2022高考数学 名师指导提能专训9 空间几何体 理.doc

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1、提能专训(九)空间几何体A组一、选择题1(2013东北三省四市一联)如图所示是一个几何体的三视图，其侧(左)视图是一个边长为a的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则该几何体的体积为()Aa3B.C. D.D解题思路：由三视图可知，几何体是由两个相同的三棱锥组合而成，所以V2a2a，故选D.2(2013东北三省二联)如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为()A162B82C16D8B命题立意：本题主要考查立体几何中的三视图问题和简单几何体的体积公式，难度中等解题思路：由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此V12412282，故选B.3在ABC中，AB2

2、，BC1.5，ABC120(如图所示)，若将ABC绕BC边所在直线旋转一周，则所形成的旋转体的体积是()A. B.C. D.D解题思路：如图所示，该旋转体的体积为圆锥CD与圆锥BD的体积之差，由已知求得BD1.所以VV圆锥CDV圆锥BD331.4如图，啤酒瓶的高为h，瓶内酒面高度为a，若将瓶盖盖好倒置，酒面高度为a(abh)，则酒瓶容积与瓶内酒的体积之比为()A1且abhB1且abhC1且abhD1且abhB解题思路：设啤酒瓶的底面积为S，啤酒瓶的容积为V瓶，瓶内酒的体积为V酒，则V酒Sa，V瓶V酒Sb，即得V瓶V酒SbS(ab)， 1.又 SaSa，即aa， habab， 1且abh.5已知

3、一个几何体的正(主)视图和俯视图如图所示，正(主)视图是边长为2a的正三角形，俯视图是边长为a的正六边形，则该几何体的侧(左)视图的面积为()A.a2 B.a2C.a2 D.a2A命题立意：本题主要考查三视图的相关知识解题时，首先根据三视图判断出该几何体的直观图，确定相关基本量，再进行求解解题思路：由该几何体的正(主)视图和俯视图可知，该几何体是一个正六棱锥该几何体的侧(左)视图，如图所示，其中ABAC，ADBC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BCa，AD是正六棱锥的高，则ADa，所以该几何体的侧(左)视图的面积为Saaa2.6一个几何体的正(主)视图和俯视图如图所示，其中俯视图是

4、边长为2的正三角形，且圆与三角形内切，则侧(左)视图的面积为()A6 B4C64 D44A命题立意：本题考查三视图知识、空间想象能力与几何体的体积公式，难度中等解题思路：依题意得，该几何体是在一个正三棱柱的上面放置一个球的组合体，其中该正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是2，该球的半径是1，因此其侧(左)视图的面积为12226，故选A.7(2013吉林省质检一)已知三棱锥SACB的四个顶点都在半径为1的球面上，底面ABC是正三角形，SASBSC，且平面ABC过球心，则三棱锥SABC的体积是()A.B.C.D.C命题立意：本题考查与球有关的组合体知识及球的性质应用，难度中等解题思路：由已知可得底面等

5、边三角形ABC外接圆的半径为1，设等边三角形ABC的边长为a，则有a1，解得a，故V棱锥SABC()21，故选C.8如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MPMB，则点M的轨迹为()B命题立意：本题考查空间直线与平面的位置关系和空间想象能力，难度中等解题思路：利用平面的基本性质求解由MPMB得点P在线段PB的垂直平分面上，又点M在平面ABCD上，所以点M在两个平面的交线上，而两个平面的交线是一条直线又OBOP，所以交线不经过点O，故选B.9(2013海口高考调研)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AC

6、B90，BAC30，BC1，且三棱柱ABCA1B1C1的体积为3，则三棱柱ABCA1B1C1的外接球的表面积为()A16 B12 C8 D4A解题思路： ACB90，BAC30，BC1， AC. AA1底面ABC， 三棱柱ABCA1B1C1的体积V1CC13，得CC12， 三棱柱ABCA1B1C1的外接球半径r2， S表42216.10(2013石家庄一模)已知正三棱锥PABC的正(主)视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为()A4B12C.D.D命题立意：本题考查三视图知识及与球有关的组合体知识，考查空间想象与运算能力，难度中等解题思路：由三视图可知正三棱锥的底面是边长为2的等边

7、三角形，侧棱长为4.如图，点D为外接球的球心，则AO2，OP2，在直角三角形AOD中可得R2(2R)222，解得R，则此三棱锥的外接球的表面积S4R2，故选D.二、填空题11一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_50(1)命题立意：本题考查三视图及空间几何体表面积的求解，考查空间想象与公式运用能力，难度较小解题思路：据三视图可知几何体为四棱锥，其中底面为正方形，对角线长为10，四棱锥的高为5，故侧面高为h，因此表面积S45101050(1)12(湖南联考)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12，BAC120，则此球的表面积等于_20命题立意：本题考

8、查几何体外接球表面积的计算，难度中等解题思路：底面三角形ABC的外心是O，设OAOBOCr，在ABC中，ABAC2，BAC120，BC2，由正弦定理可得2r，r2，设外接球的球心为O，在RtOBO中，易得球半径R，故此球的表面积为4R220.13已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则以正方体ABCDA1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的表面积为_解题思路：AB1D1是边长为的正三角形，由正弦定理得其外接圆的半径为，圆锥底面面积为S12；圆锥的母线即为球的半径，圆锥的侧面积为S22，因此圆锥的表面积为SS1S2.B组一、选择题1下列说法正确的

9、是()A有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥B解题思路：对于A选项，若两个底面相同的斜三棱柱对接后满足A答案的情况，但不是棱柱，A错；对于B选项，取长方体上底面的一个顶点为顶点，取下底面的矩形为底的四棱锥满足B答案；对于C选项，和A选项类似，两个底面形状相同的棱台对接后满足C中的条件，但不是棱台，因为棱台是由棱锥截得的；对于D，只有旋转轴为直角三角形的直角边时，才能得到圆锥，其他情况不满足要求故选B.2一个几何体

10、的正(主)视图如图所示，俯视图是正六边形及半径为1的内切圆，则这个几何体的体积为()A2B2C4D4C解题思路：该几何体是由一个底面边长为，高为2的六棱柱和半径为1的半球组成，其体积为622134.3已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是()A6 B12 C18 D24C命题立意：本题主要考查空间几何体、球的体积、棱柱的表面积等基础知识，考查考生的空间想象能力、运算求解能力解题思路：根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面内切圆的半径等于1，即底面的高等于3，底面边长等于2，所以这个三棱柱的表面积等于322

11、22318.4从点P出发的三条射线PA，PB，PC两两成60角，且分别与球O相切于A，B，C三点，若球的体积为，则O，P两点之间的距离为()A. B. C1.5 D2B解题思路：构造法解决，点P看作是一个正方体的一个顶点，三条射线看作以P为起点的三条面对角线，球O与这三条面对角线相切于A，B，C三点，根据球和正方体的对称可知，球O的球心O为正方体的中心(体对角线的中点)由球的体积得到球半径为1，那么构造的正方体边长等于球体的直径，即为2，所以OP长度为此正方体体对角线的一半，即为，故选B.5在三棱锥ABCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，ABC，ACD，ADB的面积分别为，则该三棱锥外接球的

12、表面积为()A2 B6 C4 D24B解题思路：依题意知解得而三棱锥ABCD可补成一个长方体，该三棱锥与该长方体的外接球是同一个球，故外接球的半径R，故S球表4R26，故选B.6已知正四棱锥SABCD中，SA2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为()A1 B. C2 D3C解题思路：如图，设正四棱锥SABCD的高为x，由题意，知x(0，2)则在直角SAO中，AO，在底面正方形ABCD中，AOAB，故ABAO，所以SABCDAB22(12x2)242x2，故该锥体的体积V(x)SABCDSO(242x2)x(24x2x3)，V(x)(246x2)82x2，令V(x)0，即82x20，解得x2.当

13、x(0,2)时，V(x)0，V(x)单调递增；当x(2,2)时，V(x)0，V(x)单调递减所以当x2时，V(x)取得最大值7(河南豫东、豫北十校测试三)在矩形ABCD中，AB4，BC2，且矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，若四棱锥OABCD的体积为8，则球O的半径R()A3 B. C2 D4D命题立意：本题考查锥体的体积计算、球的截面圆性质，难度中等解题思路：利用矩形求出截面圆的半径，再利用四棱锥的体积求出球心到截面圆的距离，根据勾股定理求球的半径因为矩形ABCD的对角线长为2，所以该矩形所在的截面圆的半径为r，又设球心O到截面圆的距离为h，则四棱锥OABCD的体积为42h8，解

14、得h1，所以球O的半径R4.8已知三棱锥OABC中，OA，OB，OC两两互相垂直，OC1，OAx，OBy，若xy4，则三棱锥OABC体积的最大值是()A1 B. C. D.C解题思路：体积为xy2.9如图，在三棱柱ABCABC中，点E，F，H，K分别为AC，CB，AB，BC的中点，G为ABC的重心从K，H，G，B中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为()AK BH CG DBC解题思路：假如平面PEF与侧棱BB平行，则和三条侧棱都平行，不满足题意，而FKBB，排除A.假如P为点B，则平面PEF即平面ABC，此平面只与一条棱AB平行，排除D；若P为点H，则HF为BAC的中位

15、线， HFAC；EF为ABC的中位线， EFAB，HE为ABC的中位线， HEBC，显然不合题意，排除B.若P为点G，EFAB，则EFAB，满足条件，故C正确二、填空题10(2013东北三省四市联考)如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥已知一个正六棱锥的各个顶点都在半径为3的球面上，则该正六棱锥的体积的最大值为_16解题思路：设球心到棱锥底面距离为x，则底面边长为，高为x3，V(9x2)6(x3)(x33x29x27)，其中0x3，V(3x26x9)0x22x30，解得x1或x3(舍)，VmaxV(1)(13927)16.11已知正三角形ABC三

16、个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是_命题立意：本题主要考查球及其截面性质等知识，意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及空间想象能力解题思路：由题意知，正三角形ABC的外接圆半径为，AB3，过点E的截面面积最小时，截面是以AB为直径的圆，截面面积S2.12(2013浙江杭州一模)如图，在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OAOBOC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为_S1S2S3解题思路：如图，取BC的中点D，连接AD，OD，设OAa，OBb，OCc，S1SAODOAOD，同理S2，S3，易得SS0，则S1S2.同理S2S3，因此S1S2S3.13已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，顶点A，B，C，D在半球的底面内，顶点A1，B1，C1，D1在半球的球面上，则此半球的体积是_解题思路：由题意可知球心应是正方形ABCD的中心，可求得球半径为，所以此半球的体积为r3.14