【步步高】(江苏专用)2021届高考数学二轮专题突破 专题五 第1讲 直线与圆 文.doc
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1、第1讲直线与圆【高考考情解读】本讲考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题直线与圆的位置关系(特别是弦长问题),此类问题难度属于中等,一般以填空题的形式出现,有时也会出现解答题,多考查其几何图形的性质或方程知识1 直线方程的五种形式(1)点斜式:yy1k(xx1)(直线过点P1(x1,y1),且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线)(2)斜截式:ykxb(b为直线l在y轴上的截距,且斜率为k,不包括y轴和平行于y轴的直线)(3)两点式:(直线过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1x2,y1y2,不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)(4)截距式:1(a、b分别为直线的横、
2、纵截距,且a0,b0,不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)(5)一般式:AxByC0(其中A,B不同时为0)2 直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时:(1)两直线平行l1l2k1k2.(2)两直线垂直l1l2k1k21.提醒当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,两直线也垂直,此种情形易忽略3 三种距离公式(1)A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离:AB.(2)点到直线的距离:d(其中点P(x0,y0),直线方程为:AxByC0)(3)两平行线间的距离:d(其中两平行线方程分别为l1:AxByC10.l2:AxByC20)提醒应用两平行线间距离公式
3、时,注意两平行线方程中x,y的系数应对应相等4 圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程:(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程:x2y2DxEyF0(D2E24F0)5 直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系:相交、相切、相离,代数判断法与几何判断法(2)圆与圆的位置关系:相交、相切、相离,代数判断法与几何判断法.考点一直线的方程及应用例1(1)过点(5,2),且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是_(2)若直线l1:xay60与l2:(a2)x3y2a0平行,则l1与l2间的距离为_答案(1)2xy120或2x5y0(2)解析(1)当直线过原点时方程为2x5y0,
4、不过原点时,可设出其截距式为1,再由过点(5,2)即可解出2xy120.(2)由l1l2,知3a(a2)且2a6(a2),2a218,求得a1,所以l1:xy60,l2:xy0,两条平行直线l1与l2间的距离为d. (1)要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件,即“斜率相等”或“互为负倒数”若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去研究 (1)直线l1:kx(1k)y30和l2:(k1)x(2k3)y20互相垂直,
5、则k_.(2)过点(1,0)且倾斜角是直线x2y10的倾斜角的两倍的直线方程是_答案(1)3或1(2)4x3y40解析(1)l1l2,k(k1)(1k)(2k3)0,解得k13,k21.k3或1.(2)设直线x2y10的倾斜角为,则所求直线的倾斜角为2.由已知得tan ,则tan 2,所以所求直线方程为y0(x1),即4x3y40.考点二圆的方程及应用例2(1)已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上直线l:yx1被圆C所截得的弦长为2,则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为_(2)已知A(2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2y2kx0上两个不同点,P是圆x2y2kx0上的
6、动点,如果M,N关于直线xy10对称,则PAB面积的最大值是_答案(1)xy30(2)3解析(1)设圆心坐标为(x0,0)(x00),由于圆过点(1,0),则半径r|x01|.圆心到直线l的距离为d.由弦长为2可知2(x01)22,整理得(x01)24.x012,x03或x01(舍去)因此圆心为(3,0),由此可求得过圆心且与直线yx1垂直的直线方程为y(x3),即xy30.(2)依题意得圆x2y2kx0的圆心(,0)位于直线xy10上,于是有10,即k2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得AB2,直线AB的方程是1,即xy20,圆心(1,0)到直线AB的距离等于,点P到直线AB的
7、距离的最大值是1,PAB面积的最大值为23. 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径,而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系,在求解圆的方程时,要根据所给条件选取适当的方程形式解决与圆有关的问题一般有两种方法:(1)几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程;(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数 (1)已知圆C:x2(y3)24,过点A(1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点,若PQ2,则直线l的方程为_(2)已知圆C的圆心与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称,直线4x3y20与圆C相交于A,B两点,且AB6,则圆C的方程为
8、_答案(1)x1或4x3y40(2)x2(y1)210解析(1)当直线l与x轴垂直时,易知x1符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为yk(x1),线段PQ的中点为M,由于PQ2,易得CM1.又CM1,解得k,此时直线l的方程为y(x1)故所求直线l的方程为x1或4x3y40.(2)设所求圆的半径是r,依题意得,抛物线y24x的焦点坐标是(1,0),则圆C的圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x3y20的距离d1,则r2d2()210,故圆C的方程是x2(y1)210.考点三直线与圆、圆与圆的位置关系例3(2013江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y2x4.
9、设圆C的半径为1,圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使MA2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围解(1)由题设,圆心C是直线y2x4和yx1的交点,解得点C(3,2),于是切线的斜率必存在设过A(0,3)的圆C的切线方程为ykx3,由题意,1,解得k0或,故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上,所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x,y),因为MA2MO,所以2 ,化简得x2y22y30,即x2(y1)24,所以点M在以D(0,1)为圆心,2为半径的圆上由题意,点M(x,y)在圆C上,
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