8.3.2球的表面积和体积 课件--高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、8.3.2 8.3.2 球的体积和表面积球的体积和表面积第八章第八章 立体几何初步立体几何初步学习目标（学习目标（1min1min）知道球的表面积和体积的计算公式，知道球的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题。能用公式解决简单的实际问题。1 1、球的表面积与什么有关？公式是什么？、球的表面积与什么有关？公式是什么？2 2、你能类比小学时求圆面积的方法，由球、你能类比小学时求圆面积的方法，由球 的的表面积公式推导出球的体积公式吗？表面积公式推导出球的体积公式吗？问题导学（问题导学（5min)5min)阅读课本阅读课本P117-119P117-119点拨精讲（点拨精讲（23min)2

2、3min)若球的半径为若球的半径为R R，那么它的表面积公式：，那么它的表面积公式：球球例例1 1 钢球直径是钢球直径是5 5cmcm, ,求它的表面积求它的表面积. .例例2 2、如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，、如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是半球的直径是0.3m0.3m，圆柱高，圆柱高0.6m0.6m。如果浮标表面浮一。如果浮标表面浮一层防水油漆，每平方米需要层防水油漆，每平方米需要0.5kg0.5kg涂料，那么给涂料，那么给10001000个个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？ 学习球的知识要注意和圆的有关知识结合起来所

3、以我们学习球的知识要注意和圆的有关知识结合起来所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法先来回忆圆面积计算公式的导出方法 我们把一个半径为我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是R和和R的矩形的矩形那么圆的面积就近似等于那么圆的面积就近似等于R2 2在小学时，我们就已经在小学时，我们就已经接触到了圆，你还记得接触到了圆，你还记得圆的面积公式是如何求圆的面积公式是如何求出来的吗？出来的吗？ 早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发

4、明了圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术倍边法割圆术”. . 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓谓“割之弥细，所失弥小割之弥细，所失弥小”. .这样重复下去，这样重复下去，就达到了就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣圆合体而无所失矣”. . 这是世界上最早的这是世界上最早的“极限极限”思想思想. .延伸阅读：割圆术延伸阅读：割圆术O第一步：分割第一步：分割OiViSih第二步：求近似和第二步：求近似和 （1 1）球面被分割成）球

5、面被分割成n个网格，球的表面分成个网格，球的表面分成了了n个个“小棱锥小棱锥”的底面；的底面； （2 2）如果网格分的越细）如果网格分的越细,“,“小棱锥小棱锥”的底面近的底面近似平面，高近似于球的半径似平面，高近似于球的半径R. . 所有所有“小棱锥小棱锥”的体积和等于球的体积的体积和等于球的体积. .球的体积公式的推导球的体积公式的推导第第一一步步：分分割割球面被分割成球面被分割成n个网格，表面积分别为：个网格，表面积分别为：则球的表面积：则球的表面积：则球的体积为：则球的体积为：O123,nSSSS123nSSSSS 设设“小锥体小锥体”的体的体积为积为iV123nVVVVV 球的体积球

6、的体积OiViSih第第二二步步：求求近近似似和和O球的体积球的体积13iiiVSh 123nVVVVV 1122111333nnVShShSh 如果网格分的越细如果网格分的越细, ,则则: : “小锥体小锥体”就越接近小棱锥就越接近小棱锥ihR12111333nS RS RS ROiViSihO第一步：分割第一步：分割OiViSih第二步：求近似和第二步：求近似和 （1 1）球面被分割成）球面被分割成n个网格，球的表面分成个网格，球的表面分成了了n个个“小棱锥小棱锥”的底面；的底面； （2 2）如果网格分的越细）如果网格分的越细,“,“小棱锥小棱锥”的底面近的底面近似平面，高近似于球的半径似

7、平面，高近似于球的半径R. . 所有所有“小棱锥小棱锥”的体积和等于球的体积，即的体积和等于球的体积，即球的体积公式的推导球的体积公式的推导球球表表球球例例3 3 钢球直径是5cm,求它的体积.333445125( )3326VRcm解解（三）球的体积公式的应用（三）球的体积公式的应用 例例4 4 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？（假设冰激凌融化前后体积不变）3331414=4134()2323VRcm半球223111=412201()333VShr hcm圆锥VV半球圆锥所以，冰激凌融化了，不会溢出杯子.4cm12cm解解 因为1.1.利用

8、利用“分割分割”“”“极限极限”的方法推导球的体积和表面积公式；的方法推导球的体积和表面积公式；2.2.熟悉球的体积和表面积公式熟悉球的体积和表面积公式: :32434VRRRSR=（1 1）半半径径为为 的的球球的的体体积积为为：（2 2）半半径径为为 的的球球的的表表面面积积为为： 课堂小结（课堂小结（1min1min）1 1、（、（1 1）. .球的直径伸长为原来的球的直径伸长为原来的2 2倍，体积变为原来的倍倍，体积变为原来的倍. .3328当堂检测（当堂检测（12min12min）（5 5）. .若两球体积之比是若两球体积之比是1:21:2，则其表面积之比是，则其表面积之比是_._.

9、（2 2）. .若球的表面积变为原来的若球的表面积变为原来的2 2倍，则半径变为原来的倍，则半径变为原来的_倍倍. .（3 3）. .若球半径变为原来的若球半径变为原来的2 2倍，则表面积变为原来的倍，则表面积变为原来的_倍倍. .（4 4）. .若两球表面积之比为若两球表面积之比为1:21:2，则其体积之比是，则其体积之比是_._.21 2 2:4314:2.2.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是4 4cm，这个球的体，这个球的体 积为积为cm3 3. .32 33.3.有三个球，一球切于正方体的各面，一球切于正方体的各侧棱，有三个球，一球切于正方体的各面，一球切于正方体的各侧棱，一球过正方体的各顶点，求这三个球的体积之比一球过正方体的各顶点，求这三个球的体积之比_._.