2022年高中数学 单元质量评估（二）新人教A版选修2-3.doc

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1、单元质量评估 (二)第二章一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014廊坊高二检测)袋中共放有6个仅颜色不同的小球,其中3个红球,3个白球,每次随机任取1个球,共取2次,则下列不可作为随机变量的是()A.取到红球的次数B.取到白球的次数C.2次取到的红球总数D.取球的总次数【解析】选D.因为随机变量具有不确定性,取球的总次数是2次,具有确定性,所以取球的总次数不可作为随机变量.故选D.2.(2014石家庄高二检测)若随机变量的分布列如下:-2-10123P0.10.20.20.30.10.1则当P(x)=0.8时,实数x

2、的取值范围是()A.x2B.1x2C.1x2D.1x2【解题指南】由离散型随机变量的概率分布列,寻找使得P(x)=0.8成立的x的范围即可.【解析】选C.由离散型随机变量的概率分布列知:P(-1)=0.1,P(0)=0.3,P(1)=0.5,P(2)=0.8,则当P(x)=0.8时,实数x的取值范围是1x2.3.设XB(10,0.8),则E等于()A.16B.18C.32D.64【解析】选B.因为XB(10,0.8),所以E(2X+2)=2E(X)+2=2100.8+2=18.4.(2014玉溪高二检测)随机变量YB(n,p),且E(Y)=3.6,D(Y)=2.16,则此二项分布是()A.B(

3、4,0.9)B.B(9,0.4)C.B(18,0.2)D.B(36,0.1)【解析】选B.因为随机变量YB(n,p),且E(Y)=3.6,D(Y)=2.16,所以除以得1-p=0.6,即p=0.4,代入解得n=9,所以此二项分布是B(9,0.4).故选B.5.(2014天水高二检测)100件产品,其中有30件次品,每次取出1件检验放回,连检两次,恰有一次为次品的概率为()A.0.42B.0.3C.0.7D.0.21【解题指南】设恰有一次为次品为事件A,根据100件产品,其中有30件次品,每次取出1件检验放回,连检两次,可求基本事件的个数,从而可求恰有一次为次品的概率.【解析】选A.由题意,设恰

4、有一次取出次品为事件A,则P(A)=0.42.故选A.6.对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测,不放回地依次摸出2件.在第一次摸出正品的条件下,第二次也摸到正品的概率是()A.B.C.D.【解题指南】结合条件概率公式P(B|A)=求解.【解析】选D.记“第一次摸出正品”为事件A,“第二次摸到正品”为事件B,则P(A)=,P(AB)=.故P(B|A)=.7.(2014郑州高二检测)某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为()A.10%B.

5、20%C.30%D.40%【解析】选D.由于数学成绩平均分为90,即正态分布曲线关于x=90对称,由P(120)=0.1,故P(90120)=0.4.8.小王通过某种英语测试的概率是,如果他连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是()A.B.C.D.【解析】选D.根据题意,小王连续测试3次,那么其中恰有1次获得通过的概率是=.9.(2014兰州高二检测)设XN(,2),当x在(1,3内取值的概率与在(5,7内取值的概率相等时,=()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.因为x在(1,3内取值的概率与在(5,7内取值的概率相等,所以得正态分布的图象关于直线x=4对称,结合正态分布的图象,故

6、=4.10.已知随机变量服从正态分布N(M,4),且P(-2)+P(0)=1,则M=()A.-2B.2C.1D.-1【解题指南】由对称性得图象关于x=M对称,结合题意得到P(0),从而得出-2和0关于直线x=M对称,利用中点坐标公式求出M的值.【解析】选D.因为P(-2)+P(0)=1,所以P(-2)=1-P(0),即P(0),由于随机变量服从正态分布N(M,4),曲线关于x=M对称,P(0)表明-2和0关于直线x=M对称,所以M=-1.11.(2013长沙高二检测)某市组织一次高三调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为f(x)=,则下列命题中不正确的是()A.该市这次考试的

7、数学平均成绩为80分B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D.该市这次考试的数学标准差为10【解析】选B.利用正态密度函数的表达式知=80,=10.故A,D正确,利用正态曲线关于直线x=80对称,知P(110)=P(50),即分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同,故C正确,故选B.12.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c(a,b,c(0,1),已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况),则ab的最大值为()A.B.C.D.【解析】选D.由已知,得3a+2b+0

8、c=2,得3a+2b=2,所以ab=3a2b=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中的横线上)13.(2014北京高二检测)设是一个离散型随机变量.(1)若B(n,p),且E(3+2)=9.2,D(3+2)=12.96,则n,p的值分别为、.(2)若的分布列如表,则E()=.-101P1-3a2a2【解题指南】(1)由题意可得:E(3+2)=3E()+2=9.2,D(3+2)=9D()=12.96,再结合E()=np,D()=np(1-p),进而求出答案.(2)由+(1-3a)+2a2=1,可得a=,再结合离散型随机变量的期望公式可得答案.【解析】(1)因为B

9、(n,p),所以E()=np,D()=np(1-p).因为E(3+2)=9.2,D(3+2)=12.96,所以E(3+2)=3E()+2=9.2,D(3+2)=9D()=12.96,所以E()=2.4,D()=1.44.所以由解得:n=6,p=0.4.(2)因为+(1-3a)+2a2=1,所以a=(舍去)或a=.所以E()=-1+0+2=.答案:(1)60.4(2)14.(2014徐州高二检测)设离散型随机变量XN(0,1),则P(X0)=;P(-2X2)=.【解析】由已知,得=0,=1,所以P(X0)=0.5,P(-2X2)=P(-2X+2)=0.9544.答案:0.50.954415.(2

10、014福州高二检测)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为,得到乙、丙两公司面试机会的概率均为p,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试机会的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望E(X)=.【解析】1-=.因为P(X=0)=(1-p)2,所以p=1-=.随机变量X的可能取值为0,1,2,3,因此P(X=0)=,P(X=1)=+2=,P(X=2)=2+=,P(X=3)=,因此E(X)=0+1+2+3=.答案:16.(2014南通高二检测)已知随机变量只取a,1这两个值,且P(=a)=a,则当E()取

11、最小值时D()等于.【解题指南】首先分析的分布列,可以表示出期望,得到关于字母a的二次函数,根据二次函数求出期望的最小值和对应的a的值,再根据方差公式直接求得方差.【解析】因为随机变量只取a,1这两个值,且P(=a)=a,0a1,所以P(=1)=1-a,所以E()=a2+1-a=+,所以当a=时,E()取最小值,所以此时D()=+=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为X(单位:小时),已知XN(1000,302),要使灯泡的平均寿命为1000小时的概率为99.74%,问灯泡的最低寿命应控制在多

12、少小时以上?【解析】因为XN(1000,302),所以=1000,=30.所以P(1000-330X1000+330)=P(910X1090)=99.74%.所以灯泡的最低寿命应控制在910小时以上.18.(12分)商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布N(10,0.12)(单位:kg).任选一袋这种大米,质量在9.810.2kg的概率是多少?【解析】因为大米的质量服从正态分布N(10,0.12),要求质量在9.810.2kg的概率,需化为(-2,+2)的形式,然后利用特殊值求解.由正态分布N(10,0.12)知,=10,=0.1.所以质量在9.810.2kg的概率为P(10-20.11,求

13、实数的取值范围.【解题指南】(1)总的基本事件数为,事件A,可从三类中任取一类,再从该类的3个中任取2个,然后再从其余两类的6个中任取1个,由分步计数原理可得种数,进而可得概率.(2)可能的取值为2,3,4,5,6,分别求其概率可得分布列;易求得期望E(),进而可得E(),由E()1可得关于的不等式,解之可得.【解析】(1)当n=3时,即从9根中抽取3根,故总的基本事件数为,事件A,可从三类中任取一类共种,再从该类的3个中任取2个共种,然后再从其余两类的6个中任取1个共种,故总共种,故P(A)=.(2)由题意可知:可能的取值为2,3,4,5,6,同(1)的求解方法可得:P(=2)=,P(=3)

14、=,P(=4)=,P(=5)=,P(=6)=,故的分布列为:23456PE()=2+3+4+5+6=4.因为=-2+1,所以E()=-2E()+1=-42+1,因为E()1,所以-42+11,解得0.21.(12分)(2013天津高考)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.【解题指南】(1)根据组合数原理求出符合条件的取法及总取法,再

15、求概率.(2)根据随机变量X所有可能取值列出分布列,求数学期望.【解析】(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)=.所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为.(2)设随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.所以随机变量X的分布列是X1234P随机变量X的数学期望为1+2+3+4=.【变式训练】某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量值落在(495,510的产品为合格品,否则为不合格品.图1是甲流水线样本频率

16、分布直方图,表1是乙流水线样本频数分布表.产品质量(克)频数(490,4956(495,5008(500,50514(505,5108(510,5154表1:(乙流水线样本频数分布表)(1)求从甲流水线上任取一件产品为合格品的频率.(2)若以频率作为概率,试估计从甲流水线上任取5件产品(看作有放回抽样),求其中合格品的件数X的数学期望及其方差.(3)从乙流水线样本的不合格品中任意取2件,求其中超过合格品质量的件数Y的分布列及期望.【解析】(1)由图1知,甲样本中合格品的频率为(0.06+0.09+0.03)5=0.9,(2)据此可估计从甲流水线上任取一件产品该产品为合格品的概率p=0.9,则X

17、B(5,0.9),故E(X)=4.5,D(X)=0.45.(3)由表1知乙流水线样本中不合格品共10个,超过合格品质量的有4件;则Y的取值为0,1,2;且P(Y=k)=(k=0,1,2),于是有:P(Y=0)=,P(Y=1)=,P(Y=2)=,所以Y的分布列为Y012PE(Y)=0+1+2=.22.(12分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.(1)假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望.(2

18、)试验时每大块地分成8小块,即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm2)如下表:品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?【解题指南】(1)先根据古典概型结合排列组合的知识求分布列,再利用公式求数学期望.(2)先求平均数,再求方差,最后下结论.【解析】(1)X可能的取值为0,1,2,3,4,且P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=.即X的分布列为X01234PX的数学期望为E(X)=0+1+2+3+4=2.(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:=(403+397+390+404+388+400+412+406)=400,=32+(-3)2+(-10)2+42+(-12)2+02+122+62=57.25.品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:=(419+403+412+418+408+423+400+413)=412,=72+(-9)2+02+62+(-4)2+112+(-12)2+12=56.由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.- 11 -