2.2基本不等式(第一课时)课件--高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册.pptx

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1、弦弦 图图赵爽，中国古代数学家、天文学家，他的主要贡献是约在222年深入研究了周髀算经，为该书写了序言，并作了详细注释。其中一段530余字的勾股圆方图勾股圆方图注文是数学史上极有价值的文献。它记述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述为:勾股各自乘，勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。并之，为弦实。开方除之，即弦。证明方法叙述为:按弦图，又可以勾股相乘为朱实按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。黄实，加差实，亦成弦实。右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设

2、计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 左图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。 你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗? 4个全等的直角三角形面积和为2ab 正方形ABCD的面积为 图中的相等与不等关系有： 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形 四个全等的直角三角形的面积的和小于正方形ABCD的面积 设直角三角形的两条直角边的长为a，b（ab），那么正方形的边长为 . 22ba 22ba abba22222ba abba 一般地，对于任意实数a，b，我们有 ，

3、当且仅当a=b时，等号成立.abba22222ba ababba22222ba ab重要不等式当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立。时，等号成立。,a bR任意定理定理1.1.重要不等式：重要不等式：（1）公式）公式思考：思考：你能给出不等式你能给出不等式 的证明吗？的证明吗？abba2220)(2 ba0)(2 ba2()0ab所 以222.abab所 以时当ba 时当ba 222abab证明：（证明：（作差法作差法） 2)(ba 当且仅当a=b 时等号成立定理定理1.1.重要不等式：重要不等式：（2）证明）证明定理定理1.1.重要不等式：重要不等式：（3）变形式）变形式判断下列不等式是

4、否成立： 22144xyxy 220,4yyxxy 40,0,2aba bab 222232baab定理定理1.1.重要不等式：重要不等式：定理定理1.1.重要不等式：重要不等式：例 已知x 0，求 的最小值. xx121210 xxxxx所以因为解：解：2,11小值为等号成立，因此所求最时，即当且仅当xxx一正一正二定二定三相等三相等变式变式1 若若 求求 的最小值的最小值120, 3xyxxmin0,30,12312123212xxyxxxxyx解：当且仅当，即时，定理定理1.1.重要不等式：重要不等式：变式变式2 若若 ,求求 的最大值的最大值.10 xyxx max0,0,1()1()

5、22112xxyxxxyxxxyx 解：当且仅当，即时，定理定理1.1.重要不等式：重要不等式：0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立。时，等号成立。,a bR任意思考：思考：当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立。时，等号成立。,a bR任意0,0, ,ababa b如果我们用分别代替可得到什么结论？22()()2abab替换后得到：替换后得到： 2abab即：即：2abab 即：即：当且仅当a=b时,等号成立.定理定理2.基本不等式基本不等式均值不等式均值不等式定理定理2.基本不等式基本不等式均值不等式均值不等式 一般地，对于

6、任意实数a,b0，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立.abba2)0, 0(2baabba基本不等式：a,b的算术平均数a,b的几何平均数 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（1）公式）公式 证明： 要证 只要证 要证，只要证 要证，只要证 显然是成立的. 当且仅当a=b时，中的等号成立.abba2abba202abba0)(2ba证明一：分析法 一般地，对于任意实数a,b0，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立.abba2定理定理2.基本不等式基本不等式均值不等式均值不等式（2）证明）证明证明二：图象法 AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦

7、DE，连接AD，BD. 能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？2baabCDbaCDabCD 2baR2baab2baab半径不小于半弦ab定理定理2.基本不等式基本不等式均值不等式均值不等式（2）证明）证明定理定理2.基本不等式基本不等式均值不等式均值不等式（3）变形式）变形式证明证明:,02abba,02acac,02bccb.88)()(abccabcabaccbba例2 已知a,b,c都是整数，求证：当且仅当a=b时，等号成立；当且仅当b=c时，等号成立；当且仅当c=a时，等号成立；当且仅当a=b=c时，等号成立；即证原不等式成立.定理定理2.基本不等式基本不等式均值不等式均值不

8、等式名称名称定理定理1：重要不等式重要不等式定理定理2：基本不等式基本不等式表达式表达式文字叙述文字叙述适用范围适用范围“=”成立条件成立条件a=ba=ba,bRa0,b0两实数两实数的平方和不小于它的平方和不小于它们积的们积的2 2倍倍 两两正正数数的算术平均数不小于它们的算术平均数不小于它们的几何平均数的几何平均数利用基本不等式解决最值问题利用基本不等式解决最值问题（1）.牢记三个关键词：牢记三个关键词：一正、二定、三相等一正、二定、三相等； 一正：一正：各项必须为正；各项必须为正； 二定：二定：各项之和或各项之积为定值；各项之和或各项之积为定值； 三相等：三相等：必须验证取等号成立的条件是否具备；必须验证取等号成立的条件是否具备；（2）.应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求应用基本不等式求最值的关键：依定值去探求最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理最值，探求的过程中常需依具体的问题进行合理拆、拆、凑、配凑、配等变换，配凑原则是等变换，配凑原则是“和和”或或“积积”为定值为定值.变形技巧：用“1”的代换