2022年必修五人教版数列知识点 .pdf

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1、名师推荐精心整理学习必备1 数列概念与等差数列1数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列 注意 ：数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现2数列的项数列中的每一个数都叫做这个数列的项各项依次叫做这个数列的第1 项（或首项） ，第 2 项，第n 项，3数列的一般形式，或简记为，其中是数列的第n 项下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？如：项序号12345 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3代替

2、公式中的n，就可以求出该数列相应的各项，结合上述其他例子，练习找其对应关系4数列的通项公式如果数列的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式注意 ：并不是所有数列都能写出其通项公式；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是，也可以是数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的一般表示 通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项名师资料总结 -

3、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备2 5数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集1 ，2，3， n ）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值反过来，对于函数y=f(x) ，如果f(i) （i=1、2、3、4）有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1)、f(2)、f(3)、f(4)，f(n)，6数列的分类1）根据数列项数的多少分：有穷数列 ：项数有限的数列例如数列1，2，

4、3，4，5，6是 有穷数列无穷数列 ：项数无限的数列例如数列1，2，3，4，5，6是 无穷数列递推公式：如果已知数列的第 1 项 （或前几项） ， 且任一项与它的前一项（或前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法2）类比函数的单调性数列可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列数列的单调性可通过函数的单调性获得，还可以考察相邻项的大小，即的符号学习中注意与函数的联系与差别7等差数列一般地， 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）公差

5、 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 ，若=d (与 n 无关的数或字母)，n2，nN，则此数列是等差数列， d 为公差8等差数列的通项公式【或】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是 d，则据其定义可得：即：即：即：由此归纳等差数列的通项公式可得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备3 已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差 d

6、，便可求得其通项由上述关系还可得：即：则：=即等差数列的第二通项公式 d=公式特征（通式）等差数列的通项公式是关于的一次（或零次）多项式，一次项系数为公差几何意义点共线（直线的斜率为）变形：当时，增；当时，减；当时，常数列注： 等差数列公差d 的不同表示方法： d= d= d=3、等差数列性质：（通项公式的推广）若，则特别地，若项数（下标）成等差，则对应项也成等差若，成等差，则也成等差9等差数列前n 项和公式（1）运用倒序相加的方法推导公式（1）又（2） 由（ 1）+（2）得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

7、精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备4 ，将代入得：（2）运用通项公式和求和公式，准确计算：在中，熟练运用方程思想,“知三求二”（3）应用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和问题（4）会处理已知求的一般性问题本周典型例题：一、数列概念1根据数列前4 项，写出它的通项公式：（1）1， 1，1， 1，1， 1；（2）1，4，7，10，13，16（3）；（4）（5）1，0，1，0，1，0；（6）0，分析： 1求通项公式即找出与间的函数关系；2归纳法：从特殊到一般；3联想学过的基本数列解： （1）1 2 3 4

8、5 6 ：1 1 1 1 1 1 ；（2）1 2 3 4 5 6 ： 1 4 7 10 13 16 （3）法 1先看分母，再看分子，联想常用数列，符号单独处理1 2 3 4 5 的分母：9 25 49 81 121 的分子：8 24 48 80 120 或；得到通项公式为；法 2先不看符号，把每一项拆开，拆为两数的差，找出规律（略）基本方法：1分子分母可分别看；2 系数单独处理；3因式分解； 4常用数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 29 页 - - -

9、- - - - - - 名师推荐精心整理学习必备5 注意：将（ 3）发展：分母的因式变为不同因式；分子与分母不相关；（4）1 2 3 4 5 的分母：1 3 9 27 81，的分子：通项公式为：（5）1 2 3 4 5 ： 1 另解：，类似于函数的分段表达式发展为： 1，3，1，3，1，3；发展为：（6）1 2 3 4 5 6 的分母：1 2 4 8 16 32 的分子：0 5 8 17 24 37 分段表达：点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求2数列中，已知，（1）写出，； （2）是否是数列中的项？若是，是第几项？解析：

10、 （ 1），名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备6 ，；（2）令，解方程得， 即为该数列的第15 项点评： 该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属二、数列的递推公式3如图，一粒子在区域上运动，在第一秒内它从原点运动到点，接着按图中箭头所示方向在x 轴、 y 轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度（1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通项公式；（2）求粒子从原点运动

11、到点时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过2004 秒后，它所处的坐标解析：（ 1）由图形可设，当粒子从原点到达时，明显有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备7 ，即（2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间再加（ 4416） 28 秒，所以秒（3）由2004，解得，取最大得n=44，经计算，得19802004，从而粒子从原点开始运动，经过1980 秒后到达点

12、，再向左运行24 秒所到达的点的坐标为（20，44） 点评： 从起始项入手，逐步展开解题思维由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在4 （1）已知数列适合：，写出前五项并写出其通项公式；（2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前 5 项名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备8 解： （1），；（2），点评：会根据数列的前几项写出数

13、列的一个通项公式，了解递推公式是给出数列的又一种重要方法，能根据递推公式写出数列的前几项三、数列的单调性和最值5已知数列的通项公式是，判断此数列是递增、递减还是摆动数列？发展：试分析这个数列有没有最大项？如果有，求出这个最大项答案：当时，是递增数列；当时，当时，是递减数列6 （1）数列的通项公式为，若数列是递增的， 则实数的取值范围是_（2）数列的通项公式为， 则取到最大值时，解： （1）（2）当时，且单调递增，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 29 页 -

14、 - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备9 当时，则当时，取到最大值为点评： 数列去最大值问题，借鉴函数思想，判断变化趋势（结合单调性）四、等差数列的概念、通项公式及性质7 （1）等差数列中，若，求的值；（2）（3）等差数列中，公差，若前6 项均为正数，第7 项起为负数求其公差分析（ 1）基本思想：化简！下标和性质；（也可以回归到关于的方程）解： （1）180；（2）33 （3），8为等差数列，且，求一般地，为等差数列，且，求解： （法 1）设首项为，公差为由已知：（法 2）由性质 1 入手解决；（法 3） （看作的一次函数，利用三点共线求出）（法 4）名师资料总结 - -

15、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备10 9设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 Sn=n2，则 an是（ ）A等比数列，但不是等差数列B等差数列，但不是等比数列C等差数列，而且也是等比数列D既非等比数列又非等差数列答案： B；解法一： an=an=2n1（nN）又 an+1an=2 为常数，常数an是等差数列，但不是等比数列解法二： 如果一个数列的和是一个常数项为零的关于n 的二次函数， 则这个数列一定是等差

16、数列点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式an=SnSn1的推理能力但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活10在数列中，设证明：数列是等差数列；证明：（法 1），又，则对于都成立，则数列是等差数列（法 2）11 数列中， 又数列为等差数列， 则_解析：12设是公差为正数的等差数列，若，则（ ）ABCD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备11 解析：

17、，将代入，得，从而选 B点评：应用等差数列的通项公式将因式转化为只含首项和公差的式子，变元减少， 因式就容易处理了13已知数列为等差数列，且（）求数列的通项公式；（）证明解析： （ 1） （I）解：设等差数列的公差为d由即 d=1所以即（II）证明因为，所以点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律五、等差数列的性质及变形公式14 （1）设 an （nN*）是等差数列，Sn是其前n 项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（）Ad0 Ba70 CS9 S5 DS6与 S7均为 Sn的最大值（2）等差数列 an的前 m 项和

18、为 30，前 2m 项和为 100，则它的前3m 项和为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备12 A130B170 C210D260 解析： （ 1）答案： C；由 S5S6得 a1+a2+a3+a50，又 S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7， a7=0，由 S7S8，得 a8S5，即 a6+a7+a8+a902（a7+a8）0，由题设 a7=0，a80，舍去 -2.

19、 3. 等差数列中，公差成等比，求解析：利用等比中项，于是，解得所以4. 设等比数列前项和为，若，求数列的公比解析：显然，若则而与矛盾由而，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备18 5. an是由正数组成的等比数列，为其前 n 项和。已知a2a4=1, ,求解析：，由正数， a3=1，所以解得，由正数，舍去负根，a1=4，=6在正项等比数列中，则_。解析：7. 已知是首项为 1 的等比数列

20、，是的前 n 项和，且，求数列的前 5 项和。解析：。但 q 不能为 1，从而 q=2，求得通项，于是前5 项和为。8. 首项为正数的等比数列，公比，其前项和为，其中数值最大项为，前项和为，求公比和首项。解析：首项为正数，公比，故最大项为列方程后两式相除，可将看成一个整体解出，解得，再代入第一和第二个式子里求和 q，解得。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备19 9. 已知为等比数列， S

21、n是它的前 n 项和。 若， 且与 2的等差中项为，求 an。解析：设 的公比为，则由等比数列的性质知，即。由与 2的等差中项为知，即，即，即10. 已知各项均为正数的等比数列，=5，=10，求。解析：由等比数列的性质知，10,所以, 所以11. 求和：解析：原式 =课堂练习：1. 设为等比数列的前项和，则（ ）（A）11 （B）5 （C）（D）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备20 2

22、. 设为等比数列的前项和，已知，则公比（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 3. 在等比数列中，则公比 q 的值为（）A. 2B. 3 C. 4 D. 8 4 等比数 列的 各 项均为 正 数 ， 且， 则（ ）ABCD5在等比数列中,若公比,且前3 项之和等于21,则该数列的通项公式_6在等比数列中, 若则=_. 7 在 等 比 数 列中 , 若是 方 程的 两 根 ， 则=_. 8已知函数,等差数列的公差为.若,则_. 参考答案：1-4 D B A B 5. 6. 7. -2 8. -6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

23、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备21 数 列 求 和一、特殊数列求和求和的目标：用表示，使结果尽量简单. 求和的常用方法：公式法、并项求和法、裂项相消法、错位相减法等，注意通过通项公式把握数列的特征. 1公式法等差等比数列求和问题此类题中也包含等差、等比加常数的类型，需注意观察各项的特点，准确归纳通项公式是基础 . 例 1=_.解：. 2并项求和法转化为等差等比数列求和问题适合此法的数列的结构特点：其通项可以写成：，其中数列、可分别求和 . 例 2 (1) 求数列的前项和；分析：

24、所给数列的整数部分成等差，分数部分成等比，可分别求和再相加. 解：. (2) 求.解：观察数列的通项公式为, 所以名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备22 . 3. 裂项相消法适合此法的数列的结构特点：（1）倒数形式；（2）通项一般写成：，其中均为等差数列。例 3 (1) 求数列的前项和 .分析：数列通项，解：(2)求.解：观察数列的通项公式为，所以. (3)求.解：观察数列的通项公式为，

25、所以(4)求.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备23 解：对通项有理化可得，所以. 小结 裂项时要注意配系数；多写几项，避免出错. 4差比数列求和错位相减法适合此法的数列的结构特点：差比数列（通项可以写成：，其中为等差数列，为等比数列） ，求和时在等式两边同乘以等比数列的公比. 例 4 (1) 已知实数，求的值 .分析：先注意题目中的条件转化. 解：设数列的通项公式为，其中，前项和在两端

26、同乘得：用式错位对应减去式，得， （）所以. (2)已知数列的前项和为，证明：.证：等式两边同乘以0.1，有 - 得，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备24 所以，因为，所以.(3)求.解：设 - 得小结 数列求和，关键是要找好数列的通项公式，分析出通项的结构，数好项数，由结构特点选择合适的方法. 二、数列通项的求解方法根据数列的递推公式求数列的通项公式一般有两种方法：法 1 先写出前几

27、项，然后猜出数列通项，再给出严谨证明（数学归纳法）；法 2 根据递推公式的特征，利用迭乘、叠加等基本方法，或者通过变形化归为等差等比数列。例 5 根据各个数列的首项和递推公式求出其通项公式(1) ；解： (1) 叠加法 . 由得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备25 将上述个等式相加得，所以. (2) ，. 解： 叠乘法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

28、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备26 将上述个等式相乘得所以. 例 6 求下列数列的通项公式.(1) ；(2) 解： (1) 法 1： （叠加法），叠加可得法 2：转化为型利用叠加法. 在两边同除以得，. 记，则有，. 利用叠加法可得. 所以. 法 3： （构造辅助数列，转化为等比数列）可 化 为. 记， 则，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

29、- - - 第 26 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备27 且，所以是以 2 为首项，公比的等比数列 . 所以.从而. (2) ，（取倒数，构造辅助数列，转化为等差数列）由，得. 记，则是首项，公差的等差数列 . 所以，从而. 小结 可以利用叠加法解决型，叠乘法解决型通项求解问题 . 三、数列综合例 7 数列中，（是常数，） ，且成公比不为的等比数列(1) 求的值； (2) 求的通项公式解： (1) ，因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

30、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备28 (2) 当时，由于，所以又，故当时，上式也成立，所以 例8 已 知 数 列的 前n 项 和 为， 点均 在 二 次 函 数的图象上（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数. 解： (1) 因为点均在函数的图像上，所以. 当时，. 当时，所以（）(2) 由(1)得，故（1）. 因此，要使（） 成立，须满足， 即，所以满足要求的最小正整数为 10. 例 9 设数列的前项和为，已知名师资料总结 - - -精

31、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 29 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备29 (1) 求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；(2) 求；(3) 是否存在自然数，使得? 若存在，求的值；若不存在，说明理由. 解： (1) 证：当时，. 数列是以为首项， 4 为公差的等差数列. 命题得证 . . (2) =. (3)，. 令，得，所以，存在满足条件的自然数. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页，共 29 页 - - - - - - - - -