2022年强化训练北师大版九年级数学下册第二章二次函数同步测试练习题(精选).docx

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1、北师大版九年级数学下册第二章二次函数同步测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图1所示，DEF中，DEF90，D30，B是斜边DF上一动点，过B作ABDF于B，交边DE（或边EF）于点A，

2、设BDx，ABD的面积为y，图2是y与x之间函数的图象，则ABD面积的最大值为（ ）A8B16C24D482、二次函数的顶点坐标是（ ）ABCD3、抛物线的图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：；的最大值为3；方程有实数根其中正确的为（ ）ABCD4、如图，抛物线yax2+bx+c交x轴分别于点A（3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C下列结论：2ab0；a+b+c0；当m1时，abam2+bm；当ABC是等腰直角三角形时，a；若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x1上的动点P与B、D两点围成的PBD周长最小值为3+10其中，正确的个数为（）A2个B3个C4个D5个5、关

3、于二次函数y=-（x -2）23，以下说法正确的是（ ）A当x-2时，y随x增大而减小B当x-2时，y随x增大而增大C当x2时，y随x增大而减小D当x2时，y随x增大而增大6、抛物线y = a + bx + c的对称轴是（ ）Ax=Bx = - Cx =Dx = - 7、某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（ ）A21元B22元C23元D24元8、对于任何实数，抛物线与抛物线的相同点是（ ）A形状与开口方向相同B对称轴相同C顶点相同D都有最低

4、点9、抛物线的对称轴为直线（ ）ABCD10、已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线yax2+4ax+c（a0）上两点，且x1x2，则下列说法正确的是（）A若x1+x24，则y1y2B若x1+x24，则y1y2C若a（x1+x24）0，则y1y2D若a（x1+x24）0，则y1y2第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到的抛物线为，则_，_2、定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B恰好

5、是抛物线的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是_3、将抛物线y（x+1）23向右平移1个单位，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为_4、抛物线的顶点坐标是_5、二次函数（h、k均为常数）的图象经过A（2，y1）、B（0，y2）、C（2，y3）三点，若y2y1y3，则h的取值范围是_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系中，抛物线y3ax210axc分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，且OBOC6（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，连接BC，过点P作BC的垂线交x轴于点D，连接CD，设BCD

6、的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E，连接EO、EC、ED，且EOC45，点N在第一象限内，连接DN，点G在DE上，连接NG，点M在DN上，NMEG，在NG上截取NHNM，连接MH并延长交CD于点F，过点H作HKFM交ED于点K，连接FK，若FKGHKD，GK2MN，求点G的坐标2、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点在第三象限的抛物线上，直线经过点、点，点的横坐标为（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，直线交轴于点，过点作轴，交轴于点，交抛物线于点，过点作，交直线于点

7、，求线段的长；（3）在（2）的条件下，点在上，直线交于点，点在第二象限，连接交于点，连接，点在的延长线上，点在直线上，且点的横坐标为5，连接，求点的纵坐标 3、如图，已知二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3）对称轴为直线x1（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；（2）连结BC，求的面积；（3）当y3时，则x的取值范围为 4、某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨2元，就会少售出20件玩具（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x40），请你分别用x的代数

8、式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件） 销售玩具获得利润w（元） （2）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于400件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少元？5、如图，抛物线经过两点，且与轴交于点（1）求该抛物线的函数表达式；（2）抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由；（3）点为的中点，若有一动点自点处出发，沿直线运动至轴上的某点(设为点)，再沿直线运动至该抛物线对称轴上的某点(设为点)，最后又沿直线运动至点

9、，则点运动的总路程最短为_(请直接写出答案)-参考答案-一、单选题1、C【分析】由图得点A到达点E时，面积最大，此时，由三角函数算出AB，由三角形面积公式即可求解【详解】由图可得：点A到达点E时，面积最大，此时，故选：C【点睛】本题考查二次函数图像问题以及解直角三角形，由题判断点A运动到哪里能使面积最大是解题的关键2、B【分析】将解析式化为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标【详解】解：二次函数的顶点坐标是故选B【点睛】本题主要考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）3、D【分析】根据抛物线的对

10、称性与过点，可得抛物线与轴的另一个交点为可判断，再依次判断可判断，由对称轴为直线，可判断，由函数与的图象有两个交点，可判断，从而可得答案.【详解】解： 抛物线的图象过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为： 则 故符合题意； 抛物线与轴交于正半轴，则 则 故不符合题意； 对称轴为直线， 当时， 故不符合题意；当时，则 而函数与的图象有两个交点， 方程有实数根故符合题意；综上：符合题意的是：故选D【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断的符号以及代数式的符号，函数的最值，方程的根”是解本题的关键.4、C【分析】根据二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，两

11、点之间线段最短一一判断即可【详解】解：抛物线yax2+bx+c交x轴分别于点A（3，0），B（1，0），a+b+c0，故正确；对称轴为直线x1，1，2ab0，故正确；由图象可知，当x1时，y有最大值，最大值ab+c，m1，ab+cam2+bm+c，abam2+bm，故正确，A（3，0），B（1，0），AB4，ABC是等腰直角三角形时，C（1，2），可设抛物线的解析式为ya（x+1）2+2，把（1，0）代入得到a，故正确，如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，此时BDP的周长最小，最小值PD+PB+BDPD+PA+BDAD+BD，AD3，BD，PBD周长最小值为3，故错误故选：C【点睛】

12、本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想，属于中考常考题型5、C【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案【详解】解：，抛物线开口向下，对称轴为x=2，顶点坐标为（2，3），二次函数的图象为一条抛物线，当x2时，y随x的增大而减小，x2时，y随x增大而增大C正确，故选：C【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）6、D【分析】根据抛物线对称轴的计算公式判断【详解】抛物线y = a + bx + c的对称轴是x = -

13、 ，故选D【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，熟练抛物线对称轴的计算公式是解题的关键7、B【分析】设每天的销售利润为 元，每件的定价为 元，则每件的利润为元，平均每天售出件， 根据每天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，即可求解【详解】解：设每天的销售利润为 元，每件的定价为 元，则每件的利润为元，平均每天售出件， 根据题意得： ， 当 时， 最大，即每件的定价为22元时，每天的销售利润最大故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键8、A【分析】根据抛物线的图象与性质即可解答；【详解】解：对于任何实数，抛物线与抛物线的相同点是形状与开口

14、方向相同，抛物线的对称轴是y轴，顶点是原点，有最高点（0，0）；抛物线的对称轴是直线x=h，顶点是（h，0），有最高点（h，0）；故选：A【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，属于基础题目，熟练掌握抛物线的图象与性质是关键9、A【分析】先把抛物线化为顶点式的形式，再进行解答即可【详解】解：抛物线y=x2+4x-8可化为y=（x+2）2-12，抛物线的对称轴是直线x=-2故选：A【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键二次函数的顶点式为，则抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为(，) 10、C【分析】先求出抛物线的对称轴为，然后结合二次函数的开口方向，判断二次函数的增减

15、性，即可得到答案【详解】解：抛物线yax2+4ax+c，抛物线的对称轴为：，当点P1（x1，y1），P2（x2，y2）恰好关于对称时，有，即，x1x2，；抛物线的开口方向没有确定，则需要对a进行讨论，故排除A、B；当时，抛物线yax2+4ax+c的开口向下，此时距离越远，y值越小；a（x1+x24）0，点P2（x2，y2）距离直线较远，；当时，抛物线yax2+4ax+c的开口向上，此时距离越远，y值越大；a（x1+x24）0，点P1（x1，y1）距离直线较远，；故C符合题意；D不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行分析二、

16、填空题1、1 【分析】先求得每个抛物线的顶点坐标，根据抛物线如何平移，顶点就如何平移可得-b+1=0，即可求得b、c的值【详解】解：抛物线顶点坐标为（-b，）抛物线，的顶点坐标为（0，0）将抛物线向上平移2个单位，再向右平移1个单位后得到的抛物线为，-b+1=0，b=1，c=故答案为：1，【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换关键是利用抛物线如何平移，顶点就如何平移2、【分析】先求出B点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公式即可求出答案【详解】解：B直线与y轴的交点，B点坐标为（0，3），B是抛物线的顶点，抛物线解析式为，解得或，直线与抛物线的两个交

17、点坐标为（0，3），（1，2），抛物线关于直线y的割距是，故答案为：【点睛】本题主要考查了求一次函数与y轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数图像的性质，熟知相关知识是解题的关键3、【分析】根据题意直接利用二次函数平移规律即“上加下减，左加右减”的原则进行分析即可得出平移后解析式【详解】解：将抛物线y（x+1）23向右平移1个单位，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为，化简得：.故答案为：.【点睛】本题考查二次函数图象的平移与几何变换，熟练掌握并利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减进行分析是解题的关键4、【分析】利用配方法把函数解析式化为顶点式，求出顶点坐标

18、即可【详解】解：（x1）2+1，顶点坐标是；故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，化一般式为顶点式是解题的关键，注意数形结合思想的应用5、【分析】首先判定出二次函数开口向上，对称轴为，然后根据二次函数的增减性求解即可【详解】解：二次函数（h、k均为常数），二次函数开口向上，对称轴为，图象经过A（2，y1）、B（0，y2）、C（2，y3）三点，由y2y1y3可得，点A离对称轴比点B离对称轴远，点C离对称轴比点A离对称轴远，解得：故答案为：【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质三、解答题1、（1）；（2）；（3）【分析】（1）待定系数法求二次

19、函数解析式即可；（2）分类讨论，过点作轴于点,当点在轴正半轴时，当点在轴负半轴时，求得根据即可求得;（3）延长至，使得，连接，求得点的坐标，证明是等腰直角三角形，设，设，则，证明，进而证明四边形是正方形，延长至，使，则，进而证明四边形是平行四边形，求得，分别过作轴的垂线，垂足为，根据平行线的分线段成比例和相似三角形的性质求得点的坐标【详解】解：（1），抛物线y3ax210axc分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，解得，抛物线的解析式为；（2）如图，过点作轴于点,当点在轴正半轴时， 抛物线的解析式为,点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，则,，,是等腰直角三角形即是等腰直角

20、三角形当在轴负半轴时，如图，综上所述：（3）如图，延长至，使得，连接，到轴的距离相等，且在第二象限，即点在上，解得在线段的垂直平分线上，设，则解得是等腰直角三角形，又设，则即，三点共线设，则，在与中又即是等腰直角三角形在四边形中，在与中四点共圆在与中四边形是矩形又四边形是正方形如图，延长至，使，则又四边形是平行四边形四边形是正方形如图，分别过作轴的垂线，垂足为解得【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积问题，三角形相似的性质与判定，第三问中证明四边形是正方形是解题的关键2、（1）抛物线的解析式为：；（2）；（3）点N的纵坐标为5【分析】（1）根据题意可得

21、一次函数图象经过A、D两点，所以当及当时，可确定A、D两点坐标，然后代入抛物线解析式求解即可确定；（2）根据题意当时，代入抛物线解析式确定点P的坐标，求得，然后求出直线与y轴的交点T，利用勾股定理确定，由平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质即可得出结果；（3）过点P作轴，且，即，利用相似三角形的性质可确定，求出直线GF的函数解析式，过点M作轴，设且，可求得MF的长度，设直线MP的函数解析式为：，将点，代入即可确定点的坐标，求出，根据题意即可确定点，设点R、点N在如图所示位置：过点N作轴，过点M作，过点R作，利用相似三角形及勾股定理即可得出结果【详解】解：（1）经过A、D两点，当时，解得，当

22、时，将A、D两点代入抛物线解析式可得：，解得：，抛物线的解析式为：；（2）当时，解得：，直线解析式，当时，在RtAOT中，轴，轴，AOTDQP，即；（3）如图所示：过点P作轴，且，即，FGOFPS，设直线GF的函数解析式为：，可得：，解得：，直线GF的函数解析式为：，过点M作轴，设且，即，设直线MP的函数解析式为：，将点，代入可得：可得：，解得：，点，解得：，点，设点R、点N在如图所示位置：过点N作轴，过点M作，过点R作，NMINRJ，设，则，代入化简可得：，联立求解可得：，点N的纵坐标为5【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定和性质，

23、勾股定理，锐角三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键3、（1）yx2+2x+3，（1，4）；（2）6；（3）x0或x2【分析】（1）将点A，C坐标代入函数解析式然后求解方程组即可确定函数解析式，然后将对称轴代入即可得顶点坐标；（2）连接BC，AC，由点及对称轴为，可确定点B的坐标，得出，结合图形，即可计算三角形面积；（3）当时，求解一元二次方程，然后结合图象即可得出满足时的解集【详解】解：（1）将点A，C坐标代入函数解析式可得：，解得：，当时，抛物线顶点坐标为（1，4）；（2）如图所示，连接BC，AC，点及对称轴为，点，SABC=12ABOC=1243=6；（3）当y3时，

24、解得：或，抛物线开口向下，结合图象可得：时，或，故答案为：或【点睛】题目主要考查一元二次函数与图形的结合，包括利用待定系数法确定函数解析式，所围成的三角形面积，二次函数与方程的关系等，理解题意，作出相应辅助线，结合图象，综合运用二次函数的性质是解题关键4、（1）100010x，10x2+1300x30000；（2）最大利润为12000元【分析】（1）根据销售量y60020(x40)2，再根据利润销售量每件的利润，即可解决问题（2）首先根据题意确定自变的取值范围，再根据二次函数的性质，即可解决问题【详解】解：（1）y60020(x40)2100010x，w(100010x)(x30)10x2+1

25、300x30000故答案为100010x，10x2+1300x30000（2）w10x2+1300x3000010(x65)2+12250，100010x400，x60，44x60，-100，对称轴是直线x=65，此时y随x的增大而增大，当x60时，最大利润为：w10(6065)2+12250=12000元【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，搞清楚销售量与售价之间的关系，学会构建二次函数解决最值问题，注意自变量的取值范围，属于中考常考题型5、（1）；（2）存在，点P的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）分两种情况：当C为直角顶点时，

26、过点C作CPBC，交抛物线于点P，过点P作PHy轴于H，得到PH=CH，设P（），则，求出a即可；当B为直角顶点时，过点B作BPBC，交抛物线于点P，交y轴于R，过点P作PGy轴于G，求出OB=OR=3，PG=RG，设P（），则，求出a即可；（3）当点E与点O重合时，点P运动的路径最短，作点E关于抛物线对称轴的对应点为T，连接CT交对称轴于点F，则点P运动的路径为ME+EF+CF，由轴对称求出T（2,0），勾股定理求出CT，即可求出点P运动的路径ME+EF+CF=ME+CT得到答案【详解】解：（1）将代入，得，解得，该抛物线的函数表达式是；（2）存在当C为直角顶点时，过点C作CPBC，交抛物线

27、于点P，过点P作PHy轴于H，OB=OC，BOC=90，BOC为等腰直角三角形，BCO=45，PCH=45，PHC为等腰直角三角形，即PH=CH，设P（），则，解得（舍去），此时，P（1,4）；当B为直角顶点时，过点B作BPBC，交抛物线于点P，交y轴于R，过点P作PGy轴于G，CBO=45，GPR=OBR=45，PRG为等腰直角三角形，OB=OR=3，PG=RG，设P（），则，解得（舍去），此时，P（-2，-5）；综上，点P的坐标为（1,4）或（-2，-5）；（3）当点E与点O重合时，点P运动的路径最短，如图，作点E关于抛物线对称轴的对应点为T，连接CT交对称轴于点F，则点P运动的路径为ME+EF+CF，抛物线的对称轴为直线x=1，T（2,0），C（0,3），点P运动的路径ME+EF+CF=ME+CT=，故答案为：【点睛】此题考查了二次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，抛物线的对称轴，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，最短路径问题，综合掌握各知识点是解题的关键