 4,3)，则cos2sin cos112sin92的值为 _解析原式sin sin sin cos tan ，根据三角函数的定义，得tan yx34. 答案34考点二同角三角函数关系的应用题型 1：已知一个三角函数值，求其

22、他三角函数值【例 21】?已知3tan，23，那么sincos的值是（）A231B231C231D231名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档解析：由41cos1coscos31cossin3cossintan22222， 23， 21cos23cos1sin2. sincos231.故选 B 【训练 11】已知)11( ,cosmm，求sin、tan的值解析： 分类讨论（ 1）若10m，则是第一、四

23、象限角当是第一象限角时，21sinm，mm21cossintan当是第四象限角时，21sinm，mm21cossintan（2）若01m，则是第二、三象限角当是第二象限角时，21sinm，mm21cossintan当是第三象限角时，21sinm，mm21cossintan（3）若0m，则是终边在y轴上的界限角此时，1sin，tan没有意义 . （1）已知一个三角函数值求其他三角函数值时，要确定角所在的象限后再用平方关系，只有用到平方关系时，才考虑根号前面的符号。（2）若不能确定的象限时，则需进行分类讨论.题型 2：齐次化切法【例 22】 ?已知 tan 2. 名师资料总结 - - -精品资料欢

24、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档求： (1)2sin 3cos 4sin 9cos ；(2)4sin2 3sin cos 5cos2 . 审题视点 (1)齐次化切法，方法：同除cos ；(2)利用 1sin2 cos2 ，把整式变为分式，再同除cos2 . 解(1)2sin 3cos 4sin 9cos 2tan 34tan 9223429 1. (2)4sin2 3sin cos 5cos2 4sin2 3sin cos 5

25、cos2sin2 cos24tan2 3tan 5tan2 144325411. 【训练 22】 已知sin 3cos 3cos sin 5.则 sin2 sin cos _. 解析依题意得：tan 33tan 5，tan 2. sin2 sin cos sin2 sin cos sin2 cos2tan2 tan tan2 122222125. 答案25(1)关于 sin ，cos 的齐次式（分子、分母中的各项的方次相同），往往化为关于tan 的式子（2）具体方法：分子分母同除 cos ； （或同除cos2 .）.（必要时添加1sin2 cos2 ）题型 3： sin cos ，sin co

26、s ， sin cos 三个式子知一求二【例 2 3】已知51cossin，且0，求（ 1）cossin； （2）tan（3）33cossin（利用乘法公式：)(2233babababa解析：（1）51cossin，两边平方得：2524cossin2251cossin21 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档2549)cos(sin2549cossin21202524cossin2且0，0cos,

27、0sin，即是第二象限角0cossin，由得57cossin（2）51cossin、57cossin两式相加，得54sin，两式相减得53cos34tan（3）12591)25121(57)coscossin)(sincos(sincossin2233【训练 23】已知40,81cossin，求（ 1）cossin； （2）cossin（3）22cossin；解析：（1）458121cossin21)cos(sin2，25cossin（2）43cossin21)cos(sin2，40，由三角函数线知cossin，23cossin（3）415)cos)(sincossincossin22（(1)

28、对于 sin cos ，sin cos ，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求（2）转化的公式为(sin cos )21 2sin cos . 考点三三角形中的诱导公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档【例 3】?在 ABC 中， sin Acos A2，3cos A2cos( B)，求 ABC 的三个内角审题视点 要求三角形的内角，需求得某一内角的某一三角函数值，

29、故结合条件sin Acos A2知先求角 A，进而求其他角解由已知可得2sinA42，因为 0A ，所以 A4. 由已知可得3cos A2cos B，把 A4代入可得cos B32，又 0B ，从而 B6，所以 C 46712. 在ABC 中常用到以下结论：sin(AB)sin C，cos(AB) cos C， tan(AB) tan C，sinA2B2cosC2，cosA2B2sinC2. 【训练 3】 若将例 3 的已知条件“ sin Acos A2”改为“ sin(2 A)2sin( B)”其余条件不变，求 ABC 的三个内角解由条件得： sin A2sin B，即 sin A2sin

30、B，3cos A2cos B，平方相加得：sin2A3cos2A2? 2cos2A1，cos A22. 若 cos A22，则 cos B32，A，B 均为钝角不可能故 cos A22，cos B32，故 A4，B6，C712. 自我检测题一、选择题1、集合 |k + k+ ，kZ 中的角所表示的范围（阴影部分）是（）A、B、C、D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档解答： 解：当 k 取偶数时

31、，比如k=0 时，+ ，故角的终边在第一象限当 k 取奇数时，比如k=1 时， +，故角的终边在第三象限综上，角的终边在第一、或第三象限，故选C2、已知角a 的终边经过点P（ 4m，3m） （m 0 ） ，则 2sina+cosa的值是（）A、1 或 1 B、或C、1 或D、 1 或解答： 解：，当 m0 时，；当 m0 时，故选 B3、 （2000?天津）已知sin sin ，那么下列命题成立的是（）A、若 、是第一象限角，则cos cos B、若 、是第二象限角，则tan tan C、若 、是第三象限角，则cos cos D、若 、是第四象限角，则tan tan 解：若 、同属于第一象限，

32、则，cos cos ；故 A 错第二象限，则，tan tan ；故 B 错第三象限，则，cos cos ；故 C 错第四象限，则，tan tan （均假定0， 2 ）故 D 正确答选为 D4、若 |sin |= ， 5 ，则 tan 等于（）A、B、C、D、解： |sin |= ， 5 ， sin，cos= =， tan =故选 C5. 若4cost an (B)costan sin (C )sin tan cos (D)tansin cos【解析】 选 D.在单位圆上过角终边与单位圆的交点P向 x 轴引垂线 PD,利用 OPD 与 OTA中边的不等关系易知,ODDPAT, 名师资料总结 -

33、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档cossin tan . 6、设角的值等于（）A、B、C、D、解答： 解：因为，则=故选 C 7、已知 cos（+ ）=，则 sin（ ）=（）A、B、C、D、解答： 解： sin（ ）=cos（ ）=cos（+ ）=故选 A 8、已知 sin cos 231，且 0 ，则 tan的值为( ) 333 333解答： 解：由 sin cos 231，两边平方得023cossin22

34、2)231(4324232231)cossin（由023cossin2且 0 得0sin，0cos，0cossin231cossin，两式相加得21sin，两式相减得23cos，33tan选 C 9、在 ABC中， sin（A+B ）+sinC；cos（B+C）+cosA； tantan ；，其中恒为定值的是（）A、B、C、D、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档解答： 解： sin（A+B ）+

35、sinC=sin （ c）+sinC=2sinC ，不是定值排除；cos（B+C） +cosA=cos（ A）+cosA=cosA+cosA=0 符合题意；tantan=tan（）tan =cottan=1符合；=sinsin=sin2不是定值不正确故选 A 10、化简5cos5sin215cos5sin21c得（）A、5sin2B、5cos2C、5sin2D、5cos2解答： 解：原式5cos5sin5cos5sin) 5cos5(sin)5cos5(sin225.28630.5755，05cos5sin，05cos5sin原式5sin2)5cos5(sin)5cos5(sin，故选 C 二

36、、填空题11、若扇形的周长是16cm，圆心角是2 弧度，则扇形的面积是_解答： 解：设扇形半径为r，面积为s，圆心角是 ，则 =2 ，弧长为 r，则周长 16=2r+ r=2r+2r=4r ， r=4，扇形的面积为：s= r2= 2 16=16 （cm2） ，故答案为16 cm212、函数的值域是_解答： 解：由题意知本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号，当角 x 在第一象限时，y=1+1+1=3 ，当角在第二象限时，y=111=1，当角在第三象限时，y=11+1=1，当角在第四象限时，y=1+11=1故答案为： 1，313、已知 tan =2，则=_解答： 解： tan =2 ，=故答案为

37、：14、已知，则=_解答： 解：，=+=故答案为：15、已知 f（x）=，则 f（1 ）+f（2 ）+f（58 ）+f（59 ）=_名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档解答： 解： f（x）=，首尾配对，得原式=故答案为三、解答题16、证明 （注：其中）等式左边 =等式右边 =故等式左边和等式右边相等，等式成立17、已知 是第二象限角，且，（1）求角 的正弦值、余弦值和正切值；（2）在图中作出角的

38、三角函数线，并用有向线段表示sin ，cos和 tan 解答： 解： （1），由 sin2+cos2=1 可得：k=1 或；又 是第二象限角， k=1（舍去），（2）设单位圆与x 轴正半轴交于A（1，0） ，的终边与单位圆交点为P，过点 P 向 x 轴作垂线，垂足为M，则 sin =MP ，cos=OM ，过 A（1，0）作圆的切线与的终边的反向延长线相交于点T，tan =AT 18、已知75cos31，为第三象限角，求435sin255cos的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 精品文档精品文档解答： 解：设：75，则31cos且为第四象限角，322sin，于是：435sin255cos360sin180cos3221sincos。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -