2022年2022年离散数学答案_-章 .pdf

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1、1 第一章部分课后习题参考答案16 设 p、q 的真值为 0；r、s 的真值为 1，求下列各命题公式的真值。（1）p(qr)0(01) 0 （2） （p? r）( qs) （0? 1）(1 1) 010. （3） （pqr ）? (pqr) （111） ? (0 00)0 (4) （r s）(p q) （01）(10) 001 17判断下面一段论述是否为真： “是无理数。并且，如果3 是无理数，则2也是无理数。另外 6 能被 2 整除， 6 才能被 4 整除。 ”答：p: 是无理数1 q: 3 是无理数0 r: 2是无理数1 s:6 能被 2 整除1 t: 6 能被 4 整除0 命题符号化为：

2、p(qr)(ts)的真值为 1，所以这一段的论述为真 。19用真值表判断下列公式的类型：（4）(pq) (qp) （5）(pr) (pq) （6）(pq) (qr) (pr) 答：（4）p q pq q p qp (pq)(qp) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式/最后一列全为 1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例）/最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例）/ 第二章部分课后习题参考答案3. 用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值

3、. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2 (1) (pqq) (2)(p(pq)(pr) (3)(pq)(pr) 答：(2)（p(pq)）(pr)(p(pq)(pr)ppqr1所以公式类型为永真式(3) Pq r pq pr （pq）(pr) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1

4、1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式4. 用等值演算法证明下面等值式：(2)(p q)(p r)(p (qr) (4)(p q)(pq)(pq) (pq)证明（ 2）(pq)(p r) (pq) (pr) p(qr) p(qr) （4）(pq)(pq)(p (pq) (q(pq) (pp)(pq)(qp) (qq) 1(p q)(pq)1 (pq)(pq) 5. 求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值(1)(pq)(qp) (2)(pq)qr (3)(p (q r) (p qr)解：（1）主析取范式(pq)(qp) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

5、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 3 (pq)(qp) (pq)(qp) (pq)(qp)(qp)(pq)(pq) (pq)(pq)(pq) 320mmm(0,2,3) 主合取范式： (pq) (qp) (pq)(qp) (pq)(qp) (p(qp)(q(qp) 1(pq) (pq) M1(1) (2) 主合取范式为：(p q)qr(pq)qr (pq)qr0 所以该式为矛盾式 . 主合取范式为 (0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范

6、式为：(p(qr) (pqr) (p(qr) (pqr) (p(qr)(pqr) (p(pqr)(qr)(pqr) 11 1 所以该式为永真式 . 永真式的主合取范式为 1 主析取范式为 (0,1,2,3,4,5,6,7) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 4 第三章部分课后习题参考答案14. 在自然推理系统 P中构造下面推理的证明： (2) 前提： pq,(qr),r 结论：p (4) 前提： qp,qs,st

7、,tr 结论： pq 证明： （2）(qr) 前提引入qr 置换qr 蕴含等值式r 前提引入q 拒取式pq 前提引入p 拒取式证明（ 4） ：tr 前提引入t 化简律qs 前提引入st 前提引入qt 等价三段论（qt ）(tq) 置换（qt ）化简q 假言推理qp 前提引入p 假言推理(11)pq 合取15 在自然推理系统 P中用附加前提法证明下面各推理：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 5 (1) 前提： p(

8、qr),sp,q 结论： sr 证明s 附加前提引入sp 前提引入p 假言推理p(qr) 前提引入qr 假言推理q 前提引入r 假言推理16 在自然推理系统 P中用归谬法证明下面各推理：(1) 前提： pq,rq,rs 结论：p 证明：p 结论的否定引入pq 前提引入q 假言推理rq 前提引入r 化简律rs 前提引入r 化简律rr 合取由于最后一步 rr 是矛盾式 , 所以推理正确 . 第四章部分课后习题参考答案3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化, 并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值 : (1) 对于任意 x, 均有错误！未找到引用源。 2=(x+错误！未找到引用源。

9、)(x 错误！未找到引用源。 ). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 6 (2) 存在 x, 使得 x+5=9. 其中(a) 个体域为自然数集合 . (b)个体域为实数集合 . 解：F(x): 错误！未找到引用源。 2=(x+错误！未找到引用源。)(x错误！未找到引用源。). G(x): x+5=9. (1) 在两个个体域中都解释为)(xxF，在（ a）中为假命题，在 (b) 中为真命题。(2) 在两个个体域中都

10、解释为)(xxG，在（ a）(b) 中均为真命题。4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解: (1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数命题符号化为 : )()(xHxFx(2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人命题符号化为 : )()(xHxFx5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快 . (3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解: (1)F(x): x是火车 ; G(x): x是轮船 ; H(x,y): x比 y 快命题符号化为 : ),()()(yxHyGxFyx

11、(2) (1)F(x): x是火车 ; G(x): x是汽车 ; H(x,y): x比 y 快命题符号化为 : ),()()(yxHxFxyGy9. 给定解释 I 如下: (a) 个体域 D为实数集合 R. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 7 (b) D中特定元素 错误！未找到引用源。 =0. (c) 特定函数 错误！未找到引用源。 (x,y)=x错误！未找到引用源。 y,x,yD错误！未找到引用源。 . (d

12、) 特 定 谓 词 错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 (x,y):x=y,错 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。(x,y):xy,x,yD. 说明下列公式在 I 下的含义 , 并指出各公式的真值 : (1),(),(yxFyxGyx(2),(),(yxGayxfFyx答:(1) 对于任意两个实数x,y, 如果 xy, 那么 xy. 真值 1. (2) 对于任意两个实数x,y, 如果 x-y=0, 那么 xy. 真值 0. 10. 给定解释 I 如下：（a） 个体域 D=N(N为自然数集合 ). （b） D 中特定元素 错误！未找到引用源。 =2. （c） D 上函数 错误！未找到引用源。

13、 =x+y, 错误！未找到引用源。(x,y)=xy. （d） D 上谓词 错误！未找到引用源。 (x,y):x=y. 说明下列各式在I 下的含义，并讨论其真值 . (1) 错误！未找到引用源。 xF(g(x,a),x) (2) 错误！未找到引用源。 x 错误！未找到引用源。 y(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x) 答:(1) 对于任意自然数x, 都有 2x=x, 真值 0. (2) 对于任意两个自然数x,y, 使得如果 x+2=y, 那么 y+2=x. 真值 0.11. 判断下列各式的类型 : (1) 错误！未找到引用源。(3) 错误！未找到引用源。 yF(x,y). 解:(1) 因

14、为1)()(pqppqp为永真式；所以错误！未找到引用源。为永真式；(3) 取解释 I 个体域为全体实数F(x,y) ：x+y=5 所以, 前件为任意实数x 存在实数 y 使 x+y=5，前件真；后件为存在实数x 对任意实数 y 都有 x+y=5，后件假， 此时为假命题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 8 再取解释 I 个体域为自然数 N，F(x,y) ：:x+y=5 所以, 前件为任意自然数x 存在自然数 y

15、使 x+y=5，前件假。此时为假命题。此公式为非永真式的可满足式。13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。(1) 错误！未找到引用源。 (F(x) 错误！未找到引用源。(2) 错误！未找到引用源。 x(F(x) 错误！未找到引用源。 G(x)错误！未找到引用源。H(x) 解:(1) 个体域 : 本班同学F(x) ：x 会吃饭 , G(x) ：x 会睡觉 . 成真解释F(x) ：x 是泰安人 ,G(x) ：x 是济南人 . （2）成假解释(2) 个体域 : 泰山学院的学生F(x) ：x 出生在山东 ,G(x):x出生在北京 ,H(x):x出生在江苏 , 成假解释 . F(x) ：x

16、 会吃饭 ,G(x) ：x 会睡觉 ,H(x) ：x 会呼吸 . 成真解释 . 第五章部分课后习题参考答案5. 给定解释如下 : (a) 个体域 D=3,4; (b)(xf错误！未找到引用源。 为3)4(, 4)3(ff错误！未找到引用源。(c)1)3 , 4()4, 3(,0)4, 4()3, 3(),(FFFFyxF为错误！未找到引用源。 . 试求下列公式在下的真值. (1),(yxyFx(3)(),(),(yfxfFyxFyx解:(1)4,()3,(),(xFxFxyxyFx)4,4()3, 4()4 ,3()3,3(FFFF1)01()10(2)(),(),(yfxfFyxFyx)4(

17、),()4 ,()3(),()3 ,(fxfFxFfxfFxFx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 9 )3),()4,()4),()3,(xfFxFxfFxFx)3),3()4 ,3()4),3()3, 3(fFFfFF)3),4()4,4()4),4()3,4(fFFfFF)3 ,4()4,3()4,4(0(FFF)3 , 3(0()4,3(1(FF) 11()00()00() 11(112. 求下列各式的前束

18、范式。(1),()(yxyGxxF(5),()(),(2121211xxGxxHxxFx (本题课本上有错误 ) 解:(1),()(yxyGxxF),()(ytyGxxF),()(ytGxFyx (5),()(),(2121211xxGxxHxxFx),()(),(2323211xxGxxHxxFx),()(),(2332411xxGxHxxxFx),()(),(2334121xxGxHxxFxx15. 在自然数推理系统F 中, 构造下面推理的证明 : (1)前提: )()()()(yRyGyFyxxF,)(xxF结论: xR(x) (2)前提: x(F(x) (G(a) R(x), 错误！未

19、找到引用源。 xF(x) 结论: 错误！未找到引用源。x(F(x) R(x) 证明(1) )(xxF前提引入F(c) EI )()()()(yRyGyFyxxF前提引入)()()(yRyGyFy假言推理(F(c) G(c) R(c) UI F(c) G(c) 附加R(c) 假言推理xR(x) EG 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 10 (2) xF(x) 前提引入F(c) EI x(F(x) (G(a) R(x) 前提引入F(c) (G(a) R(c) UI G(a)R(c) 假言推理R(c) 化简F(c) R(c) 合取引入x(F(x)R(x) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -