【五年经典推荐 全程方略】2022届高三数学 专项精析精炼 2022年考点34 直线、平面平行的判定及其性质.doc

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1、考点34 直线、平面平行的判定及其性质1.(2014陕西高考理科T17)(本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.(1)证明:四边形EFGH是矩形.(2)求直线AB与平面EFGH夹角的正弦值.【解题指南】(1)先证得四边形EFGH为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.(2)利用已知正确建立空间直角坐标系,求得平面EFGH的法向量,代入公式即可得解.【解析】(1)因为BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,所以BCFG,BCE

2、H,所以FGEH.同理EFAD,HGAD,所以EFHG,所以四边形EFGH是平行四边形.又由三视图可知AD面BDC,所以ADBC,所以EFFG,所以四边形EFGH是矩形.(2)如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),=(0,0,1),=(-2,2,0),=(-2,0,1).设平面EFGH的法向量n=(x,y,z),因为EFAD,FGBC,所以n=0,n=0.得取n=(1,1,0),所以sin=|cos|=. 2(2014陕西高考文科T17)(本小题满分12分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别

3、交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积.(2)证明:四边形EFGH是矩形.【解题指南】(1)先利用三视图推得线线垂直,进而得AD垂直于面BDC,确定四面体的高后再求其体积.(2)先证得四边形EFGH为平行四边形,再证得此平行四边形的邻边相互垂直,注意从三视图中推得已知.【解析】(1)由该四面体的三视图可知,BDDC,BDAD,ADDC,BD=DC=2,AD=1,又BDDC=D,所以AD平面BDC.所以四面体ABCD的体积V=221=.(2)因为BC平面EFGH,平面EFGH平面BDC=FG,平面EFGH平面ABC=EH,所以BCFG,BCEH,所以F

4、GEH.同理EFAD,HGAD,所以EFHG,所以四边形EFGH是平行四边形.又因为AD平面BDC,所以ADBC,所以EFFG,所以四边形EFGH是矩形.3（2014安徽高考文科19）如图，四棱锥的底面边长为8的正方形，四条侧棱长均为.点分别是棱上共面的四点，平面平面，平面.(1) 证明：(2) 若，求四边形的面积.【解题提示】（1）由线面平行得出BC平行于线线EF、GH；（2）设BD相交EF于点K，则K为OB的中点，由面面垂直得出，再由梯形面积公式计算求解。【解析】（1）因为BC/平面GEFH,BC平面PBC，且平面PBC平面GEFH=GH，所以GH/BC,同理可证EF/BC，因此GH/EF。（2）连接AC,BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP,GK,因为PA=PC,O是AC的中点，所以,同理可得,又，且AC,BD都在底面内，所以底面ABCD，又因为平面GEFH平面ABCD,且平面GEFH,所以PO/平面GEFH，因为平面PBD平面GEFH=GK,所以PO/GK,且GK底面ABCD,从而,所以GK是梯形GEFH的高，由AB=8，EB=2得EB：AB=KB:DB=1:4,从而,即K是OB的中点。再由PO/GK得，即G是PB的中点，且，由已知可得，所以GK=3，故四边形GEFH的面积3