2022年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似 .pdf

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1、1 第五章图形的相似与解直角三角形第一节图形的相似与位似,怀化七年中考命题规律) 年份题型题号考查点考查内容分值总分2016解答21 相似三角形的判定以正方形为背景判断两个三角形相似8 8 2015解答21 相似三角形判定以圆为背景，判断两个三角形相似8 解答22 相似三角形的判定与性质的综合相似三角形、勾股定理、二次函数的综合应用8 16 2014填空11 相似三角形的判定与性质相似三角形的预备定理的应用3 3 2013解答18 相似三角形的判定利用两个角分别对应相等来判定两个三角形相似6 6 2012解答21 相似三角形的判定以圆为背景判定两个三角形的相似10 10 2011选择6 相似三

2、角形的判定与性质相似三角形的预备定理的应用3 解答21 相似三角形的判定与性质以锐角三角形硬纸片为背景，证三角形相似对应线段成比例10 13 命题规律纵观怀化七年中考，图形的相似共考查 8 次，题型考查比较全面，考查题目既有难度中偏低的题，也有难度中偏高的综合应用题，位似图形七年中都名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 2 没有考查命题预测预计 2017年怀化中考仍会对本节内容作重点考查，应加强训练 . , 怀化七年中

3、考真题及模拟)相似三角形的判定与性质(8 次) 1( 2011 怀化中考 ) 如图所示： ABC 中，DE BC ，AD 5，BD 10，AE 3，则 CE的值为 ( B) A9 B6 C3 D4 ( 第 1 题图 ) ( 第 2 题图 ) 2( 2014 怀化中考 ) 如图， D，E分别是 ABC的边 AB ，AC上的中点，则SADESABC_14 _3 (2013 怀化中考 ) 如图，已知在 ABC 与DEF 中， C54， A47， F54， E79，求证：ABC DEF.证明：在DEF 中， D180EF 180 79 54 47， CF 54， AD47， ABC DEF. 4( 2

4、011 怀化中考 ) 如图，ABC是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边 BC上的高， BC 40 cm，AD 30 cm.从这张硬纸片剪下一个长HG是宽 HE 的 2 倍的矩形EFGH.使它的一边EF 在 BC 上，顶点G，H 分别在AC ，AB名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 3 上 AD与 HG的交点为M. (1) 求证：AMADHGBC；(2) 求这个矩形EFGH的周长解：(1) 四边形EFGH为矩形， EFG

5、H ， AHG ABC ，又 HAG BAC ，AHG ABC ，AMADHGBC；(2) 设 HE x，则HG 2x，AM ADDM AD HE 30 x，由 (1)AMADHGBC得：30 x302x40，解得x 12，2x24，矩形 EFGH的周长为： 2(12 24) 72(cm) 5( 2012 怀化中考 ) 如图，已知AB是O 的弦， OB 4，OBC 30，点 C是弦 AB上任意一点 ( 不与点 A，B重合 ) ，连接 CO并延长 CO交O 于点 D，连接 AD ，DB. (1) 当ADC 18时，求 DOB的度数；(2) 若 AC 23，求证 ACD OCB.解： (1) 连接

6、AO ，则OAC OBC 30， OAD ADC 18， DAC 30 18 48， DOB 2DAC 96； (2) 过点 O作 AB的垂线，垂足为G，在RtOGB中，OB 4，OBC 30， OG 2，GB 23，AC 23，点 C与 G重合， ACD BCO 90，又ACOCCDCB3， ACD OCB. 6( 2015 怀化中考 ) 如图，已知RtABC中， C90， AC 8，BC 6，点 P 以每秒 1 个单位的速度从A 向C运动，同时点Q以每秒 2 个单位的速度从ABC 方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为 t s. (1) 在运动过程中，求P，Q两点间距离的

7、最大值；(2) 经过 t s的运动，求 ABC 被直线 PQ扫过的面积S与时间 t 的函数关系式；(3)P ，Q两点在运动过程中，是否存在时间t ，使得 PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t 值；若不存在，请说明理由(52.24 ，结果保留一位小数) 解： (1) 如图，过Q作 QE AC 于 E，连接 PQ ， C90， QE BC ， ABC AQE ，AQABAEACQEBC，C90， AC 8，BC 6， AB 10， AQ 2t ，APt ，2t10t PE8QE6， PE 35t ，QE 65t ， PQ2QE2PE2， PQ 355t ，当 Q与 B 重合时， PQ的值最大，

8、当t 5 时，PQ的最大值 35；(2) 如图， ABC被直线PQ扫过的面积SAQP，当 Q在 AB边上时， S12AP QE 12t 65t 35t2(0t 5)；当 Q在 BC边上时， ABC被直线PQ扫过的面积S四边形 ABQP， S四边形 ABQPS ABCSPQC128612(8t) (16 2t) t216t 40(5t 8)经过 t s的运动 ， ABC被直线PQ扫过的面积S 与时间t 的函数关系式：S35t2（0t 5），t216t 40（5t8）；(3)略名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心

9、整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 4 7( 2015 怀化学业考试指导)如图，在68网格图中，每个小正方形边长均为1，点 O和ABC的顶点均在小正方形的顶点上(1) 以 O为位似中心，在网格图中作ABC，使 ABC和ABC位似，且位似比为12；(2) 连接 (1) 中的 AA，求四边 形 AA CC 的周长 ( 结果保留根号 ) 解： (1 ) 图略； (2)4 62. 8( 2016 怀化学业考试指导) 如图，在四边形ABCD中，AC 平分DAB ， ADC ACB 90， E 为 AB 的中点(1) 求证： AC2AB AD ；(

10、2) 求证： CE AD ；(3) 若 AD 4，AB 6，求ACAF的值解：(1) AC 平分DAB ， DAC CAB ， ADC ACB 90， ADC ACB ，AD ACAC AB ， AC2 AB AD； (2) E为AB 的 中 点 ， CE AE， EAC ECA， DAC CAB， DACECA. CE AD ；(3) CE AD ，AFD CFE ，ADCE AF CF.CE 12AB ，CE1263. AD 4，43AFCF，ACAF74. 9( 2016 原创 ) 如图，在 ABC 中，AB AC ， B30， BC 8，D 在边 BC 上， E 在线段DC上， DE

11、4，DEF是等边三角形，边DF交边 AB于点 M ，边 EF交边 AC于点 N. (1) 求证： BMD CNE ；(2) 当 BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切解：(1) 在 ABC 中，ABAC ， BC，又 DEF 为等边三角形，FDE FED 60， MDB NEC 120， BMD CNE ；(2) 过 M作 MH BC 于 H，以 M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切， MH MF ，设 BD x， DEF为等边三角形，FDE 60， DE DFEF 4， B30， BMD FDE B60 30 30 B， DM BD x，MH MF DFMD 4x，又sinMD

12、H sin60MHMD4xx32， x1683. 即当 BD为 1683时，以 M为圆心， MF为半径的圆与BC相切名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5 , 中考考点清单 ) 比例的相关概念及性质1线段的比：两条线段的比是两条线段的_长度_之比2比例中项：如果abbc，即 b2_ac_，我们就把b 叫做 a、c 的比例中项3比例的性质性质 1 abcd? _ad_bc(a 、b、c、 d 0)性质 2 如果abcd

13、，那么abbcdd性质 3 如果abcdmn(bd n0)，则ac mbd n_mn( 不唯一 )_ 4. 黄金分割：如果点C 把线段 AB分成两条线段，使ACAB_BCAC_，那么点C 叫做线段AC的_黄金分割点_，AC是 BC与 AB的比例中项， AC与 AB的比叫做 _黄金比 _相似三角形的判定及性质5定义：对应角_相等 _，对应边 _成比例 _的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比6性质：(1) 相似三角形的 _对应角 _相等；(2) 相似三角形的对应线段( 边、高、中线、角平分线) 成比例；(3) 相似三角形的周长比等于_相似比 _，面积比等于 _相似比的平方 _

14、7判定：(1)_ 有两角 _对应相等，两三角形相似；(2) 两边对应成比例且_夹角 _相 等，两三角形相似；(3) 三边 _对应成比例 _，两 三角形相似；(4) 两直角三角形的斜边和一条直角边_对应成比例 _，两直角三角形相似【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：(1) 条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定(1) ；(2) 条件中若有一对等角，可再找一对等角 用判定 (1) 或再找夹边成比例 用判定 (2)；(3) 条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4) 条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；(5) 条件中若有等腰条件，可找顶角相等，可找一个底角相等

15、，也可找底和腰对应成比例【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知ABC DEF ，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案如：ABBCDEEF，此式正确那么想一想，哪种情况是错误的呢？请举例说明相似多边形8定义：对应角_相等 _，对应边 _成比例 _的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比9性质：(1) 相似多边形的对应边_成比例 _；(2) 相似多边形的对应角_ 相等_；(3) 相似多边形周长的比_等于 _相似比，相似多边形面积的比等于_相似比的平方 _位似图形10定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，

16、那么这样的两个图形叫做 _位似图形 _，这个点叫做 _位似中心 _，相似比叫做位似比11性质：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 6 (1) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于_k 或 k_；(2) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于_位似比 或相似比 _12找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点

17、即是_位似中心 _13画位似图形的步骤：(1) 确定 _位似中心 _；(2) 确定原图形的关键点；(3) 确定 _位似比 _，即要将图形放大或缩小的倍数；(4) 作出原图形中各关键点的对应点；(5) 按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点, 中考重难点突破) 比例的性质【例 1】已知a5b4c3，且 3a2bc20，则 2a4bc 的值为 _【学生解答】6 【点拨】设a5b4c3k(k 0)，用含k 的式子表示a、b、c，代入等式3a2bc20 求出 k 的值，再求出a、b、c 的值代入可求1( 2015 贵州中考 ) 已知c4b5a60，则bca的值为 _32_相似三角形的判定与性质【例 2

18、】如图， M为线段 AB的中点， AE与 BD交于点 C， DME AB ，且 DM交 AC于点 F，ME交 BC于点 G. (1) 写出图中两对相似三角形并证明其中的一对；(2) 连接 FG ，如果 45， AB 42，AF 3，求 FG的长【学生解答】解： (1) AMF BGM ，DMG DBM ， EMF EAM( 写出两对即可 ) 以下证明 AMF BGM.理由如下： DME AB， AMF BMG 180 ， AAMF AFM 180， AMF AFM 180 ， AFM BMG ， AMF BGM ；(2) 当 45时，可得AC BC ，且 AC BC ，M为 AB的中 点 ，

19、AM BM 22， 又 AMF BGM， AFAMBMBG， BGAM BMAF2222383， 又AC BC42cos45 4， CG 48343，CF 431， FG CF2CG212（432）53. 【点拨】 (1) 两角对应相等的两个三角形是相似三角形；(2) 由相似三角形性质求BG 的长，由AB 的长可求AC 、BC的长，在RtFCG中由勾股定理求FG的长2( 2016 泸州中考 ) 如图，矩形ABCD的边长 AD3，AB2，E 为 AB的中点， F 在边 BC上，且 BF2FC ，AF名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

20、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 7 分别与 DE ，DB相交于点 M ，N，则 MN的长为 ( B) A.225B.9220C.324D.425,( 第 2 题图 ) ,( 第 3 题图) 3( 2016 广安中考 ) 如图，三个正方形的边长分别为2，6，8，则图中阴影部分的面积为_21_位似图形【例 3】( 2015 怀化模拟 ) 如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点 O在坐标原点，边OA在 x 轴上， OC在 y轴上，如果矩形OA BC与矩形OABC关于点 O位似，且矩形OA BC的面积等于矩形OA

21、BC 的面积的14，那么点 B的坐标是 ( ) A( 2，3) B(2 ， 3) C(3 ， 2) 或( 2，3) D( 2，3) 或(2， 3) 【学生解答】D【点拨】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA BC.4( 2016 烟台中考 ) 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，点 A，B，E在 x 轴上，若正方形BEFG的边长为 6，则 C点坐标为 ( A) A(3 ，2) B(3 ，1) C(2 ，2) D(4 ，2) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -