2022年高考数学圆锥曲线专题复习 .pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载圆锥曲线一、知识结构1. 方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 ) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线 C的方程是 f(x,y)=0， 则点 P0(x0,y0) 在曲线 C上f(x0,y 0)=0；点 P0(x0,y0) 不在曲线C上f(x0,y0) 0两条曲线的交点若曲线 C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1

2、(x0,y0)=0 点 P0(x0,y0) 是 C1，C2的交点 f2(x0,y0) =0 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点 . 2. 圆圆的定义：点集： M OM =r ，其中定点O为圆心，定长r 为半径 . 圆的方程：(1) 标准方程圆心在 c(a,b) ，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x2+y2=r2(2) 一般方程当 D2+E2-4F 0 时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫 做圆 的一 般方 程，圆心为 (-2D,-2E） ，半 径是24F-ED22. 配

3、方 ，将 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 29 页优秀学习资料欢迎下载当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点(-2D,-2E); 当 D2+E2-4F 0 时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为 r, 点 M的坐标为 (x0,y0) ，则MC r点 M在圆 C内， MC =r点 M在圆 C上， MC r点 M在圆 C内，其中 MC =2020b)-(ya)-(x. (3) 直线和圆的位置关系直线和圆

4、有相交、相切、相离三种位置关系直线与圆相交有两个公共点直线与圆相切有一个公共点直线与圆相离没有公共点直线和圆的位置关系的判定(i) 判别式法(ii)利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0的距离 d=22CBbAaBA与半径 r 的大小关系来判定. 3. 椭圆、双曲线和抛物线基本知识椭圆双曲线抛物线轨迹条件M MF1 + MF2=2a, F1F2 2a M MF1- MF2. =2a, F2F2 2a. M MF =点 M 到直线 l 的距离 . 圆形标准方程22ax+22by=1(ab0) 22ax-22by=1(a 0,b 0) y2=2px(p 0) 顶点A1(-a,0),A2

5、(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a) O(0,0) 轴对称轴 x=0,y=0 长轴长： 2a 对称轴 x=0,y=0 实轴长： 2a 虚轴长： 2b 对称轴 y=0 曲线性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 29 页优秀学习资料欢迎下载短轴长： 2b 焦点F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在长轴上F1(-c,0),F2(c,0) 焦点在实轴上F(2P，0) 焦点对称轴上焦距 F1F2=2c，c=b2-a2F1F2=2c, c=b2a2准线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外

6、. x=ca2准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧 . x=-2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等 . 离心率e=ac,0 e1 e=ac,e 1 e=1 4. 圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y) 到一个定点F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数e(e 0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点F(c,0) 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率 . 当 0e1 时，轨迹为椭圆，当e=1 时，轨迹为抛物线当e1 时，轨迹为双曲线5. 坐标变换坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换( 如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换

7、 . 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. 坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴. 坐标轴的平移公式设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y) ，在新坐标系x O y中的坐标是 (x ,y ). 设新坐标系的原点O 在原坐标系xOy 中的坐标是(h,k)，则x=x+h x=x-h (1) 或(2) y=y+k y=y-k 公式 (1) 或(2) 叫做平移 ( 或移轴 ) 公式 .中心或顶点在 (h,k)的圆锥曲线方程见下表. 方程焦点焦线对称轴椭圆22h)-

8、(xa+22k)-(yb=1 ( c+h,k)x=ca2+h x=h y=k 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 29 页优秀学习资料欢迎下载22h)-(xb+22k)-(ya =1 (h, c+k)y=ca2+k x=h y=k 双曲线22h)-(xa-22k)-(yb=1 ( c+h,k)=ca2+k x=h y=k 22k)-(ya-22h)-(xb=1 (h, c+h)y=ca2+k x=h y=k 抛物线(y-k)2=2p(x-h) (2p+h,k) x=-2p+h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (-2p

9、+h,k) x=2p+h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, 2p+k) y=-2p+k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- 2p+k) y=2p+k x=h 二、知识点、能力点提示( 一) 曲线和方程，由已知条件列出曲线的方程，曲线的交点说明在求曲线方程之前必须建立坐标系，然后根据条件列出等式进行化简 . 特别是在求出方程后要考虑化简的过程是否是同解变形，是否满足已知条件，只有这样求出的曲线方程才能准确无误. 另外，要求会判断曲线间有无交点，会求曲线的交点坐标. 三、考纲中对圆锥曲线的要求：考试内容：. 椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程；. 双曲线

10、及其标准方程.双曲线的简单几何性质；. 抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质；考试要求：. (1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程；. (2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质；. (3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质；. (4)了解圆锥曲线的初步应用。四对考试大纲的理解高考圆锥曲线试题一般有3题 (1个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 ), 共计 22 分左右 , 考查的知识点约为20 个左右 . 其命题一般紧扣课本, 突出重点 , 全面考查 . 选择题和填空题考查以圆锥精选学习资料 - - - - - - - -

11、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 29 页优秀学习资料欢迎下载曲线的基本概念和性质为主, 难度在中等以下，一般较容易得分，解答题常作为数学高考中的压轴题，综合考查学生数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力，重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 往往结合平面向量进行求解，在复习应充分重视。求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定

12、义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法. 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“ 先定形，后定式，再定量” 的步骤 . 定形 指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. 定式 根据 “ 形 ” 设方程的形式， 注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0). 定量 由题设中的条件找到“ 式” 中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 【例题】【例 1】双曲线2224byx=1(bN)的两个焦点F1、 F2，P 为双曲线上一点，|OP|5,|PF1|

13、,|F1F2|,|PF2|成等比数列，则b2=_. 解：设 F1(c,0） 、F2(c,0)、P(x,y),则|PF1|2+|PF2|2=2(|PO|2+|F1O|2)2(52+c2), 即|PF1|2+|PF2|250+2c2, 又 |PF1|2+|PF2|2=(|PF1|PF2|)2+2|PF1| |PF2|, 依双曲线定义，有|PF1|PF2|=4, 依已知条件有|PF1| |PF2|=|F1F2|2=4c216+8c250+2c2,c2317, 又 c2=4+b2317,b235,b2=1. 【例 2】已知圆 C1的方程为3201222yx，椭圆 C2的方程为12222byaxab0，

14、C2的离心率为22，如果C1与 C2相交于 A、B 两点，且线段AB恰为圆 C1的直径，求直线AB的方程和椭圆 C2的方程。解：由.,2,22,222222cbcaace得yxC1F2F1OAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 29 页优秀学习资料欢迎下载设椭圆方程为.122222bybx设).1 ,2().,().,(2211由圆心为yxByxA. 2,42121yyxx又, 12, 12222222221221bybxbybx两式相减，得.022222122221byybxx,0)(2)(21212121yyyyxxx

15、x又.1. 2.421212121xxyyyyxx得).2(1xyAB的方程为直线即3xy将得代入, 1232222bybxxy.021812322bxx.07224.22bCAB相交与椭圆直线由.3204)(222122121xxxxxxBA得.3203722422b解得. 82b故所有椭圆方程.181622yx【例 3】过点 (1，0)的直线 l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为22的椭圆 C相交于 A、B 两点，直线y=21x 过线段 AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称，试求直线l 与椭圆 C 的方程 . 解法一：由e=22ac,得21222aba,从而

16、 a2=2b2,c=b. 设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上 . 则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12 x22)+2(y12y22)=0,.)(221212121yyxxxxyy设 AB 中点为 (x0,y0),则 kAB=002yx, BAy=12xoyxF2F1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 29 页优秀学习资料欢迎下载又(x0,y0)在直线 y=21x 上， y0=21x0, 于是002yx=1,kAB=1, 设 l 的方程为y=x+

17、1. 右焦点 (b,0)关于 l 的对称点设为 (x,y),byxbxybxy111221解得则由点 (1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2=89,1692a. 所求椭圆C 的方程为2291698yx=1,l 的方程为y=x+1. 解法二：由e=21,22222abaac得,从而 a2=2b2,c=b. 设椭圆 C 的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为y=k(x1), 将 l 的方程代入C 的方程，得 (1+2k2)x24k2x+2k22b2=0, 则 x1+x2=22214kk,y1+y2=k(x1 1)+k(x21)=k(x1+x2) 2k=2212kk. 直线 l

18、：y=21x 过 AB 的中点 (2,22121yyxx),则2222122121kkkk, 解得 k=0，或 k=1. 若 k=0,则 l 的方程为 y=0,焦点 F(c,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以 k=0 舍去，从而k=1，直线 l 的方程为 y=(x1),即 y=x+1,以下同解法一 . 解法 3：设椭圆方程为)1 ()0(12222babyax直线l不平行于y 轴，否则AB中点在 x 轴上与直线ABxy过21中点矛盾。故可设直线)2()1(xkyl的方程为整理得：消代入y) 1()2()3(02)(2222222222bakaxakxbak)()(2

19、211yxByxA，设，22222212bakakxx知：代入上式得：又kxxkyy2)(212121221xxkk，212222222akbakkk，2122kabkk，22e又122)(22222222eacaabk，xyl1的方程为直线，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 29 页优秀学习资料欢迎下载222ba此时，02243)3(22bxx化为方程，0)13(8)1 (241622bb33b，)4(22222byxC的方程可写成：椭圆，2222bbac又，)0( ，右焦点bF，)(00yxlF，的对称点关于直线设点，

20、则byxbxybxy112121000000，得：在椭圆上，代入，又点)4()11(b22)1(21bb，3343b，1692b，892a所以所求的椭圆方程为：11698922yx【例 4】如图，已知 P1OP2的面积为427，P 为线段 P1P2的一个三等分点，求以直线 OP1、 OP2为渐近线且过点P 的离心率为213的双曲线方程. 解：以 O 为原点， P1OP2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系. 设双曲线方程为2222byax=1(a0,b0) 由 e2=2222)213()(1abac，得23ab. 两渐近线OP1、OP2方程分别为y=23x 和 y=23x设点 P1(x1

21、,23x1),P2(x2,23x2)(x1 0,x20), 则由点 P 分21PP所成的比 =21PPPP=2, 得 P 点坐标为 (22,322121xxxx), 又点 P 在双曲线222294ayax=1 上，所以222122219)2(9)2(axxaxx=1, 即(x1+2x2)2(x1 2x2)2=9a2,整理得 8x1x2=9a2oyxPP2P1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 29 页优秀学习资料欢迎下载,427131241321sin|211312491232tan1tan2sin21349| ,21349

22、|212121121212222212121121xxOPPOPOPSOxPOxPOPPxxxOPxxxOPOPP又即 x1x2=29由、得a2=4,b2=9 故双曲线方程为9422yx=1. 【例 5】过椭圆 C：)0( 12222babxay上一动点P 引圆 O：x2+y2=b2的两条切线PA、PB，A、B 为切点，直线AB与 x 轴， y 轴分别交于M、N 两点。 (1) 已知 P点坐标为(x0，y0 )并且 x0y00，试求直线AB方程； (2) 若椭圆的短轴长为8，并且1625|2222ONbOMa，求椭圆C 的方程； (3) 椭圆 C 上是否存在点P，由 P向圆 O 所引两条切线互

23、相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。解： (1)设 A(x1，y1)，B(x2， y2) 切线 PA：211byyxx，PB：222byyxxP点在切线PA、PB 上，2020220101byyxxbyyxx直线 AB 的方程为)0(00200yxbyyxx(2)在直线 AB 方程中，令y=0，则 M(02xb，0)；令 x=0，则 N(0，02yb) 1625)(|22220220222222babxaybaONbOMa2b=8 b=4 代入得 a2 =25, b2 =16 椭圆 C 方程：)0( 1162522xyxy（注：不剔除xy0，可不扣分）(3) 假设存在点P(

24、x0，y0)满足 PAPB，连接 OA、OB由 |P A|=|P B| 知，四边形 PAOB 为正方形， |OP|=2|O A| 220202byx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 29 页优秀学习资料欢迎下载又 P点在椭圆C上22202202baybxa由知x2222202222220,)2(babaybababab0 a2b20 (1)当 a2 2b20，即 a2b 时，椭圆 C 上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直；(2)当 a2 2b20，即 ba0 设 x1,x2为方程 *的两根，则221316kkmxx221

25、03132kkmxxx20031kmmkxy故 AB 中点 M 的坐标为 (2313kkm，231km) 线段 AB 的垂直平分线方程为：)313)(1(3122kkmxkkmy将 D(0， 1)坐标代入，化简得：4m=3k21 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 29 页优秀学习资料欢迎下载故 m、k 满足134031222kmkm，消去 k2得： m24m0 解得： m4 又 4m=3k211 m41故 m),4()0,41(. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

26、第 26 页，共 29 页优秀学习资料欢迎下载【直线与圆锥曲线练习】一、选择题1斜率为1的直线 l 与椭圆42x+y2=1 相交于 A、 B 两点，则 |AB|的最大值为 ( ) A.2 B.554C.5104D.51082抛物线 y=ax2与直线 y=kx+b(k0) 交于 A、B 两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与 x 轴交点的横坐标是x3,则恒有 ( ) A.x3=x1+x2 B.x1x2=x1x3+x2x3C.x1+x2+x3=0 D.x1x2+x2x3+x3x1=0 二、填空题3已知两点M(1，45)、N(4，45)，给出下列曲线方程：4x+2y1=0, x2+y2=3,

27、22x+y2=1,22x y2=1, 在曲线上存在点P 满足 |MP|=|NP|的所有曲线方程是_. 4正方形 ABCD 的边 AB 在直线 y=x+4 上，C、D 两点在抛物线y2=x 上，则正方形 ABCD的面积为 _. 5在抛物线y2=16x 内，通过点 (2，1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是_. 三、解答题6已知抛物线y2=2px(p0),过动点 M(a,0)且斜率为1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点 A、B，且 |AB| 2p. (1)求 a 的取值范围 . (2)若线段 AB 的垂直平分线交x 轴于点 N，求NAB 面积的最大值. 7 已知中心在原点， 顶点 A1、 A

28、2在 x 轴上，离心率 e=321的双曲线过点P(6，6). (1)求双曲线方程. (2)动直线 l 经过 A1PA2的重心 G，与双曲线交于不同的两点M、N，问：是否存在直线l,使 G 平分线段MN，证明你的结论. 8已知双曲线C 的两条渐近线都过原点，且都以点A(2，0)为圆心， 1 为半径的圆相切，双曲线的一个顶点A1与 A 点关于直线y=x 对称 . (1)求双曲线C 的方程 . (2)设直线 l 过点 A，斜率为k,当 0k 1时，双曲线C 的上支上有且仅有一点B 到直线 l的距离为2，试求 k 的值及此时B 点的坐标 . NBAoyxF精选学习资料 - - - - - - - -

29、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 29 页优秀学习资料欢迎下载直线与圆锥曲线参考答案一、 1.解析：弦长 |AB|=55422t5104.答案： C 2.解析：解方程组bkxyaxy2,得 ax2kxb=0,可知x1+x2=ak,x1x2=ab,x3=kb,代入验证即可 .答案： B 二、3.解析： 点 P 在线段 MN 的垂直平分线上，判断 MN 的垂直平分线于所给曲线是否存在交点 .答案：4.解析：设 C、D 所在直线方程为y=x+b,代入 y2=x,利用弦长公式可求出|CD |的长，利用|CD|的长等于两平行直线y=x+4 与 y=x+b 间的距离，求出b 的

30、值，再代入求出|CD|的长 . 答案： 18 或 50 5.解析：设所求直线与y2=16x 相交于点A、B，且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得y12=16x1,y22=16x2,两式相减得，(y1+y2）(y1 y2)=16( x1x2). 即21212116yyxxyykAB=8. 故所求直线方程为y=8x15. 答案： 8xy15=0 三、 6.解： (1)设直线 l 的方程为： y=xa,代入抛物线方程得(xa)2=2px,即 x22(a+p)x+a2=0 |AB|=224)(42apa2 p.4ap+2p2 p2,即 4ap p2又 p0,a 4p. (2)设 A(

31、x1,y1)、 B(x2,y2)，AB 的中点C(x,y), 由(1)知， y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p, 则有 x=222,2212121axxyyypaxx=p. 线段 AB 的垂直平分线的方程为yp=(xap),从而 N 点坐标为 (a+2p,0）点 N 到 AB 的距离为papa22|2|从而 S NAB=2222224)(4221papppapa当 a 有最大值4p时， S有最大值为2p2. 7.解： (1)如图，设双曲线方程为2222byax=1.由已知得321, 16622222222abaeba,解得a2=9,b2=12. 精选学习资料 - - - - -

32、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 29 页优秀学习资料欢迎下载所以所求双曲线方程为12922yx=1. (2)P、A1、A2的坐标依次为 (6,6)、(3，0)、(3，0） ，其重心G 的坐标为 (2，2）假设存在直线l，使 G(2，2)平分线段MN，设 M(x1,y1)，N(x2,y2).则有34912441089121089122121212122222121xxyyyyxxyxyx， kl=34l 的方程为y=34(x 2)+2, 由)2(3410891222xyyx,消去 y,整理得 x24x+28=0. =164 280,所求直线l 不存在

33、. 8.解： (1)设双曲线的渐近线为y=kx,由 d=1|2|2kk=1,解得 k= 1. 即渐近线为y= x,又点 A 关于 y=x 对称点的坐标为(0，2). a=2=b,所求双曲线C 的方程为x2y2=2. (2)设直线 l： y=k(x2)(0k1),依题意 B点在平行的直线l上， 且 l 与 l间的距离为2. 设直线 l ：y=kx+m,应有21|2|2kmk,化简得 m2+22km=2. 把 l代入双曲线方程得(k21)x2+2mkx+m22=0, 由 =4m2k2 4(k2 1)(m22)=0. 可得 m2+2k2=2 、 两 式 相 减 得k=2m, 代 入 得m2=52, 解 设m=510,k=552, 此 时x=2212kmk,y=10.故 B(22,10). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 29 页