2022年一元二次函数的图像和性质—讲义 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载2.5（1） 一元二次函数的图象和性质一、 【课程要求】1掌握二次函数的图像和性质，结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；2通过三个“二次”掌握函数、方程、不等式之间的关系二、 【重点难点】二次函数的图象和性质，一元二次方程根的存在性及根的个数，函数最值问题。三、 【命题规律】从近几年高考的形势来看，十分注重对三个“二次”（即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的考察力度，同时也研究了它的许多重要的结论，并付诸应用。本节在高考中，重点考察数形结合与等价转化数学思想，通过三个“二次”之间的相互转化，考查函数的方程思想

2、，对于二次函数的区间最值，尤其是含有参数的区间最值问题，要求选择合理的标准分类讨论，。四、 【知识回顾】(一) 二次函数基本知识1.二次函数的定义：形如2(0, ,)yaxbxc aa b c且为常数的函数叫关于x的二次函数。2.二次函数的解析式的三种形式（1）一般式（三点式） ：2(0)yaxbxc a，配方后为。其中顶点坐标为，对称轴为。（2）顶点式（配方式） ：20()()ya xhk a，其中顶点坐标为，对称轴为。（3）两根式（零点式） ：120()()()ya xxxxa，其中12,x x是方程20axbxc的两个根，同时也是二次函数的图像与x轴交点12,00 xx， ，的横坐标。求

3、函数解析式时，一般采用待定系数法3.二次函数的图像和性质（ 1）二次函数2(0)yaxbxc a的图像是一条，其对称轴为，顶点坐标为，开口方向由决定。（2）二次函数2(0)yaxbxc a的单调性以对称轴为分界。当0a时，函数图像开口向，当x时，( )f x 单调递增，当x时，( )f x 单调递减，当x时，( )f x 有最小值。miny当0a时，函数图像开口向，当x时，( )f x 单调递增，当x时，( )f x 单调递减，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，

4、共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载当x时，( )f x 有最大值。maxy在作二次函数草图时，往往抓住：开口方向，对称轴，与x轴交点，与y轴交点，顶点等。（3）二次函数2(0)yaxbxc a，当240bac时，图像与x轴有两个交点11(,0)Mx，22(,0)Mx，则12M M2222121124()4()4| |bcbacxxxxx xaaa（4）关于二次函数( )yf x的对称轴的判断方法：若二次函数对定义域内所有x，都有12()()f xf x，则其对称轴为122xxx若二次函数对定义域内所有x，都有()()f mxf mx，则其对称轴为xm。若二次函数

5、对定义域内所有x，都有()()f mxf nx，则对称轴为2m nx. 若二次函数对应方程为( )0f x两根为12,x x, 则对称轴方程为：122xxx4.二次函数2(0)yaxbx c a的最值（1）在(,)上的最值当0a时，miny()2fba=244acba，当0a时，maxy()2fba=244acba（2）在闭区间,m n上的最值“轴变区间定 ”二次函数2(0)yaxbxc a在闭区间,m n上的最值问题，一般情况下，需要分三种情况讨论，依据对称轴与区间的位置关系：2bma，2bnam,2bna。再结合图像分析。对于二次函数20()()ya xhk a在闭区间,m n上的最值问题

6、，有以下结论：若,hm n，则min( )fkyh，maxmax(),( )yf mf n若,hm n，则minmin(),( )yf mf n，maxmax( ),( )yf mf n（0a时可仿此讨论）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载【典例精讲】题型一：二次函数的解析式的求法例 1已知二次函数( )f x 满足(2)1, ( 1)1ff且( )f x 的最大值是8，求此二次函数的解析式。例

7、2设二次函数( )f x满足(2)(2)f xfx，且( )0f x的两实数根平方和为10，图象过点(0,3),求( )f x的解析式 . 题型二：二次函数最值或值域问题例 3已知函数2142ayxax在区间 0,1上的最大值是2，求实数a 的值 . 例 4已知函数2(21)3(0)( )axaf xax在区间322，上的最大值为1，求实数a的值。例 5.已知函数28( )xf xx，求函数( )f x在区间,1t t上的最大值( )h t名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

8、第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 6. 函数24( )4f xxx在闭区间,1 ()t ttR上的最小值为( )g t（1）试写出( )g t的函数表达式（2）求( )g t的最小值【方法归纳】1.解二次函数最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为2()ya xhk的形式，得顶点( , )h k或对称轴方程xh2.对含有参数的二次函数在闭区间上的值域与最值问题，主要考虑其对称轴与定义域区间的位置关系，由此进行分类讨论。如果利用配方法求函数的最值是极其危险的，一般要讨论函数图像对称轴与闭区间的位置关系。3.二次函数的对称轴与定义域区间的位置通常有三

9、种关系：对称轴在定义域区间左侧，对称轴在定义域区间右侧，对称轴在定义域区间内。题型三：已知二次函数的解析式，求其单调区间；已知二次函数的某一单调区间，求参数的范围，这两类是常见题型，关键是利用二次函数的图像。例 7已知二次函数24(1)3yaxax在2,上递减，则a的取值范围是题型四：二次函数的综合应用例 8已知二次函数( )yf x的图象与 x 轴交于 A，B两点，且,32| AB它在 y 轴上的截距为 4, 又对任意的x都有(1)(1)f xfx。（ 1）求二次函数的表达式；（ 2）若二次函数的图象都在直线:l yxc的下方，求c 的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

10、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 9. 已知二次函数2( )f xaxbx(a 、b 为常数且 a0) 满足条件：(5)(3)fxf x, 且方程( )f xx有等根 . （1）求( )f x的解析式；（2）设( )( )()g xf xtx tR试求( )g x在区间 -1,1上的最小值；（3）是否存在实数m 、n(mn)，使( )f x的定义域和值域分别是,m n和3 ,3m n?如果存在，求出 m 、n 的值，若不存在，请说明理

11、由. 例 10. 已知函数2( )3f xaxax（1）当xR时，( )f xa恒成立，求a的范围（2）当 2,2x时，( )f xa恒成立，求a的范围【总结归纳】求函数恒满足某个条件，就是求函数最大（小）值恒小于（大于）某个式子，这种思想在做恒成立的题目中经常用到。例 11. 已知函数2( )426()f xxaxaaR(1) 若函数的值域为0 ，求a的值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(2)

12、 若函数值为非负数，求函数( )2|3|f aa a的值域【练习】1. 已知二次函数2( )241fxxx，则其开口向，对称轴为，顶点坐标为，最小值为，单调增区间为，单调减区间为，与x轴的交点坐标为。2. 已知函数2( )2()81f xxmx的对称轴为1 0 x，则m，对称轴方程为，顶点坐标为，当22x时，最小值为，值域为。3. 若函数2( )(1)2f xxk xk值域为0,，则k= 。4. 若函数2( )f xaxbx c对于任意实数t都有(2)(2)ftft ，则(1)f(4)f（比较大小）*5、已知二次函数2( )21f xxax在区间2 3，内是单调函数，则实数a 的取值范围是6.

13、 已知函数2( )23f xxx在闭区间0,m上最大值为3，最小值为2，则 m的取值范围为7.(2008 江西文， 12）已知函数2( )2(4)4f xxm xm,( )g xmx, 若对于任一实数x, ( )fx与( )g x的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是8、若函数2( )(2)3fxxax,xa b的图象关于1x对称，则b . 9. 设二次函数21)(2xxxf的定义域为,1n n,nN, 则( )f x的值域中有个整数 . 10. 已知函数2( )(0,)f xaxbxc abR cR. （1）若函数( )f x的最小值( 1)0f, 且1c，;)2()2(, 0),(, 0),()(的值求FFxxfxxfxF（ 2）若10ac，, 且( )1f x在区间 (0,1 恒成立，试求b 的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -