2022年七年级有理数知识点及典型例题 .pdf

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1、1.1 有理数【知识点清单】（一）学习温故小学里学过的数可分为三类: 、和，它们都是由于实际需要而产生的。（二）正数1、正数：大于0 的数叫做正数。如：2，0.6 ，37，正数都比0 要。2、正数的表示方法：在正数前面加上一个“”，读作“正”号。如：3，1110，1.9，其中“”号可以省略。（三）负数1、负数：在正数前面加上一个“”号，这样的数叫做负数。如：2，0.6，37，负数都比0 要。2、负数的表示方法：一个负数前的“”号不可以省略。3、0 既不是正数也不是负数。4、正数和负数的意义在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有_的意义。如：如果80m表示向东走80m ，那么-60m 表示

2、： _。（四）有理数1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数。2、有理数的分类【经典例题：】例 1：把下列各数分别填在题后相应的集合中：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 25，0，1，0.73 ， 2，5，87，52.29，+28，27，8，-311，-3.5，102.3，-35，1（1）整数集合： （2）负整数集合： （3）负分数集合： （4）自然数集合： （5）非负数集合： 例 2：在下面每个集合中任意写出3

3、 个符合条件的数：例 3：下列选项中均为负数的是（）A2，1.9 ，0B0.3，5，3.3C19，1,0.6D6，80，4.0例 4：下列说法中正确的是（）A. 整数又叫自然数 B. 0是整数 C. 一个数不是正数就是负数 D. 0不是自然数例 5：下列说法正确的个数是（）。一个有理数不是整数就是分数；一个有理数不是正数就是负数；一个整数不是正的就是负的；一个分数不是正的就是负的。A 1 B2 C3 D4 例 6：把下列各数填在相应的集合中：数轴1.2 【学习目标】一、认识数轴1、数轴的三要素：, _, _。正数集负数集整数集自然数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

4、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2、用原点表示，在原点的左边，在原点的右边画数轴要注意：画直线. 在直线上取一点作为原点. 确定正方向，并用箭头表示. 根据需要选取适当单位长度. 说明： 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示【目标检测】1判断下列数轴是否正确2. 在数轴上，原点及原点右边的点表示的数是（）A负数B正数C整数D非负数3与原点的距离为2 个单位的点有 _个，它们分别表示_和_4如图，数轴上的点A，B 分别表示数 1 和 2，点 C 是线段 AB 的中点，

5、则点 C?表示的数是 _5如图，写出数轴上A，B，C，D，E 各点表示的数6画出数轴，并在数轴上标出表示下列各数的点：80， 60，40，0，60，80，100二、 数轴上的点与有理数之间的关系1所有的有理数都可以用_上的点来表示，且所有正数的对应点都在数轴上原点的_，所有负数的对应点都在数轴上原点的_2观察数轴可以知道，下列语句正确的是（）A 1是最小的正有理数B1 是最大的负有理数C0 是最大的非正的整数D有最小的正整数和最小的正有理数3一个点从数轴上表示_的点开始，向右移动5 个单位，到达表示3 的点处4数轴上，从10 到 32 共有 _个奇数点5?在数轴上， ?与表示数 3 的点的距离

6、为4 个单位长度的点所表示的数是_三、数轴上比较有理数的大小（1）在数轴上表示的数，_边的数总比 _边的数大（2）负数 _ _0_ _ 正数（填 ）结论： 如果 a 表示正数，则可以用a0 表示，当 a 是负数？则可以用_表示 . 当堂测试1大于 -3 小于 2 的所有整数是 _2下列说法正确的个数有（）所有的有理数都能在数轴上找到唯一的对应点数轴上每一个点都表示有理数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 0是最小的

7、有理数 21， 10 A1 个B2 个C3 个D0 个3下图是5 个城市的国际标准时间（单位：时），那么北京时间2007 年 6 月 17?日上午 9 时应是（）A伦敦时间2007 年 6 月 17 日凌晨 1 时B纽约时间2007 年 6 月 17 日晚上 22 时C多伦多时间2007 年 6 月 16 日晚上 20 时D汉城时间2007 年 6 月 17 日上午 8时4比较 - 0.3，-，-12的大小，正确的是（） A -0.3-12 B-0.3-12 C-12-0.3- D-12-0.3 5如图，在数轴上有A，B，C 三点（1）将点 B 向左平移 3 个单位后，三个点所表示的数哪个最小

8、？是多少？（2）将点 A 向右平移 4 个单位后，三个点所表示的数哪个最小？是多少？（3）将点 C 向左平移 6 个单位后，这时点B 表示的数比点C 表示的数大多少？（4）怎样移动A，B，C 中的两个点，才能使三个点表示的数相同？有几种移法？6利用数轴求下列点所表示的数（1）一个点从原点开始，先向左移2 个单位，再向右移3 个单位，到达终点所表示的数为_（2）一个点从 -2 开始，先向左移3 个单位，再向左移4 个单位，到达终点所表示的数为_（3）一只蝈蝈在数轴上跳动，先从点A 处向左跳3 个单位到点B，然后由点B?向右跳 4 个单位到点C，若点 C 所表示的数为1，则点 A 所表示的数为 _

9、（4）一只小鸟落在数轴上，先向右跳2 个单位，再向左跳3 个单位，终点所表示的数为0，则小鸟的初始位置点 A 所表示的数是_1.3 绝对值【知识点归纳】1数轴：规定了_、_、_的一条直线叫做_. 2 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的； 正数大于， 负数小于， 正数大于一切。3. 相反数： 如果两个数只有_不同，那么称其中一个数为另一个数的_,也称这两个数 _. 特别地， 0的相反数是 _。4. 绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫该数的。如： +2的绝对值是 2，记作 |+2|=2 2的绝对值是 2，记作 | 2|=2 归纳：正数的绝对值是_；负数的绝对值是_；零的绝对值是_

10、 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - a（a0），用式子表示： |a|= 0（_），a（_）.例1 求下列各数的绝对值： - 1.5， 1.5， - 6 ， +6， - 3， 3, 0. 5. 比较两负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。归纳：比较两负数的大小的步骤： 1.分别求出两负数的_；2. 比较这两个数的绝对值大小；3. 根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”作出判断。例2 比较下列每组数的大

11、小（1） -7 和 3；（2）-3.1 和 -2.7 解： （1） | 7|=_,|3|=_,7 3 解：（2）_ 6.非负数的性质 ：几个非负数的和为0，就是每一个非负数为0。例：若 |a|+|b|=0 ，则0, 0 ba例3 已知 |a1|+|b+ 3|=0 ，则a=_，b=_。当堂测试一、选择题1.(2012 汕头中考 ) -5 的绝对值是( ) A.5 B.-5 C.D.-2.(2012 丽水中考 ) 如图 , 数轴的单位长度为1, 如果点 A,B 表示的数的绝对值相等, 那么点 A表示的数是( ) A.-4 B.-2 C.0 D.4 3. 如果 |a|=-a,那么 a 的取值范围是(

12、 ) A.a0 B.a0y, 则 x=_,y=_. 6. 现定义某种新运算 : 对任意两个有理数a,b, 有 ab= |b|,如 23= |3|=3= ,4 (-2)=|-2|=2= . 计算 :3 (-6)=_. 三、解答题7. 已知 a-2 +b-3 =0, 求 a+2b 的值. 8. 北京航天研究院所属工厂, 制造“神舟十号”运载火箭上的一种螺母, 要求螺母内径可以有0.02mm的误差 , 抽查 5 个螺母 , 超过规定内径的毫米数记作正数, 没有超过规定内径的毫米数记作负数, 检查结果如下： +0.010, -0.018, +0.006, -0.002, +0.015. (1) 指出哪

13、些产品是合乎要求的?( 即在误差范围内的) (2) 指出合乎要求的产品中哪个质量好一些, 哪个质量稍差一些? 1.4 有理数的加减混合运算【知识点归纳】1、有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加。（2）异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数同零相加仍得这个数。2、有理数的加法同样拥有交换律和结合律) 用字母表示为 : （1）交换律 :a+b=b+a ；（2）结合律 :a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)。3、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。（1）两变：减法运算

14、变加法运算，减数变成它的相反数。（2）不变：被减数不变。可以表示成：ab=a+（b）。当堂测试一、选择题1、绝对值不大于10 的所有整数的和等于（）A.10 B.0 C.10 D.20 2、若有两个有理数的和为正数，则下列结论正确的是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - A.两个数都是正数B.两个数都是负数C.至少有一个数是正数D.以上结论都不对3、如果0ba，0b，那么baba,的大小关系为（）A.babaB.

15、baabC.babaD.abba4、（ 2006.南京）某地今年1 月 1 日至 4 日的每天的最高气温与最低气温如下表日期1 月 1 日1 月 2 日1 月 3 日1 月 4 日最高气温5404最低气温0243其中温差最大的一天是（）A. 1 月 1 日B. 1 月 2 日C. 1 月 3 日D. 1 月 4 日5、将)2()7()3(6写成省略加号的和的形式应是（）A.2736B.2736C.2736D.2-7-366、baba，则 a、b 的关系为（）A.a、b 的绝对值相等B. a、b 异号C. a+b 的和是非负数D. a、b 同号或其中至少有一个为零二、填空1、把)8()7()5(

16、3写成省略括号的和的形式_ 2、若 a0 并且ba，则 a+b_0. 3、温度 3比5高_ 4、若0523zyx，则 x+y+z=_, xyz=_. 5、绝对值大于3 而小于 8 的所有整数的和_. 6、已知 m 是 6 的相反数， n 比 m 的相反数小2，则nm=_ 三、应用1、计算：（1）)32(1531（2）107)8()56()12(（3）)5.1(2.0)1.2()2 .1(8.1（4）)5.5()75.2()41()5.0(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

17、 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 2、出租车司机小李某天下午营运全是东西走向的人民大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天下午车里程（单位：km），记录如下 : 6,5,4,12,2, 3,1015215，（1）将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远？（2）若汽油耗油量为a L/km，这天下午小李营运共耗油多少升？1.5 有理数的乘法【知识点归纳】1、有理数的乘法法则(1) 乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0 相乘，积仍为0. (2) 两个有理数相乘的步骤：先确定积的符号；再求出积的绝对值 (3) 多个有理

18、数的乘法几个不等于0 的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正几个有理数相乘，有一个因数为0，结果就是0；反之，若几个数的积为0，则至少有一个因数为0. 【例 1】 计算： (1)(4)(5)；(2)(0.75)(1.2)；(3) 290.3；(4)017；(5) 112113 114 115116. 2. 倒数：如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

19、 - - 第 8 页，共 13 页 - - - - - - - - - 0 没有倒数；互为倒数的两个数的符号相同，即正数的倒数是正数，负数的倒数是负数；若两个数互为倒数，则它们的乘积为1；倒数等于它本身的数是1 和 1. 【例 2】 填空： (1)76的倒数是 _；0.2 的倒数是 _；(2)倒数是 4 的数是 _3有理数的乘法运算律(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变用字母表示为：abba. (2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变用字母表示为：(ab) ca(bc)(3)乘法对加法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个

20、数相乘，再把积相加用字母表示为：a(bc)abac. 【例 3】 计算： (1)(8)9(1.25) 19；(2) 1145612(12)；(3)5.372(3) 5.372(17)5.3724；(4)2434352.5(8)；(5)1112795183661.433.936. 4与绝对值、相反数、倒数有关的混合运算根据已知的与绝对值、相反数、倒数有关的条件，进行有关的综合计算，其步骤是：(1)利用条件，先求出有关字母的数值或有关式子的数值； (2)将所求的式子变形，使其符合上述条件；(3)将条件代入变形后的式子，按照规定的运算进行计算【例 4】 已知 a 与 b 互为倒数， c 与 d 互为

21、相反数， m 的绝对值是4，求 m(cd) ab3m 的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 1.6 有理数的除法【知识点归纳】1. 有理数的除法法则1 (1)除法法则1：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何不为0 的数都得 0. 注意： 0 不能作除数；除法法则1与有理数的乘法法则相类似，都是先确定运算结果的符号，再确定绝对值(2)两个有理数相除的步骤：先确定商的符号；求出商的绝对值【

22、例 1】下面的计算中，正确的有( )(800) (20) (800 20) 40；0 (2 013)0；(18) (6) (18 6)3；(0.72) 0.9 (0.72 0.9) 0.8. ABCD2有理数的除法法则2 除法法则2：除以一个数等于乘这个数的倒数，即a ba1b(b0)【例 2】 计算：(1) 28291129；(2)(1) (2.25)7. 乘法对加法的分配律在除法中的应用(1)几个数的和除以一个数方法：先把除法转化为乘法；根据乘法对加法的分配律：a (bc)a ba c 进行计算(2)一个数除以几个数的和方法：先交换被除数与除数的位置，即把形如a b 的算式先写成b a；转

23、化为乘法，根据乘法对加法的分配律进行计算；求出商的倒数，即为原式的结果【例 3】 计算：131419112136. 【例 4】 计算： 501413112. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 1.7 有理数的乘方【知识点归纳】 1 乘方的意义(1)乘方的定义求 n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂如图，a 叫做底数， n 叫做指数， an读作： a的 n 次幂 (a 的 n 次方 )乘方是一种

24、特殊的乘法运算(因数相 同)，幂是乘方运算的结果；乘方的底数是相同因数，指数是相同因数的个数(2)乘方的意义：an表示 n 个 a 相乘即 annaaaaa个. 如： (2)3(2)(2)(2)表示 3 个(2)相乘【例 1】 填空： (1)式子(1.2)10，其中底数是 _，指数是 _(2)120137111777个写成乘方的形式是_ _，2乘方运算的符号法则乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算如：3333327. 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；0 的奇次幂、偶次幂都是0.【例 2】 下列说法不正确的是( )A(2)2 013是负数B4200是正

25、数C0 的任何次幂 (指数不为0)都等于它本身D 1的 38 次幂等于它的相反数【例 3】 计算：(1)(2)4；(2)34；(3)453；(4) 1232；(5)274；(6)(1)2 014. 【例 4】 下列说法正确的有( )负数的平方是负数；正数的平方是正数；平方是它本身的数是0 和 1； 1 的立方等于它本身； 1 的平方等于它的倒数；任何一个有理数的平方都是非负数A3 个B4 个C5 个D2 个【例 5】若 x，y 为有理数，且 (5x)4|y5|0，则2013yx的值为 ( )A1 B 1 C2 D 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

26、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 1.8 科学记数法【知识点归纳】1科学记数法定义：一般地，一个大于10 的数可以表示成a10n(1a10，n是正整数 )的形式，这种记数的方法叫做科学记数法【例 1】 用科学记数法表示下列各数：(1)3 400 000；(2)98 120 000；(3)23 458.2；(4)960 万【例 2】 若 97 000 000 用科学记数法表示为a10n，则 a_，n_. 2把科学记数法表示的数还原【例 2】 若一个数用科学记数法表示为1.754105，则

27、原数为 _【例 3】 下面用科学记数法表示的数，原来是什么数？(1)赤道长约4104千米；(2)按 365 天计算一年有3.153 6107秒【例 4】 “天上星星有几颗，7 后跟上 22 个 0”，这是国际天文学联合大会上宣布的消息，用科学记数法表示宇宙空间星星颗数为( )A7001020B71023 C0.71023D710221.9 有理数的混合运算【知识点归纳】 1 有理数的混合运算(1)有理数混合运算：一个算式中含有加、减、乘、除、乘方运算中的两种以上的运算，就是有理数的混合运算如： 42(1 7) 63( 5)33 (2)3. (2)混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减如

28、果有括号，先算括号里面的【例 1】 计算：(1)0.252123(1)2 013(2)2(3)2；(2) 122122()12 013112 0.523 119. 2混合运算中的简便运算技巧有理数的混合运算要注意运用运算律简化运算运算律有：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律解题时要根据题目特征，灵活选择名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - - - - - - - 【例 2】 计算：747871278 83. 【例 3】7521

29、-21275-75211【例 4】 某个家庭为了估计自己家6 月份的用电量， 对月初的一周每天电表的读数进行了记录，上周日电表的读数是115 度以后每日的读数如下表(表中单位：度)，请你估计6 月份大约用多少度电星期一二三四五六日电表的读数118122127133136140143 【例 5】观察下列解题过程：计算： 155253 524525的值.解：设 S155253 524525，（1）则 5S 55253 525526（2）（2）（ 1），得 4S5261 S41526通过阅读，你一定学会了一种解决问题的方法，请用你学到的方法计算：（1）133233 39310 （2）1xx2x3 x99x100名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -