2022年2022年空间向量练习及答案解析 .pdf

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1、第 1 页 共 11 页空间向量练习一、选择题 (共 15 小题，每小题4.0 分,共 60 分 ) 1.已知平面的一个法向量是(2， 1,1)， ，则下列向量可作为平面的一个法向量的是()A (4,2， 2) B (2,0,4) C (2， 1， 5) D (4， 2,2)2.如图，过边长为1的正方形 ABCD的顶点 A 作线段 EA 平面 AC，若 EA1，则平面 ADE与平面 BCE所成的二面角的大小是()A 120 B 45 C 150 D 60 3.已知(1,2,3)，(2,1,2)， (1,1,2)，点 Q 在直线OP 上运动，则当 取得最小值时，点Q 的坐标为 ()A B C D

2、4.将正方形 ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD； ACD 是等边三角形；AB 与平面BCD 所成的角为60 ； AB 与 CD 所成的角为60 .其中错误的结论是()A B C D 5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中， AA1底面 ABC，AB BCAA1，ABC90 ，点E，F分别是棱 AB，BB1的中点，则直线EF和 BC1的夹角是 ()A 45 B 60 C 90 D 120 6.已知在空间四面体O ABC中，点 M 在线段 OA 上，且 OM2MA，点 N 为 BC中点，设a，b，c，则等于()Aa b c Babc C a bc Da bc

3、7.已知在棱长为2 的正方体ABCDA1B1C1D1中， E 是 DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，则AB1与 D1E所成角的余弦值为()A B C D 8.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中， M，N，P 分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，若B1MN90 ，则 PMN 的大小 ()A 等于 90 B 小于 90 C 大于 90 D 不确定9.如图， S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M，N 分别是AB 和 SC的中点， SA SB SC ，且 ASB BSC CSA 90 ，则异面直线SM与 BN 所成角的余弦值为()A B C D10.已知平面内两向量a(1,1

4、,1)，b(0,2， 1)且 cma nb(4， 4,1)若 c 为平名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 11 页面 的法向量，则m，n 的值分别为 ()A 1,2 B 1， 2 C 1,2 D 1， 211.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面 ABC，底面 ABC 是等腰直角三角形， ACB90 ，侧棱AA1 2，D，E 分别是CC1与 A1B 的中点，点E在平面 ABD 上的射影

5、是 ABD 的重心 G，则 A1B 与平面ABD 所成角的正弦值为()A 23B73C 32D 3712.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， ACB90 ， 2AC AA1BC2，若二面角B1DCC1的大小为 60 ，则 AD 的长为 ()A 2B 3C 2 D 2213.三棱锥 ABCD 中，平面ABD 与平面 BCD的法向量分别为n1， n2，若 n1，n23，则二面角ABDC的大小为 ()A3B23C3或23D3或314.已知 ? (1,5， 2)，? ? ? ? ? (3,1，z)，若 ? ? ? ? ? ? ，? ? ? (x1，y， 3)，且 BP 平面 ABC，则? ? ?

6、等于 ()A(407,157,-3)B (337,157,-3)C(-407,-157,-3)D(337,-157,-3)15.如图，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，点M，P，Q 分别为棱AB，CD，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面 D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A 1 B 2 C 3 D 4二、填空题 (共 6 小题，每小题4.0 分,共 24 分) 16.如图所示，已知正四面体A-BCD中， AE AB，CF CD，则直线DE 和 BF 所成角的余弦值为 _17.已知 a(3， 2， 3

7、)，b( 1，x1,1)，且 a 与 b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 _18.如图，平面PAD平面 ABCD ，ABCD 为正方形， PAD90 ，且 PAAD2，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与 BD所成角的余弦值为_19.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，且 AA1底面 ABC ，则点 B1到平面ABC1的距离为 _20.如下图所示， PD 垂直于正方形ABCD 所在平面， AB2， E 为 PB 的中点， cos? ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

8、 - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 11 页? ? ? ? 33，若以DA， DC，DP 所在直线分别为x，y， z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为_21.已知点 P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果? (2， 1， 4)，? (4,2,0)，? ? ? ? ? (1,2， 1)对于结论： APAB；APAD； ? ? ? ? ? 是平面 ABCD的法向量； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .其中正确的是 _三、解答题 (共 6 小题，每小题11.0 分,共 66 分 ) 22.如图所示，已知四棱锥

9、PABCD 的底面为直角梯形，ABDC，DAB90 ，PA底面 ABCD ，且 PAADDC12AB1，M 是 PB的中点(1)证明：面 PAD面 PCD ；(2)求 AC与 PB所成角的余弦值；(3)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的余弦值23.如下图所示，在三棱锥P ABC 中， PA 底面ABC， PAAB， ABC 60 ，BCA 90 ，点 D，E分别在棱 PB ， PC上，且 DEBC.(1)求证： BC平面 PAC；(2)当 D 为 PB的中点时，求AD 与平面 PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在点E ，使得二面角ADE P为直二面角？并说明理由24.如图，在棱长为2

10、的正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F 是棱 BC，CD 的中点，求： (1)直线 DF与 B1F 所成角的余弦值；(2)二面角 C1EF A 的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 11 页25.如图，在四棱锥SABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB 垂直于AD 和 BC，侧棱SB 平面ABCD ，且 SB ABAD1，BC2.(1)求 SA与 CD所成的角； (2)求平面 SC

11、D与平面 SAB所成的锐二面角的余弦值26.如下图，四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧棱A1A 底面 ABCD，AB DC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明 B1C1CE；(2)求二面角 B1CE C1的正弦值27.如下图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中， AB2，AA14， E为 BC的中点， F 为 CC1的中点 (1)求 EF与平面 ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角 FDEC的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

12、 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 11 页空间向量练习答案解析1.【答案】 D【解析】 ，的法向量与的法向量平行，又(4， 2,2)2(2， 1,1)，故选 D.2.【答案】 B【解析】以 A 为坐标原点，分别以AB，AD，AE 所在直线为x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则 E(0,0,1)， B(1,0,0)，C(1,1,0)，(1,0，1)，(1,1， 1)设平面 BCE的法向量为n(x，y， z)，则即可取 n(1,0,1)又平面 EAD 的法向量为(1,0,0)，所以cos n，故平面 ADE与平面 BCE所成

13、的二面角为45 .3.【答案】 C【解析】设 Q(x， y，z)，因 Q 在上，故有，设 ( R)，可得 x ，y ，z2 ，则 Q( ， ，2 )，(1 ，2 ，32 )，(2 ，1 ，22 )，所以6216 1062 ，故当 时，取最小值，此时Q.4.【答案】 C【解析】如图所示，取BD 的中点 O，以点 O 为坐标原点， OD，OA，OC 所在直线分别为x 轴，y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则 D(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以(0， 1,1)，(2,0,0)，0，故 ACBD.正确又|，|，|，所以 AC

14、D为等边三角形正确对于 ，为面 BCD的一个法向量，cos，.所以 AB 与 OA 所在直线所成的角为45 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 11 页所以 AB 与平面 BCD所成角为 45 .故 错误又 cos，.因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB 与 CD所成角为60 .故正确5.【答案】 B【解析】不妨设 ABBC AA11，则()，| |，|， () () ， cos， ， 60

15、 ，即异面直线EF与 BC1的夹角是60 .6.【答案】 B【解析】 () bca.7.【答案】 A【解析】A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，(0， 2,2)， (0,1,2)，|2，|，0242，cos，又异面直线所成角的范围是，AB1与 ED1所成角的余弦值为.8.【答案】 A【解析】A1B1平面 BCC1B1，故 A1B1MN，() 0， MPMN，即 PMN90 .9.【答案】 B【解析】不妨设SA SB SC 1，以 S 为坐标原点，所在直线分别为x 轴， y 轴， z轴，建立空间直角坐标系Sxyz ，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0

16、,1,0)， C(0,0,1)，S(0,0,0)，M，N.因为，所以 |，|，cos，因为异面直线所成的角为锐角或直角，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 7 页 共 11 页所以异面直线SM 与 BN 所成角的余弦值为.10.【答案】A【解析】cmanb(4， 4,1)(m，m， m)(0,2n， n)(4， 4,1)(m4，m 2n4，mn1)，由 c 为平面 的法向量，得即解得11.【答案】 A【解析】

17、侧棱与底面垂直，ACB90 ，所以分别以CA，CB，CC1所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴，建立如图空间直角坐标系，设 CACB a，则 A(a,0,0)， B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，E(?2,?2,1) ，G(?3,?3,13) ，? ? ? ? ? (?6,?6,23) ，? ? ? ? ? ? (0， a,1)，点 E在平面 ABD 上的射影是 ABD 的重心 G，? ? ? ? ? 平面 ABD，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0，解得 a 2，? ? ? ? ? (13,13,23) ，?1? (2， 2,2)，? ? ? ? ? 平面

18、ABD，? ? ? ? ? 为平面ABD的一个法向量，又 cos? ? ? ? ? ，?1? ? ?1? |? |?1? |4363223， A1B 与平面 ABD 所成角的正弦值为 23，故选 A.12.【答案】 A【解析】如下图，以C 为坐标原点， CA，CB，CC1所在的直线分别为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)设 AD a，则D 点坐标为 (1,0，a)，? (1,0，a)，?1? (0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为m(x，y，z)，则? ?1? = 0,? ? = 0?2? + 2?=

19、0,? + ? = 0,令 z 1，得 m(a,1，1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)，则由 cos 60 ?|?|? |，得1?2+112，即 a 2，故 AD 2.13.【答案】 C【解析】如图所示，当二面角ABDC 为锐角时，它就等于n1，n23；当二面角 ABDC为钝角时，它应等于 n1，n2 323.14.【答案】 D【解析】因为? ? ? ? ? ? ，所以? ? ? ? ? ? 0，即 1 35 1(2)z0，所以 z4，因为 BP平面 ABC，所以 ? ? ? ? ，且 ? ? ? ? ? ? ? ? ，即 1 (x1)5y(2) ( 3)0，名师资料总结 -

20、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 8 页 共 11 页且 3(x1)y(3) 40.解得 x407，y157，于是 ? ? ? (337,-157,-3) .15.【答案】 C【解析】因为 ?1? ?1? ? ?1? 12? ，?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? 12? ，所以 ?1? ?1? ，从而 A1MD1P，可得 正确又 B1Q 与 D1P不平行，故 不正确故选C.16.【答案】【解析】，所以 co

21、s，.17.【答案】B【解析】若两向量的夹角为钝角，则a b0，且 a 与 b 不共线，故3 (1)(2) (x1)(3) 10，且 x ，解得 x 2，且 x ，故选 B.18.【答案】【解析】以 A 为坐标原点， AB，AD， AP 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则 E(0,0,1)，F(1,2,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)(1,2，1)，(2,2,0)，故 cos，.19.【答案】 217【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则 A( 32,12,0) ，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则 ?1? ?

22、? ? ? ? ( 32,12,-1) ，?1?1? (0,1,0)，?1? ? ? ? (0,1， 1)，设平面 ABC1的一个法向量为n(x，y,1)，则有 ?1? ? ? ? ? ? ?= 32?+12?- 1 = 0,?1? ? ? ? ?= ?- 1 = 0.解得 n( 33,1,1) ，则所求距离为 |?1?1? ?|? |113+1+1217.20.【答案】 (1,1,1)【解析】设PDa(a0)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E(1,1,?2) . ? (0,0，a)， ? ? ? ? (-1,1,?2) ，cos? ，? ? ? ? 33，?22a2

23、 +?24 33，a2.E的坐标为 (1,1,1)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 11 页21.【答案】 【解析】由于 ? ? ? ? ? ? 1 2(1) 2(4) (1)0，? ? ? ? ? ? 4 ( 1)2 20 (1) 0，所以 正确22.【答案】因为PA AD，PA AB，ADAB，以 A 为坐标原点， AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A(0,0,0)，B(

24、0,2,0)， C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M(0,1,12) ，(1)? ? ? ? ? (0,0,1)，? (0,1,0)，故 ? ? ? ? ? ? 0， ? ? ? ? ? ? ， APDC，又由题设知： ADDC，且 AP与 AD 是平面 PAD内的两条相交直线，由此得 DC面 PAD，又 DC在面 PCD上，故面 PAD面 PCD ；(2)? ? ? ? ? (1,1,0)， ? ? ? (0,2， 1)，|? ? ? ? ? | 2，|? ? ? | 5，? ? ? ? ? ? ? ? 2，cos? ? ? ? ? ，? ? ? 105，由此得 AC与

25、PB所成角的余弦值为105；(3)在MC上取一点N(x，y，z)，则存在 R，使 ? ? ? ? ? ， ? (1x,1y，z)， ? ? ? ? (1,0, -12) ，x1 ， y1，z12 .要使 ANMC，只需? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0，即 x12z0，解得 45，可知当 45时， N 点坐标为 (15,1,25) ，能使? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0，此时， ? ? ? ? ? ? (15,1,25) ，? ? ? ? ? ? (15,-1,25) ，由? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0，得 ANMC，B

26、NMC， ANB 为所求二面角的平面角，|? ? ? ? ? ? | 305，|? ? ? ? ? ? | 305，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 45，cos? ? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? 23，故所求的二面角的余弦值为23.23.【答案】以A 为原点，? ，? ? ? ? ? 分别为 y 轴、 z 轴的正方向，过A 点且垂直于平面 PAB的直线为 x 轴，建立空间直角坐标系Axyz，设 PAa，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a，0)，C( 34?,34?, 0)，P(0,0，a)(1)? ? ? ? ? (0,0，a)，? ? ? ? ? ( 34

27、?, -?4,0) ，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ，BCAP，又 BCA90 ， BCAC， BC平面 PAC .(2)D 为 PB的中点， DEBC，E为 PC的中点， D(0,?2,?2) ， E( 38?,38?,?2) ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 10 页共 11 页由 (1)知， BC平面 PAC ，DE平面 PAC ，垂足为点E， D

28、AE是 AD 与平面 PAC所成的角，? (0,?2,?2) ，? ? ? ? (38?,38?,?2) ，cosDAE? ? ? ? ? |? ? ? ? |? |144，AD 与平面 PAC所成的角的正弦值为 24.(3)DEBC，又由 (1)知 BC平面 PAC ， DE平面 PAC，又 AE? 平面 PAC ，PE? 平面 PAC，DEAE，DEPE， AEP为二面角ADEP的平面角PA底面 ABC， PAAC， PAC 90 ，在棱 PC上存在一点E，使得 AEPC ，这时 AEP 90 ，故存在点 E，使得二面角ADEP是直二面角24.【答案】如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐

29、标系Axyz，则 D(0,2,0)，E(2,1,0)，F(1,2,0)，B1(2,0,2)，C1(2,2,2)，(1)因为 ? (2，1,0)，?1? (1,2， 2)，所以 cos ? ，?1? ? ? ? ? ? ? ?1? ? |? ? ? ? ? ? |?1? ? |-43 54 515，所以直线 DE与 B1F所成角的余弦值为4 515；(2)因为?1? ? ? ? ? ? ? (0， 1， 2)，? ? ? ? ? (1,1,0)，设平面 C1EF的一个法向量为n (x， y,1)，则由 ? ?1? ? ? ? ? ? ? = 0,? ? ? ? ? ? = 0,可得 -? -2

30、= 0,-? + ?= 0,解得 x y2，所以 n(2， 2,1)，又?1? (0,0,2)是平面 AEF的一个法向量，所以 cos?1? ，n?1? |? | ?1? |22313，观察图形，可知二面角C1EFA为钝角，所以二面角C1EFA的余弦值为13.25.【答案】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(0,0,0)， S (0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，? ? ? ? ? (1,0， 1)，? (1， 1,0)，因为 cos ? ? ? ? ? ，? ? ? ? ? ? |? ? ? ? |? |12，所以 SA与 CD所成的角为60 ；(

31、2)设平面 SCD的法向量为n1(x，y，z)，又? (0,2， 1)，?1 ? = 0,?1 ? = 0,所以 2?- ?= 0,? - ?= 0,令 x1，则 n1(1,1,2)，因为 BC平面 SAB ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 第 11 页共 11 页所以平面 SAB的一个法向量为n2(0,1,0)，cosn1，n2 66，所以平面 SCD与平面 SAB所成的锐二面角的余弦值为 66.26.【答

32、案】如下图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)易得 ?1?1? (1,0， 1)，? ? ? ? ? ( 1,1， 1)，于是 ?1?1? ? ? ? ? ? 0，所以B1C1CE；(2)?1? ? (1， 2，1)，设平面 B1CE的法向量 m(x，y，z)，则 ? ?1? ? = 0,? ? ? ? ? ? = 0,即?- 2?-? = 0,-? + ?- ? = 0,消去 x，得 y 2z0，不妨令 z1，可得一个法向量为m(3， 2,1)，由(1)，B1C1CE，

33、又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故 ?1?1? (1,0，1)为平面CEC1的一个法向量，于是cosm， ?1?1? ?1?1? |?| ?1?1|-4 14 22 77，从而sinm，?1?1? 217，所以二面角B1CEC1的正弦值为 217.27.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz，则 D(0,0,0)，A(2,0,0)， C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,2,0)，F(0,2,2) ，(1)? ? ? ? ? (1,0,2)，易得平面 ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，设? ? ? ? ? 与 n 的夹角为 ，则 cos ? ?|? |?|25 5，EF与平面 ABCD 所成的角的余弦值为2 55；(2)? ? ? ? ? (1,0,2)，? (0,2,2)，设平面 DEF的一个法向量为m，则 m? 0，m ? ? ? ? ? 0，可得 m(2， 1,1)，cosm，n?|?| ? | 66， 二面角 FDE C的余弦值为 66.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -