届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十二节第课时导数与函数的零点问题课时规范练理含解析新人教版.doc

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1、导数与函数的零点问题A组基础对点练1(2021江西临川一中模拟)已知函数f(x)4ln xxa在区间(0，2)上至少有一个零点，则实数a的取值范围是()A(0，2) B2，4ln 32)C D2，)解析：由函数f(x)在区间(0，2)上至少有一个零点，可得a4ln xx在x(0，2)上有解设g(x)4ln xx，则g(x)1.当0x1时，g(x)0，g(x)单调递减；当1x0，g(x)单调递增因此可得g(1)2为极小值，且为最小值，且x0时，g(x)，所以a2.答案：D2(2021四川乐山模拟)已知函数ya2ln x的图象上存在点P，函数yx22的图象上存在点Q，且P，Q关于原点对称，则实数a

2、的取值范围是()A3，e2 e2，)C D解析：函数yx22的图象关于原点对称的图象对应的解析式是yx22.由题意可知函数ya2ln x的图象与函数yx22的图象有交点，即方程a2ln xx22有解，所以ax222ln x有解令f(x)x222ln x，x，则f(x).当x时，f(x)0，f(x)单调递增，故当x1时，f(x)取得最小值3，而f4，f(e)e2，所以当xe时，f(x)取得最大值e2，故a3，e2.答案：A3(2020江西宜春期末)已知奇函数f(x)是R上的单调函数若函数yf(x)f(ex)恰有两个零点，则实数的取值范围是()A BC D解析：奇函数f(x)是R上的单调函数，且函

3、数yf(x)f(ex)恰有两个零点，f(x)f(ex)0恰有两个解，即f(x)f(ex)f(ex)，即xex，即方程有两个不同的实数解令g(x)，则g(x).当x(，1)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x(1，)时，g(x)0时，f(x)x2x ln x，则关于x的方程f(x)a满足()A对任意aR，恰有一解B对任意aR，恰有两个不同解C存在aR，有三个不同解D存在aR，无解解析：由函数f(x)是定义在R上的奇函数可知f(0)0.当x0时，f(x)x2x ln x，则当x0时，f(x)x1ln x令g(x)x1ln x，则g(x)1，可知当x(0，1)时，g(x)0，从而f(x)f(1)0

4、，故x0时，f(x)x2x ln x是增函数根据函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，令g(x)0，得x，则函数yg(x)在区间(，)上单调递增，在区间(，)上单调递减，在区间(，)上单调递增，因此函数yg(x)在x处取得极大值，在x处取得极小值由题意知g()0，g().答案：D6(2021重庆一中期中测试)若函数f(x)axln x有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A BC D解析：法一：函数f(x)axln x，其中x0.令f(x)0得axln x当直线yax和yln x的图象相切时，作图如图所示设切点为P(x0，y0)，则由y得曲线yln x在点P的切线方程为yy0(xx0

5、).又因为该直线过原点(0，0)，所以y01，所以ln x01，解得x0e，所以切线斜率为，即当a时，直线yax与曲线yln x相切由图可知，实数a的取值范围是.法二：由f(x)axln x0得a.设g(x)(x0)，则g(x).由g(x)0得0xe，此时函数g(x)单调递增；由g(x)e，此时函数g(x)单调递减即当xe时，函数g(x)取得极大值g(e).当x1时，0g(x)，当0x1时，g(x)0，则函数g(x)的大致图象如图所示由图象可知，当a时，axln x0有两个不同的解，即函数f(x)有两个不同的零点答案：C7若函数f(x)axx2(a1)有三个不同的零点，求实数a的取值范围解析：

6、令f(x)axx20，可得axx2.当x0时，函数yax与yx2的图象有一个交点；当x0时，两边同时取自然对数得x ln a2ln x，即ln a，由题意得函数yln a与g(x)的图象在(0，)上有两个不同的交点，g(x)，令g(x)0，解得0xe，则g(x)在(0，e)上单调递增，令g(x)0，解得xe，则g(x)在(e，)上单调递减，则g(x)maxg(e)，ln a，1ae时有两个交点；又x0时，必有一个交点，1ae时，函数f(x)axx2(a1)有三个不同的零点8已知二次函数f(x)的最小值为4，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR(1)求函数f(x)的解析式；(2)求

7、函数g(x)4ln x的零点个数解析：(1)f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3，xR，设f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a，且a0，f(x)minf(1)4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)由(1)知g(x)4ln xx4ln x2，g(x)的定义域为(0，)，g(x)1，令g(x)0，得x11，x23.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0，1)1(1，3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时，g(x)g(1)40，当x3时，g(e5)e52022512290.又g(x)在(3，)上单调递增，因

8、而g(x)在(3，)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点B组素养提升练1已知函数f(x)ax2x(1ln x)(aR).(1)当a时，判断f(x)的增减性并予以证明(2)若f(x)有两个极值点求实数a的取值范围；证明：1f(x)极大值.(注：其中e为自然对数的底数)解析：因为f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2ax1ln xx2axln x.(1)当a时，f(x)在(0，)上单调递增证明如下：当a时，f(x)xln x，又曲线yln x过原点的切线是yx，显然当x0时，xx，故f(x)xln xx0，所以当a时，f(x)在(0，)上单调递增(2)f(x)有两个极值点f(x)2axln x

9、有两个变号正零点，即2axln x有两个不同的正实数根直线y2ax与曲线g(x)ln x有两个不同的交点，因为曲线g(x)ln x过原点的切线为yx，切点为M(e，1)，所以直线y2ax与曲线g(x)ln x有两个不同的交点时，02a，故a.证明：若f(x)有两个极值点x1，x2，其中x1x2，由知当x(0，x1) 时，f(x)0；当x(x1，x2)时，f(x)0；当x(x2，)时，f(x)0，所以f(x)极大值f(x1)axx1(1ln x1).又f(x1)2ax1ln x10，解得a，故f(x)极大值f(x1)x1x1ln x1，由知x1(1，e)，则f(x1)1(ln x11)(1ln

10、x1)0，故f(x1)x1x1ln x1在 (1，e)上单调递增，所以1f(1)f(x1)f(e)，即1f(x)极大值.2(2020德州中学模拟)已知函数f(x)mx2xln x.(1)若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；(2)当0m时，若曲线C：yf(x)在点x1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值或取值范围解析：(1)f(x)2mx1，即2mx2x10时，由于函数y2mx2x1的图象的对称轴x0，故需且只需0，即18m0，解得m，故0m.综上所述，实数m的取值范围为.(2)f(1)m1，f(1)2m，故切线方程为ym12m(x1

11、)，即y2mxm1.从而方程mx2xln x2mxm1在(0，)上有且只有一解设g(x)mx2xln x(2mxm1)，则g(x)在(0，)上有且只有一个零点又g(1)0，故函数g(x)有零点x1.则g(x)2mx12m.当m时，g(x)0，又g(x)不是常数函数，故g(x)在(0，)上单调递增函数g(x)有且只有一个零点x1，满足题意当0m1，由g(x)0，得0x；由g(x)0，得1x.故当x在(0，)上变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0，1)1g(x)00g(x)极大值极小值根据上表知g0，故在上，函数g(x)又有一个零点，不满足题意综上所述，m.3(2021黑龙江大庆模拟

12、)已知函数f(x)x22a ln x(aR).(1)当a时，点M在函数yf(x)的图象上运动，直线yx2与函数yf(x)的图象不相交，求点M到直线yx2距离的最小值；(2)讨论函数f(x)零点的个数，并说明理由解析：(1)函数f(x)x22a ln x的定义域为(0，).当a时，f(x)x2ln x，则f(x)2x.由题知，函数yf(x)的图象在点M处的切线与直线yx2平行时，点M到直线yx2的距离最小令f(x)1，解得x1或x(舍).又f(1)1，则点M为(1，1).点M(1，1)到直线xy20的距离为，故点M到直线yx2距离的最小值为.(2)由f(1)1知，1不是函数f(x)的零点由f(x

13、)0，得2a(x0且x1).设g(x)(x0且x1)，则问题转化为讨论函数yg(x)的图象和直线y2a的图象交点的个数g(x)(x0且x1)，令g(x)0，解得x.当0x1或1x时，g(x)0，当x时，g(x)0，故g(x)在(0，1)，(1，)上单调递减，在(，)上单调递增，故g(x)极小值g()2e.又0x1时，g(x)0，x1时，g(x)0，故当2a0或2a2e，即a2e，即ae时，有2个交点；当02a2e，即0ae时，没有交点故当ae时，函数f(x)有2个零点；当0a0，f(x)2ax2a.当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；当a0，解得0x，令f(x)，故f(x)在上单调递增，在上单调递减综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0，g(x)单调递增；当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递减x(0，2时，g(x)的值域为.方程f(x)g(x0)(x0(0，2)在(0，e上有两个不同的实数根，a0，且满足由0e，得a2，得ln (a)10，ln (a)10.令h(x)ln (x)1(x2，a(e，0).综上，实数a的取值范围为.