2022年第讲函数与方程 .pdf
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1、普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 1 页 共 14 页高三新 数学第一轮复习教案(讲座6)函数与方程一课标要求:1结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的联系;2根据具体函数的图像,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。二命题走向函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点,特别是“二分法”求方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看,十分注重对三个“二次”(即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的考察力度,同时也研究了它的许多重要的结论,并付诸应用。高考试题中有近一半的试题
2、与这三个“二次”问题有关。预计 2008 年高考对本讲的要求是:以二分法为重点、以二次函数为载体、以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。(1)题型可为选择、填空和解答;(2)高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题,同时考察函数方程的思想。三要点精讲1方程的根与函数的零点(1)函数零点概念:对于函数)(Dxxfy,把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。函数零点的意义:函数)(xfy的零点就是方程0)(xf实数根,亦即函数)(xfy的图象与x轴交点的横坐标。 即:方程0)(xf有实数根函数)(xfy的图象与x轴有交点函数)(xfy有零点。二次函数)0(2acb
3、xaxy的零点:),方程02cbxax有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点,二次函数有两个零点;),方程02cbxax有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点;),方程02cbxax无实根,二次函数的图象与x轴无交点,二次函数无零点。零点存在性定理:如果函数)(xfy在区间,ba上的图象是连续不断的一条曲线,并且有0)()(bfaf,那么函数)(xfy在区间),(ba内有零点。既存在),(bac,使得0)(cf,这个c也就是方程的根。2. 二分法二分法及步骤:对于在区间a,b上连续不断, 且满足)(af)(bf0的函数)(xfy,通过不断
4、地把函数)(xf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 2 页 共 14 页的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法给定精度,用二分法求函数)(xf的零点近似值的步骤如下:(1)确定区间a,b,验证)(af)(bf0,给定精度;(2)求区间a(,)b的中点1x;(3)计算)(1xf:若)(1xf=0,则1x就是函数的零点;若)(
5、af)(1xf0,则令b=1x(此时零点),(10 xax) ;若)(1xf)(bf0,f(x) 在区间p,q上的最大值M,最小值m,令x0=21 (p+q) 。若ab2p,则f(p)=m,f(q)=M;若pab2x0,则f( ab2)=m,f(q)=M;若x0ab2q,则f(p)=M,f( ab2)=m;若ab2q,则f(p)=M,f(q)=m。(3)二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。方程f(x)=0 的两根中一根比r大,另一根比r小af(r)0 ;名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
6、整理 - - - - - - - 第 2 页,共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 3 页 共 14 页二次方程f(x)=0 的两根都大于r0)(,2,042rfarabacb二次方程f(x)=0 在区间 (p,q) 内有两根; 0)(,0)(,2, 042pfaqfaqabpacb二次方程f(x)=0 在区间 (p,q) 内只有一根f(p) f(q)0,或f(p)=0( 检验 ) 或f(q)=0( 检验 ) 检验另一根若在 (p,q) 内成立。四典例解析题型 1:方程的根与函数零点例 1 (1)方程 lgx+x=3的解所在区间为()A(0
7、 ,1) B (1,2) C(2 ,3) D(3 ,+) (2)设a为常数,试讨论方程)lg()3lg()1lg(xaxx的实根的个数。解析:(1)在同一平面直角坐标系中,画出函数y=lgx与y=-x+3的图象 ( 如图 ) 。它们的交点横坐标0 x,显然在区间 (1,3) 内,由此可排除A,D至于选B还是选C,比较0 x与2 的大由于画图精确性的限制,单凭直观就比较困难了。实际上这是要小。当x=2时, lgx=lg2 ,3-x=1。由于 lg2 1,因此0 x2,从而 判 定0 x (2 ,3) ,故本题应选C。(2)原方程等价于xaxxxaxx)3)(1(00301即31352xxxa构造
8、函数)31 (352xxxy和ay,作出它们的图像,易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得:当31a或413a时,原方程有一解;当4133a时,原方程有两解;当1a或413a时,原方程无解。点评:图象法求函数零点,考查学生的数形结合思想。本题是通过构造函数用数形结合法求方程x0321321oyxXY12341234025xay名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 4 页
9、共 14 页lgx+x=3 解所在的区间。数形结合,要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计,而且还要计算0 x的邻近两个函数值,通过比较其大小进行判断。例 2 (2005 广东 19)设函数( )f x在(,)上满足(2)(2)fxfx,(7)(7)fxfx,且在闭区间 0,7上,只有(1)(3)0ff。()试判断函数( )yf x的奇偶性;()试求方程( )f x=0在闭区间 2005,2005上的根的个数,并证明你的结论。解析:由f(2 x)=f(2+x),f(7 x)=f(7+x)得函数)(xfy的对称轴为72xx和, 从而知函数)(xfy不是奇函数 , 由)14()4()14()(
10、)4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf, 从而知函数)(xfy的周期为10T又0)7(, 0)0()3(fff而, 故函数)(xfy是非奇非偶函数; (II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf(III) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(ffffff故f(x) 在0,10和 10,0 上均有有两个解, 从而可知函数)(xfy在0,2005上有 402个解 ,在 2005.0 上有 400 个解 , 所以函数)(xfy在 2005,2005
11、 上有 802 个解。点评:解题过程注重了函数的数字特征“(1)(3)0ff” ,即函数的零点,也就是方程的根。题型 2:零点存在性定理例 3 (2004 广东 21)设函数( )ln()f xxxm,其中常数m为整数。(1)当m为何值时,( )0f x;(2)定理:若函数( )g x在 , a b上连续,且( )g a与( )g b异号,则至少存在一点0( , )xa b,使得0()0g x试用上述定理证明:当整数1m时,方程( )0f x在2,mmem em内有两个实根。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精
12、心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 5 页 共 14 页解析: (1)函数f(x)=xln(x+m),x( m,+) 连续,且mxxfmxxf1,0)(,11)(得令当x( m,1m)时,f(x) f(1 m) 当x(1 m, + )时,f(x)0,f(x) 为增函数 ,f(x)f(1 m) 根据函数极值判别方法,f(1m)=1m为极小值,而且对x( m, + ) 都有f(x) f(1 m)=1m 故当整数m 1 时,f(x) 1m 0 (2) 证明:由( I )知,当整数m1时,f(1 m
13、)=1-m1时,), 1121(032)12(2213)11(3)(222归纳法证明上述不等式也可用数学mmmmmmmmemefmmm类似地,当整数m1 时,函数f(x)=x-ln(x+m), 在,1memm上为连续增函数且f(1-m) 与)(2mefm异号,由所给定理知,存在唯一的0)(,1 22xfmemxm使故当 m1时,方程f(x)=0 在,2mememm内有两个实根。点评:本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。例 4若函数)(xfy在区间 a,b 上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是()A若0)()(bfaf,不存在
14、实数),(bac使得0)(cf;B若0)()(bfaf,存在且只存在一个实数),(bac使得0)(cf;C若0)()(bfaf,有可能存在实数),(bac使得0)(cf;D若0)()(bfaf,有可能不存在实数),(bac使得0)(cf;解析:由零点存在性定理可知选项D 不正确;对于选项B,可通过反例“)1)(1()(xxxxf在区间2,2上 满 足0)2()2(ff, 但 其 存 在 三 个 解 1 ,0 , 1” 推 翻 ; 同 时 选 项A可 通 过 反 例“)1)(1()(xxxf在区间2,2上满足0)2()2(ff,但其存在两个解 1 , 1” ;选项 D正确,见实例“1)(2xxf
15、在区间2 ,2上满足0)2()2(ff,但其不存在实数解” 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 14 页 - - - - - - - - - 普通高中课程标准实验教科书数学人教版 第 6 页 共 14 页点评:该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。题型 3:二分法的概念例 5关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是()A“二分法”求方程的近似解一定可将)(xfy在a,b 内的所有零点得到;B“二分法”求方程的近似解有可能得不到)(xfy在a,b 内的零
16、点;C应用“二分法”求方程的近似解,)(xfy在a,b 内有可能无零点;D“二分法”求方程的近似解可能得到0)(xf在a,b 内的精确解;解析:如果函数在某区间满足二分法题设,且在区间内存在两个及以上的实根,二分法只可能求出其中的一个,只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解,二分法的实施满足零点存在性定理,在区间内一定存在零点,甚至有可能得到函数的精确零点。点评:该题深入解析了二分法的思想方法。例 6方程0)(xf在0 ,1 内的近似解,用“二分法”计算到445. 010 x达到精确度要求。那么所取误差限是()A0.05 B0.005 C0.0005 D0.00005 解析:由四舍五入的
17、原则知道,当)4455. 0,4445. 010 x时,精度达到445.010 x。此时差限是0.0005 ,选项为C。点评:该题考察了差限的定义,以及它对精度的影响。题型 4:应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解例 7借助计算器,用二分法求出xx32)62ln(在区间( 1,2)内的近似解(精确到0.1 ) 。解析:原方程即023)62ln(xx。令23)62ln()(xxxf,用计算器做出如下对应值表x 2 1 0 1 2 f(x) 2.5820 3.0530 27918 1.0794 4.6974 观察上表,可知零点在(1,2)内取区间中点1x=1.5 ,且00.1)5.1(f,从而
18、,可知零点在(1,1.5 )内;再取区间中点2x=1.25 ,且20.0)25.1(f,从而,可知零点在(1.25 ,1.5 )内;同理取区间中点3x=1.375 ,且0)375.1(f,从而,可知零点在(1.25 ,1.375 )内;由于区间( 1.25 ,1.375 )内任一值精确到0.1 后都是 1.3 。故结果是1.3 。点评:该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程,通过本题学会借助精度终止二分法的过程。例 8借助计算器或计算机用二分法求方程732xx的近似解(精确到1.0) 。分析: 本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外,你是否还可以想到有什名师资料总结 -
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