高等数学积分学PPT课件-一元函数的积分学及其应用.ppt

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1、 一元函数的积分一、不定积分一、不定积分二、定积分二、定积分三、广义积分三、广义积分一、不定积分1. 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 ( )( )( )( ),F xf xdF xf xdxx I或定义定义1 设函数设函数f 与与F 在区间在区间I上有定义，若上有定义，若则称则称F为为f 在区间在区间I上的一个原函数上的一个原函数n问题： （1）什么条件下，一个函数的原函数存在？）什么条件下，一个函数的原函数存在？ ( 2 )如果如果f (x)有原函数，一共有多少个？有原函数，一共有多少个？ ( 3 )任意两个原函数之间有什么关系？任意两个原函数之间有什么关系？1)原函数与不定积分的

2、概念任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量 )0(1ln xxxxln是是x1在区间在区间), 0( 内的原函数内的原函数. 定理定理1 1（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如果函数如果函数f f（x x）在某个区间上连续，那么在某个区间上连续，那么f f（x x）在该区间上一定）在该区间上一定存在原函数存在原函数. . 简单理解：连续函数一定有原函数简单理解：连续函数一定有原函数 定理定理2 2 如果函数如果函数F F（x x）是函数）是函数f f（x x）的一个）的一个原函数，则原函数，则F F（x x）+C+C（C C

3、为任意数）是为任意数）是f f（x x）的全）的全部原函数部原函数. . 性质性质1 1 设函数设函数 及及 的原函数存在，则的原函数存在，则 ( )( )( )( )f xg x dxf x dxg x dx性质性质2 2 设函数设函数 的原函数存在，的原函数存在， 为非零常数，则为非零常数，则)(xf)(xg)(xfk dxxfkdxxkf)()(性质性质3 3性质性质4 4)()(xfdxxf 或dxxfdxxfd)()(. 3)不定积分的性质2. 不定积分直接积分法不定积分直接积分法不定积分的基本公式 利用不定积分的运算性质和积分基本公式，利用不定积分的运算性质和积分基本公式，直接求出

4、不定积分的方法。关键在于对被积函数直接求出不定积分的方法。关键在于对被积函数进行恒等变形进行恒等变形直接积分法3. 不定积分的换元积分法不定积分的换元积分法说明说明使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将 dxxg)(化为化为.)()( dxxxf观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.1)第一类换元积分法（凑微分法）（凑微分）（凑微分）2)第二类换元积分法（变量代换法）例例1 1 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax

5、 2,2t例例2 2 求求解解).0(122 adxax令令taxsec 2, 0ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsecCtt )tanln(sectax22ax .ln22Caaxax 说明说明以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax ;coslntan)14(Cxxdx;sinlncot)15(

6、Cxxdx;tanseclnsec)16(Cxxxdx;cotcsclncsc)17(Cxxxdx;arctan11)18(22Caxadxxa常用的基本公式表常用的基本公式表;ln211)19(22Caxaxadxax;2arcsin2)22(22222Cxaxaxadxxa;arcsin1)20(22Caxdxxa.ln1)21(2222Caxxdxax4. 不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法问题问题 ?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu

7、,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部积分公式例例2 2 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式2)化有理真分式为简单分式3)有理函数的积分法二、定积分1.定积分的概念和性质定积分的概念和性质 曲边梯形曲边梯形 设函数yf(x)在区间a, b上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x

8、)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 1）定积分问题举例 niiixfA10)(lim. 求曲边梯形的面积 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, xixixi1; 小曲边梯形的面积近似为f(i)xi xi1ixi; (2)近似代替: (4)取极限: 设maxx1, x2, xn, 曲边梯形的面积为 (3)求和: 曲边梯形的面积近似为 ;niiixfA10)(lim 在小区间xi1, xi上任取一点i (i1, 2, n), niiixf1)(; 作和maxx1, x2,xn; 记xixixi1 (i1, 2, n), ax0 x1x2 xn1xnb; 在区间a,

9、b内任取分点: 设函数f(x)在区间a, b上连续. 若当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间a, b的分法和i的取法无关, 则此极限称为函数f(x)在区间a, b上badxxf)(, 的定积分, 记为niiibaxfdxxf10)(lim)(. 即 2）定积分的概念v函数的可积性 如果函数f(x)在区间a, b上的定积分存在, 则称f(x)在区间a, b上可积. 定理1 如果函数f(x)在区间a, b上连续, 则函数f(x)在区间a, b上可积. 定理2 如果函数f(x)在区间a, b上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间a, b上可积. v定积分的定义niiibaxf

10、dxxf10)(lim)(. 3)一般地, f(x)在a, b上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和. 1）当f(x)0时, 定积分 在几何上表示由曲线yf(x)、直线xa、xb与y=0 所围成的封闭图形的面积. 2）当f(x)0时, 定积分 在几何上表示曲边梯形面积的负值. ( )baf x dx( )baf x dx3）定积分的几何意义 1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(. 性质1 性质2 2 babadxxfkdxxkf)()(. 性质3 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(. 4 abdxdxbaba1.

11、 性质4 性质5 如果在区间a, b上 f (x)0, 则 badxxf0)(ab). 1）定积分性质推论 如果在区间a, b上 f (x)g(x), 则 babadxxgdxxf)()(ab). 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a, b上的最大值及最小值, 则 baabMdxxfabm)()()(ab). 如果函数f(x)在闭区间a, b上连续, 则在积分区间a, b上至少存在一个点 , 使下式成立: 性质7(定积分中值定理) baabfdxxf)()(. 积分中值公式. 2. 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式1）变上限积分函数 此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数，另一此定理

12、一方面说明了连续函数一定存在原函数，另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系，从而可能方面也说明了定积分与原函数之间的关系，从而可能用原函数来计算定积分用原函数来计算定积分. .定理定理2 2 若函数若函数 在在 上连续，则积上连续，则积分上限函数分上限函数 是是 在区间在区间 上的一个原函数上的一个原函数. . dttfxxa ba, xf xf ba,3. 定积分的积分方法定积分的积分方法1）定积分的换元积分法2）定积分的分部积分法 三、广义积分1. 无限区间上的广义积分无限区间上的广义积分 定义定义 设函数设函数 在区间在区间 上连续取上连续取 ，如果极限如果极限 存在，则称此极限为函数

13、存在，则称此极限为函数 在无穷区间在无穷区间 上的广义积分记作上的广义积分记作 ，即即)(xf , )aab babdxxf )(lim)(xf )(adxxf , )a )(adxxf babdxxf )(lim此时也称广义积分此时也称广义积分 存在或收敛存在或收敛；如果极限；如果极限不存在，就称广义积分不存在，就称广义积分 不存在或发散不存在或发散。 )(adxxf )(adxxf 类似的，可以定义类似的，可以定义 在区间在区间 及及 上上的广义积分。的广义积分。)(xf , ,b bdxxf )( baadxxf )(lim )(dxxf cdxxf )( )(cdxxf bcbcaad

14、xxfdxxf )(lim)(lim 注注 广义积分广义积分 收敛的充分必要条收敛的充分必要条件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积件是上式右端的两个广义积分都收敛，若两个积分之一发散，则左端的广义积分发散。分之一发散，则左端的广义积分发散。 )(dxxf2. 无界函数的广义积分无界函数的广义积分 设函数设函数 在区间在区间 上连续，而上连续，而 取取 ，如果极限，如果极限 存在，则称此极限为存在，则称此极限为函数函数 在区间在区间 上的广义积分。记作上的广义积分。记作 即即)(xf ,(ba0 badxxf 0)(lim)(xf.)( badxxf )(limxxfa ,(ba badx

15、xf )( badxxf 0)(lim此时也称广义积分此时也称广义积分 存在或收敛存在或收敛；如果极限；如果极限不存在，就称广义积分不存在，就称广义积分 不存在或发散不存在或发散。 badxxf )( badxxf )( badxxf )( badxxf )( 类似的，可以定义类似的，可以定义 在区间在区间 及及 上的广上的广义积分。义积分。)(xf)(a, b) ,ba badxxf 0)(lim cadxxf )( bcdxxf )( bccadxxfdxxf 0 0)(lim)(lim).(a, bc 其其中中 一。几何应用一。几何应用; ;1.1.平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）平面域的面积：（直角；极坐标；参数方程）2体积：体积： 1）已知横截面面积的体积）已知横截面面积的体积 badxxSV)(dxxfVbax)(2 baydxxxfV)(2 2）旋转体的体积）旋转体的体积 二物理应用二物理应用1.1.压力；压力； 3.3.引力。引力。 2.2.变力做功；变力做功； 功