2022年由递推公式求通项的种方法经典总结 .pdf

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1、名师推荐精心整理学习必备精析由递推公式求通项的9 种方法1an1anf(n)型把原递推公式转化为an1anf(n)， 再利用累加法 (逐差相加法 )求解，即ana1(a2a1)(a3a2) (anan1)a1f(1)f(2)f(3) f(n1)例 1已知数列 an满足 a112，an1an1n2n，求 an. 解由条件，知an1an1n2n1n n11n1n1，则 (a2a1)(a3a2)(a4a3)(anan 1) 112121313141n11n，所以 ana111n. 因为 a112，所以 an1211n321n. 2an1f(n)an型把原递推公式转化为an1anf(n)， 再利用累乘

2、法 (逐商相乘法 )求解，即由a2a1f(1)，a3a2f(2)，anan1f(n1)，累乘可得ana1f(1)f(2)f(n1)例 2已知数列 an满足 a123，an1nn1 an，求 an. 解由 an1nn1 an，得an1annn1，故 ananan1an1an2 a2a1 a1n1nn2n1122323n.即 an23n. 3an1panq(其中 p，q 均为常数， pq(p1)0)型对于此类问题， 通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为 an1tp(ant)，比较系数可知tqp1，可令 an1t名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

3、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备bn1换元即可转化为等比数列来解决例 3已知数列 an中， a11，an12an3，求 an. 解设递推公式an12an3 可以转化为an1t2(ant)，即 an12ant，则 t3. 故递推公式为an132(an3)令 bnan3，则 b1a134，且bn1bnan13an32. 所以 bn 是以 b14 为首项， 2 为公比的等比数列所以 bn42n12n1，即 an2n13. 4an1panqn(其中 p，q 均为常数， pq(

4、p1)0)型(1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn1， 得an1qn1pqanqn1q，引入辅助数列 bn 其中bnanqn，得 bn1pq bn1q，再用待定系数法解决；(2)也可以在原递推公式两边同除以pn1，得an1pn1anpn1pqpn，引入辅助数列 bn 其中 bnanpn，得 bn1bn1pqpn，再利用叠加法 (逐差相加法 )求解例 4已知数列 an中， a156，an113an12n1，求 an. 解法一 ：在 an 113an12n1两边乘以 2n1，得 2n1 an123(2n an)1. 令 bn2n an，则 bn123bn1，根据待定系数法，得bn1323(bn

5、3)所以数列 bn3是以 b13256343为首项，以23为公比的等比数列所以 bn34323n1，即 bn3223n. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备于是， anbn2n312n213n. 法二： 在 an113an12n1两边乘以 3n1，得3n1an13nan32n1. 令 bn3n an，则 bn1bn32n1. 所以 bnbn132n，bn1bn232n1，b2b1322. 将

6、以上各式叠加，得 bnb132232n132n. 又 b13a135652132，所以 bn13232232n132n1132n1132232n12，即 bn232n12. 故 anbn3n312n213n. 5an1pananb(p1，p0，a0)型这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an1x(n1)yp(anxny)，与已知递推式比较，解出x，y，从而转化为 anxny是公比为 p 的等比数列例 5设数列 an满足 a14，an3an12n1(n2)，求 an. 解设递推公式可以转化为anAnB3an1A(n1)B，化简后与原递推式比较，得2A2，2B3A1，名师资料总结 - -

7、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备解得A1，B1.令 bnann1.(*) 则 bn3bn1，又 b16，故 bn6 3n12 3n，代入 (*) 式，得 an2 3nn1. 6an1parn(p0，an0)型这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq 型数列，再利用待定系数法求解例 6已知数列 an中， a11，an11a a2n(a0)，求数列 an的通项公式解对 an11a a2n的两边取对数，得

8、lg an12lg anlg 1a. 令 bnlg an，则 bn12bnlg 1a. 由此得 bn1lg1a2 bnlg1a，记 cnbnlg1a，则 cn12cn，所以数列 cn是以 c1b1lg1alg1a为首项， 2 为公比的等比数列所以 cn2n1 lg1a. 所以 bncnlg1a2n1 lg1alg1alga1a2n1lga12n，即 lg anlga12n，所以 ana12n. 7an1AanBanC(A，B，C 为常数 )型对于此类递推数列， 可通过两边同时取倒数的方法得出关系式例 7已知数列 an的首项 a135，an13an2an1，n1,2,3，求 an的通项公式解 a

9、n 13an2an1，1an12313an，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 名师推荐精心整理学习必备1an11131an1 . 又1a1123，1an1 是以23为首项，13为公比的等比数列，1an12313n123n， an3n3n2. 8.)(1nfaann型由原递推关系改写成),() 1(2nfnfaann然后再按奇偶分类讨论即可例 8.已知数列na中，, 11a.21naann求na解析：.21naann

10、2212naann，故22nnaa即数列na是奇数项和偶数项都是公差为2 的等差数列，*, 1, 1,Nnnnnnnan且，为偶数为奇数9.)(1nfaann型将原递推关系改写成) 1(12nfaann，两式作商可得,)() 1(2nfnfaann然后分奇数、偶数讨论即可例 9.已知数列na中，,2, 311nnnaaa求na解析：Nnnnnannn, 1,231,23221，为偶数为奇数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -