2022年三角函数最值问题常见解法 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载三角函数最值问题的几种常见解法一 、配方法若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2 时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。例 1 函数3cos3sin2xxy的最小值为（）. A2 B . 0 C . 41D . 6分析 本题可通过公式xx22cos1sin将函数表达式化为2cos3cos2xxy，因含有cosx 的二次式，可换元，令 cosx=t，则,23, 112ttyt配方，得41232ty, , 11t当 t=1 时,即 cosx=1 时，0miny,选 B. 例 2 求函数 y=5sinx+cos2x 的最值分析 ：观

2、察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。48331612,221sin683316812,22, 1sin, 1sin183345sin21sin5sin2sin21sin5maxmin222yzkkxxyzkkxxxxxxxxy二 、引入辅助角法例 3 已知函数Rxxxxy1cossin23cos212当函数 y 取得最大值时，求自变量x 的集合。分析 此类问题为xcxxbxay22coscossinsin的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为xbxaycossin型求解。解：.47,6,2262,4562sin2145

3、2sin232cos2121452sin432cos41122sin2322cos121maxyzkkxkxxxxxxxxy三 、利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。例 4 求函数1cos21cos2xxy的值域分析 此为dxcbxaycoscos型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。解法一：原函数变形为1cos,1cos221xxy，可直接得到：3y或.3

4、1y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解法一：原函数变形为, 1121, 1cos,121cosyyxyyx3y或.31y例 5 （2003 年高考题）已知函数)cos(sinsin2xxxxf，求函数f(x) 的最小正周期和最大值。分析 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。解：42212

5、sin2cos1cossin2sin22xsnxxxxxxff(x) 的最小正周期为，最大值为21。四 、引入参数法（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx，与 sinxcosx 的函数，运用关系式,cossin21cossin2xxxx一般都可采用换元法转化为t 的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。例 6 求函数 y=sinx+cosx+sinxcosx 的最大值。分析 解：.cossin21cossin2xxxx令 sinx+cosx=t ，则ttyttxx21,2,221cossin22，其中2,2t当.221, 14sin,2maxyxt五、利用基本不等式法

6、利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。例 7 求函数xxy22cos4sin1的最值。解：xxy22cos4sin1=9225tan4cot5tan14cot12222xxxx当且仅当,tan4cot22xx即2cot x时，等号成立，故9miny。又例 ：求函数xxxy2sinsin22sin1的最大、最小值xxxxysin11sin111)sin1(sin121sinx 0 y 0,当 sinx=1 时 Ymin=0, 当 1sinx0 时,1 sinx+xsin112, ymax=1/2 已知34x，则函数xxycos)6sin(2

7、的最大值与最小值的和为35 . 当04x时,函数22cos()cossinsinxf xxxx的最小值4 练习：1,已知(0,)x，求函数23 sin13siny的最大值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2,当20 x时，函数21 cos28cos( )sin2xxf xx的最小值为 4 2221cos28cos2sin8cos4( )tansin 22sincostantan(0,),( )4

8、,)xxxxf xxxxxxxf x六、利用函数在区间内的单调性例 8 已知,0 x，求函数xxysin2sin的最小值。分析 此题为xaxsinsin型三角函数求最值问题，当 sinx0,a1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设ttyttx1,10,sin，在（ 0，1）上为减函数，当t=1 时，3miny。七 、数形结合由于1cossin22xx，所以从图形考虑，点(cosx,sinx) 在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。例 9 求函数xxxy0cos2sin的最小值。分析 法一：将表达式改写成,cos2

9、sin0 xxyy 可看成连接两点A(2,0) 与点 (cosx,sinx) 的直线的斜率。由于点(cosx,sinx) 的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y 的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。设过点 A 的切线与半圆相切与点B,则.0ykAB可求得.3365tanABk所以 y 的最小值为33（此时3x）. 法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=xbasin22（即引入辅助角法）和有界性来求解。八、判别式法例 10 求函数xxxxytansectansec22的最值。分析 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。解：kkxxyyxyxyx

10、xxxxxxxy,0tan, 101tan1tan11tantan1tantantansectansec222221y时此时一元二次方程总有实数解名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载.3310313, 014122yyyyy由 y=3，tanx=-1，3,4maxyzkkx由.31,4,1tan,31minykxxy九、分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。例 11 设20214

11、sincos2xaxaxxf，用 a 表示 f(x) 的最大值M(a). 解：.214sinsin2axaxxf令 sinx=t, 则, 10t.21442214222aaataattxftg（1）当12a，即tga,2在0，1上递增，;21431agaM（2）当, 120a即20a时，tg在0，1上先增后减，;214422aaagaM（3）当,02a即tga,0在0，1上递减，.4210agaM0,42120,21442,21432aaaaaaaaM十、利用导数法求解通过对函数)(xf求导，解出驻点方程0)(xf的根，以及在)(xf的定义域内， 使)(xf无意义的点 （不可导点）0 x，对每

12、一个0 x，用两种方法去判断它是否为极值点？是极大值点还是极小值点？）考察)(xf在0 x的左右侧的符号，由正（负）到负（正），则0 x就是)(xf的极大（小）值点；若符号不变，则0 x不是极值点，此法实际上是利用函数的单调性；）考察)(0 xf，若)(0 xf0，则0 x为极小值点；若)(0 xf0，则0 x为极大值点；若)(0 xf=0，则要用更高阶的导数才能判定。此法实际上是利用了函数的凹凸性。用导数法求解三角函数式的函数的极值，往往可能给解题带来方便，容易求得极值点，同样我们用几个前面的例子来作比较，从而体现出导数法的优点。例 12求函数 y=xx2cos4sin43的极值名师资料总结

13、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载解：由)(xfxx2cos4sin43知xxxxfsincos8cos4)()sin21cos(4x令)(xf得kx221（)Zkkx222（)Zkkx2673（)Zk4xk26（)Zk又由于)( xfxxx22cos8sin8sin4)cos2sin2(sin422xxx将1x，2x，3x，4x代入)( xf得)(1xf故1x为极大值点且极大值为7)22(kf)(2xf故2

14、x为极大值点且极大值为1)22(kf)(3xf故3x为极大值点且极小值为2)267(kf)(4xf故4x为极大值点且极小值为2)26(kf例 13求函数xxy26cossin916的极值。解：由xxy26cossin916得xxxxxfcossin932cossin332)(735)sincos3(cossin932225xxxx令)(xf得kx21（)Zkkx2（)Zkkx33（)Zk又xxxxxxxxf8262644sin932cossin9224cossin32cossin3160)(xxxxx82644sin932cossin9512cossin3160)sincossin16cos1

15、5(sin93242244xxxxx将1x，2x，3x代入)( xf得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载)(1xf，故1x为极大值点且极大值为163)2(kf；)(2xf，故2x为极小值点且极小值为0)(kf；而)(3xf，因此对于3x应利用更高阶的导数来判定3x为极小值点且极小值为我们可以用不等式法求得函数xxxf26cossin916)(的极值点和极值，不但需要较高的技巧，而且还会漏掉几个极值

16、点。从这里可以明显看出导数法从某种程度上说比其它方法更完整。例 14：函数cossinyxxx在3,22的最小值为max3cossinsin0,223,),( ,22yxxxyxxxxxyxyy通上以上例子的解答我们可以发现，各种方法有各自的优、缺点，对于不同的类型，根据题目的特点，可以使用不同的方法去解答。用导数法虽然有时运算量较大，但方法简单、统一，比较容易掌握和运用，也不易漏掉极值点，更重要的是它的应用范围比其他方法更广泛。当然各种方法各有千秋，我们在做题时，可以根据题目特点选择适当的解答方法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -