人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数章节练习试题(含解析).docx

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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数章节练习 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosACB的值为（ ）ABCD2、如图，ACB60，半径为1

2、的O切BC于点C，若将O在直线CB上沿某一方向滚动，当滚动到O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（ ）ABC 或D或3、ABC中，tanA1，cosB，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D锐角三角形4、已知正三角形外接圆半径为，这个正三角形的边长是（ ）ABCD5、如图，一辆小车沿斜坡向上行驶米，小车上升的高度米，则斜坡的坡度是（）A：B：C：D：6、已知在RtABC中，C=90，A=60，则 tanB的值为（ ）AB1CD27、如图，在ABC中，C=90，BC=5，AC=12，则tanB等于（ ）ABCD8、如图，在小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为

3、（ ）ABCD9、如图，琪琪一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是（ ）A地在地的北偏西方向上B地在地的南偏西方向上CD10、在中，则的值是（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在44的正方形网格中，ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，则tanACB的值为 _2、如图，在中，点D是BC中点，点E、F分别在AB、AC上，连接DE、DF、EF，则EF的长为_3、如图，直线MN过正方形ABCD的顶点A，且NAD30，AB2，P为直线MN上的动点，连BP，将B

4、P绕B点顺时针旋转60至BQ，连CQ，CQ的最小值是 _4、如图，小明家附近有一观光塔CD，他发现当光线角度变化时，观光塔的影子在地面上的长度也发生变化经测量发现，当小明站在点A处时，塔顶D的仰角为37，他往前再走5米到达点B（点A，B，C在同一直线上），塔顶D的仰角为53，则观光塔CD的高度约为 _.（精确到0.1米，参考数值：tan37，tan53）5、如图，ABC中，BDAB，BD、AC相交于点D，ADAC，AB2，ABC150，则DBC的面积是_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，直线y x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y x2+bx+c经过A、B两点，

5、与x轴的另一个交点为C（1）求抛物线的解析式；（2）点D是直线AB上方抛物线上的一动点，求D到AB的距离最大值及此时的D点坐标；若DABBAC，求D点的坐标2、如图1，在中，（1）求的长；（2）如图2，点P沿线段从B点向C点以每秒的速度运动，同时点Q沿线段向A点以每秒的速度运动，且当P点停止运动时，另一点Q也随之停止运动，若P点运动时间为t秒若时，求证：；并求此时t的值点P沿线段从B点向C点运动过程中，是否存在t的值，使的面积最大；若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由3、如图，的弦AB与直径CD交于点G，点C是优弧ACB的中点（1）（2）当AB也为直径时，连接BC，点K是内AB上方一点，

6、过点K作于点R，交OC于点M，连接KA，KC，求证：（3）在（2）的条件下，过点B作交KR于点N，连接BK并延长交于点E，求的半径4、如图，建筑物上有一高为的旗杆，从D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则建筑物的高约为多少米？（结果保留小数点后一位）（参考数据，）5、如图, 在 中， 点 分别在 边和 边上，沿着直线 翻折 ，点 落在 边上，记为点 ，如果 ，则 _-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据图形得出AD的长，进而利用三角函数解答即可【详解】解：过A作ADBC于D，DC=1，AD=3，AC=，cosACB=，故选：D【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌

7、握勾股定理逆定理及余弦函数的定义2、D【分析】当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，然后根据锐角三角函数的知识求解；同理求出另一种情况的值【详解】解：如图1，当圆O滚动到圆W位置与CA，CB相切，切点分别为E，F，连接WE，WF，CW，OC，OW，则四边形OCFW是矩形，OW=CF，WF=1，ACB60，WCF=ACB=30，所以点O移动的距离为OW=CF=如图2，当圆O滚动到圆O位置与CA，CB相切，切点分别为F，E，连接OO，OE，OC，OF，OC，则四边形OCEO是矩形，OO=CE，ACB60，ACE120，OC

8、E=60，点O移动的距离为OO=CE=，故选：D【点睛】此题考查了切线的性质与切线长定理，矩形的判定与性质，以及三角函数等知识解此题的关键是根据题意作出图形，注意数形结合思想的应用3、C【分析】先根据ABC中，tanA=1，cosB=求出A及B的度数，进而可得出结论【详解】解：ABC中，tanA=1，cosB=，A=45，B=45，C=90，ABC是等腰直角三角形故选：C【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键4、B【分析】如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作ODAB于点D，连接OA， 再由等边三角形的性质，可得OAB=30，然后根据锐角三角函数

9、，即可求解【详解】解：如图， 为正三角形ABC的外接圆，过点O作ODAB于点D，连接OA， 根据题意得：OA= ，OAB=30，在中， ，AB=3，即这个正三角形的边长是3故选：B【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键5、A【分析】直接用勾股定理求出水平距离为12，再根据坡度等于竖直距离：水平距离求解即可【详解】解：由勾股定理得，水平距离，斜坡的坡度：，故选A【点睛】本题主要考查了坡度和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握坡度的定义6、A【分析】根据直角三角形的两个锐角互余即可求得，根据特殊角的三角函数值即可求解【详解】C=90

10、，A=60，又故选A【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，求特殊角的三角函数值，理解特殊角的三角函数值是解题的关键7、B【分析】根据锐角三角函数求解即可【详解】解：在RtABC中，C90，BC5，AC12，所以tanB，故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键8、A【分析】观察题目易知ABC为直角三角形，其中AC3，BC4，求出斜边AB，根据余弦的定义即可求出【详解】解：由题知ABC为直角三角形，其中AC3，BC4，AB=5，故选：A【点睛】本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在

11、解直角三角形中的灵活应用是解题的关键9、B【分析】根据题意可知，由此即可得到即可判断A；由可以判断B；由可以判断C；求出即可判断D【详解】解：如图所示：由题意可知，即在处的北偏西，故A不符合题意；，地在地的南偏西方向上，故B不符合题意；，故C错误，故D不符合题意故选B【点睛】本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键10、B【分析】根据题意，画出图形，结合余弦函数的定义即可求解【详解】解：由题意，可得图形如下：根据余弦函数的定义可得，故选：B【点睛】此题考查了余弦函数的定义，解题的关键是根据题意画出图形，并掌握余弦函数的定义二、填空题1、【解析】【分析】先根据勾股定

12、理求出AC，再根据等积关系求出BD，再根据勾股定理求出AD以及CD，最后再求出角的正切值即可【详解】解：过点B作BDAC于点D，如图，由勾股定理得， 根据等积关系得， 由勾股定理得， 故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题2、【解析】【分析】延长ED到G使DG=ED，连结GC，GF，过G作GHAC与H，根据点D为BC中点，得出BD=CD，先证BDECDG（SAS），可得BE=CG=3，B=GCD，得出GCH=DCG+ACB=B+ACB=60，根据30直角三角形先证可得HC=，利用锐角三角函数可求GH=cos30GC=，

13、在RtGHF中，FG=，再证，即，根据三角函数可求即可【详解】解：延长ED到G使DG=ED，连结GC，GF，过G作GHAC与H，点D为BC中点，BD=CD，在BDE和CDG中，BDECDG（SAS），BE=CG=3，B=GCD，B+ACB=180-BAC=180-120=60，GCH=DCG+ACB=B+ACB=60，在RtGCH中，HGC=90-HCG=30，HC=，GH=cos30GC=，CF=5，HF=CF-CH=5，在RtGHF中，FG=，即，在RtEFG中，故答案为【点睛】本题考查三角形全等判定与性质，三角形内角和，30直角三角形性质，锐角三角函数，勾股定理，直角三角形判定与性质，本

14、题难度较大，综合性强，利用辅助线构造准确图形是解题关键3、#【解析】【分析】如图，连接交于 则 先证明 把绕顺时针旋转得到 证明 可得三点共线，在上运动，过作于 则重合时，最短，再求解 从而可得答案.【详解】解：如图，连接PQ交于 则 是等边三角形， 正方形 把绕顺时针旋转得到 则 三点共线， 在上运动，过作于 则重合时，最短， 是等边三角形，记交于 所以CQ的最小值是，故答案为：【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，得到的运动轨迹是解本题的关键.4、8.6米【解析】【分析】根据题意，利用锐角三角函数解直角三角形即可【详解】解：由题意知，A=37，DBC=53

15、，D=90，AB=5，在RtCBD中，tanDBC=，BC=，在RtCAD中，tanA=，即=tan37解得：CD=8.6，答：观光塔CD的高度约为8.6米【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数解直角三角形的方法是解答的关键5、3314#3143【解析】【分析】过点作，交延长线于点，先根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，再解直角三角形可得，从而可得，然后利用三角形的面积公式即可得【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，解得，又，在中，即，解得，解得，则的面积是，故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，通过作辅助线

16、，构造相似三角形是解题关键三、解答题1、（1）；（2）最大距离为，此时D的坐标为；【解析】【分析】（1）由直线y=x+2求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）设出点和点Q的坐标，运用三角函数，求出H的函数关系式，运用求最大值的方法求解即可；先求AE的解析式，再与抛物线的解析式联立求解即可【详解】解：（1）y，当x0时，y2；当y0时，x4，A（4，0），B（0，2），把A、B的坐标代入yx2+bx+c，得，解得，抛物线的解析式为：；（2）过点D作DHy轴交AB于H，DHAB于H，令，解得，C(1，0)，由（1）得A（4，0），B（0，2），在RtAOB中，BO=2，

17、AO=4，AB=，PDOB，OBA=DQH，sinOBA=sinDQH=，设点D的横坐标为m，则D，Q，DQ=，sinDQH=，DH=()=，当m=-2时，DH最大距离为，当m=-2时，=3，D(-2，3)；由（1）得A（4，0），B（0，2），C(1，0)，ABC=90，延长CB到E，使BC=BE，连接AE交抛物线于点D，则D点即为所求，设E(x，y)，B（0，2），C(1，0)，E(-1，4)，A（4，0），设直线AE为y=kx+b，则，解得，直线AE为，联立，解得 (舍去)，【点睛】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及勾股定理，三角函数及方程，解题的关键是找准相等解的关

18、系利用三角函数求解2、（1）AB=13；（2）证明见解析，t=354；存在，t=6【解析】【分析】（1）过A点作BC的垂线，垂足为D，则可求得AD=5，再由勾股定理可得AB长度（2）由APC=APQ+QPC=BAP+ABC，可得QPC=BAP，则可证得，可求得BP以及QC的长度，根据题意列一元一次方程即可过A点作BC的垂线，垂足为D，过Q点作BC垂线，垂足为H，根据题意列方程即可【详解】（1）过A点作BC的垂线，垂足为D在RtABD中，ADBD=tanABC=512，BC=24BD=12BC=12AD=12512=5由勾股定理有AB=BD2+AD2AB=122+52=144+25=169=13

19、（2）APC=APQ+QPC=BAP+ABCQPC=BAP又ABC=ACBABBP=PCQC设运动了t秒，则BP=2t，PC=24-2t，AQ=13-t，QC=t则132t=24-2tt解得t=354过A点作BC的垂线，垂足为D，过Q点作BC垂线，垂足为H，设运动了t秒，则BP=2t，PC=24-2t，AQ=13-t，QC=t，ABC=ACBcosABC=cosACB在RtABD中AB=13，AD=5cosABC=cosACB=513QH=513t当2t=24时运动停止，即0t12sSPQC=12PCQHSPQC=12PC513QCSPQC=12(24-2t)513tSPQC=-513t2+6

20、013t对称轴为t=-b2a=-60132513=6SPQC=-513t2+6013t开口朝下，612，当t=6时面积最大【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、一元一次方程的几何动点问题，根据题意列一元一次方程是解题的关键3、（1）见详解；（2）见详解；（3）OA=【解析】【分析】（1）连结OA、OB，根据点C是优弧ACB的中点得出，得出圆心角相等，得出AOD=180-AOC=180-BOC=BOD，根据等腰三角形性质即可得出AG=BG；（2）作KCB的平分线交AB于H，连结AC，CK与AB交于L，根据AB，CH为直径，ABCD，可得，ACB=90，得出ABC=BAC=45，根据CH平分K

21、CB，得出KCH=HCB=，可得AKL=180-KAL-KLA=180-ACH-HLC=LHC，利用LHC为HCB的外角得LHC=ABC+HCB=KAB+BAC=AKC即可；（3）连结AE，RK与AB交于P，延长BN交AC与Q，根据CH平分KCB，得出KCS=BCS=KAB，根据BNAK，可得EKA=EBN，KAB=ABN，可证BKR=SCB，再证KBA=NBC，求出EKA=45，根据等腰三角形性质与勾股定理AE=KE=2，AK=，再证四边形AQNK为平行四边形，可得AK=QN=，AQ=KN,设BR=10m，KN=13m，BN=x，先证PNBBNK，即，再根据勾股定理RtBNR中，根据勾股定理

22、，求出，然后证明AQBBNK，即，解得，利用证明BNRBQC，可得即可【详解】（1）证明：连结OA，OB点C是优弧ACB的中点，AOC=BOC，AOD=180-AOC=180-BOC=BOD，OA=OB，OG平分AB，AG=BG；（2）作KCB的平分线交AB于H，连结AC，CK与AB交于L，AB，CH为直径，ABCD，ACB=90，ABC=BAC=45，CH平分KCB，KCH=HCB，KCH=HCB=，KLA=HLC，AKL=180-KAL-KLA=180-ACH-HLC=LHC，LHC为HCB的外角，LHC=ABC+HCB=KAB+BAC=AKC，AKC-KAB =BAC即（3）连结AE，R

23、K与AB交于P，延长BN交AC与Q，CH平分KCB，KCS=BCS=KAB，BNAK，EKA=EBN，KAB=ABN，AKL=LHC=HBC+HCB=KAB+BAC=KAC，AC=KC=BC，CH平分KCB，CSBK，BS=KS，SCB+SBC=90，KRBC，RKB+RBK=90，CBS=KBR，BKR=SCB，AC=BC，ACB=90，ABC=BAC=45，BPR=45=RKB+ABP=ABN+NBC，RKB=ABN，KBA=NBC，EBN=45，EKA=45，AEK=90，EAK=90-EKA=45AE=KE=2，AK=，KRBC，ACB=90，ACKR，AKBQ，四边形AQNK为平行四

24、边形，AK=QN=，AQ=KN,设BR=10m，KN=13m，BN=x，AQ=KN=13m，PBN=BKN，PNB=BNK，PNBBNK，即，PRBC，PBR=45PR=BR=10m，NR=PR-PN=10m-,在RtBNR中，根据勾股定理即整理得，解得舍去，PNAQ，BNP=BQA，BPN=BAQ，PNBAQB，AQBBNK，即解得NRQC，BNR=BQC，BRN=BCQ，BNRBQC，即，AB=BCcos45=，OA=【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线定义，三角形外角性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形相似判定与性质，直径所对圆周角性质，勾股定理，一元高次方程，锐角三角函数，本题难

25、度大，综合性强，图形复杂，利用辅助线构造准确图形，是中考压轴题，掌握多方面知识是解题关键4、建筑物BC的高约为24.2米【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，设，从而可得，再在中，利用正切三角函数解直角三角形即可得【详解】解：由题意得：，是等腰直角三角形，设，则，在中，即，解得，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，建筑物BC的高约为24.2米，答：建筑物BC的高约为24.2米【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键5、#【解析】【分析】过点作于点，设，则，解直角三角形即可求得，即的值【详解】解：如图，过点作于点在 中，是等腰直角三角形=设，则，沿着直线翻折，点落在边上，记为点，在中，即解得故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，解直角三角形，根据题意构造直角三角形是解题的关键