2022年2022年矩阵论习题课答案 .pdf

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1、习题课答案一1). 设A为n阶可逆矩阵 , 是A的特征值 , 则*A的特征根之一是(b )。(a) 1|nA (b) 1|A (c) |A (d) |nA2). 正定二次型1234(,)f x xxx的矩阵为 A，则 ( c )必成立 . ( )a A 的所有顺序主子式为非负数( )b A 的所有特征值为非负数( )c A 的所有顺序主子式大于零( )d A 的所有特征值互不相同3). 设矩阵11111A与000010002B相似 , 则,的值分别为 ( a )。(a) 0,0 (b) 0,1 (c) 1,0 (d) 1,1 二 填空题4)若四阶矩阵A与B相似，A的特征值为1 1 1 1,2

2、3 4 5，则1BE= 24 。5)设532644445A, 则100A= 10010010010010010010010010010010010010032(21)223312(23)4422 32(31)2(31)2(1 3)2 31三 计算题3. 求三阶矩阵1261725027的 Jordan 标准型解1261725027EA, 将其对角化为210001000(1) (1). 故A的若当标准形为100110001. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4

3、 页 - - - - - - - - - 4. 设A是 3 阶对称矩阵 , 且A的各行元素之和都是3, 向量0, 1,1,1,2,1TT是0AX的解 , 求矩阵A的特征值 ,特征向量 , 求正交阵Q和矩阵B使得TQ BQA依题意有011003121003111003A因而100301111 100312111 100311111 1A其特征多项式为2( ) |(3)fEA. 故特征值为120,3. 10, 解 特 征 方 程0AX得11,0,1TX,21,1,0TX. 特 征 向 量 为1122l Xl X. 23, 解特征方程(3)0EA X得31,1,1TX. 特征向量为33l X. 以上

4、123, ,l llR.把向量12,XX正交并单位化得111(,0,)22,2333,2222 2.把向量3X单位化得3111,333. 以123,作 为 列 向 量 作 成 矩 阵P, 则P为 正 交 矩 阵 且000000003TP APB.110223332 222 2111333TQP , 则Q满足TQ BQA. 5 解： A的行列式因子为33( )(2)D, 21( )( )1DD. 所以，不变因子为33( )(2)d, 21( )( )1dd，初等因子为3(2)，因而 A的 Jordan 标准形为21212J名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

5、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 8. 设 A是 n 阶特征值为零的若当块。证明，不存在矩阵A，使得 A2 = J 假设 A2 = J. 若 是 A的一个特征值 , 则 2是 A2 = J的特征值 . 而 J 的特征值只有0, 于是 A的特征值也只能为0. 考虑 A的 Jordan 标准型 , 其各 Jordan 块的特征值都是0, 易见 r(A) = n-Jordan块的个数 . 由 r(A) r(A 2) = r(J) = n-1, A只有一个 n阶 Jordan 块. 因此 A与

6、J 相似 , 进而有 J = A 2与 J2相似 . 但 r(J) = n-1 n-2 = r(J2), 矛盾 . 即不存在矩阵A使得 A2 = J. 9. 设 A,B 是 n 阶矩阵 , 证明 :AB 与 BA具有相同的特征值只需证明：若 是 AB的特征值 ，则 也是 BA的特征值 。分两种情况：(1) 0。由 是 AB的特征值 ，存在非 零向量 x 使得 ABx= x。所以BA(Bx)=B(ABx)=B( x)= Bx，且 Bx0（否则 x=ABx=0，得 =0，矛盾）。这说明Bx 是BA的对应于特征值 的 特征向量 ，特别地 也是 BA的特征值。(2) =0。此时存在非 零向量 x 使得

7、 ABx=x=0，所以 AB不满秩，知det(AB)=0 。从而det(BA)=det(AB)=0，BA不满秩，所以存在非零向量 x 使得 BAx=0=x。这说明=0 也是BA的特征值。证毕。10. 设 A 是数域F 上的n 维线性空间V 的一个线性变换, 设1,nVA使0,但是nA=0, 其中n1证明：21,nAAA是的一组基并且求线性变换在此基下的矩阵，以及的核的维数证明：1nnAA0,=0.令10110nnllAlA （）用1nA左乘（）式两边，得到10()0nlA由于1nA0，00l，带入（）得1110nnlAlA （）再用2nA左乘（）式两端，可得10l这样继续下去，可得到0110n

8、lll21,nAAA线性无关名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 21,)nAAAA(21,)nAAA(0000100001000010在此基下的矩阵为0000100001000010，可见 ,()1R An,dimker(1)1Ann即 A的核的维数为1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -