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1、人教版九年级数学下册第二十七章-相似专项测试 考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。第I卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、如图,把一张矩形纸片ABCD沿着AD和BC边的中点连线EF对折,对折后所得的矩形正好与原来的矩形相似,则原矩形纸
2、片长与宽的比为( )A4:1BCD2:12、如图,已知点M是ABC的重心,AB18,MNAB,则MN的值是()A9BCD63、如图,在中,分别在、上,将沿折叠,使点落在点处,若为的中点,则折痕的长为( )AB2C3D44、如图,在ABC中,点D、E是AB、AC的中点,若ADE的面积是1,则四边形BDEC的面积为()A4B3C2D15、如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与图中相似的是( )ABCD6、在ABC中,ABAC,A36,BD平分ABC,交AC于点DBC8,则AC()A44B44C16D127、下列图形中,ABC与DEF不一定相似的是( )ABCD8、如图,在平
3、面直角坐标系中,OAB与OCD位似,点O是它们的位似中心,已知A(6,6),C(2,2),则OCD与OAB的面积之比为()A1:1B1:3C1:6D1:99、如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置,设法使斜边DF保持水平,并且边DE与点B在同一直线上,已知纸板的两条直角边cm,cm,测得边DF离地面的高度m,m,则树高AB为( )A4mB5mC5.5mD6.5m10、如果两个相似多边形的周长比是2:3,那么它们的面积比为()A2:3B4:9C:D16:81第卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、如图,点C是线段AB的黄金分割
4、点(ACBC),如果分别以点C、B为圆心,以AC的长为半径作弧相交于点D,那么B的度数是_2、若D为中边上一点,且EDBC交于E,若与的相似比为,则_3、如图,已知O是坐标原点,点A、B分别在x轴,y轴上,OA=1,OB=2,若点D在x轴下方,且使得AOB和OAD相似(不包括全等),则点D的坐标为_4、如图,四边形与四边形位似,其位似中心为点O,且,则_5、如图,若点C是AB的黄金分割点,AB10,则AC_,BC_三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、如图,在RtABC中,C90,BC4,A60,四边形DEFG是ABC的内接矩形,顶点D、G分别在边AC、BC上,点E、F在边AB上,
5、设AEx,DGy(1)求y与x之间的函数关系式;(2)当矩形DEFG的面积S取得最大值时,求CDG与BFG的相似比2、如图1,ABC内接于O,BAC的平分线AD交O于点D,交BC于点E,过点D作DFBC,交AB的延长线于点F(1)求证:BDEADB;(2)试判断直线DF与O的位置关系,并说明理由;(3)如图2,条件不变,若BC恰好是O的直径,且AB6,AC8,求DF的长3、如图,在RtABC中,点是边延长线上的一点,作,与交于点求证:4、如图,已知直线l经过点A(1,0),与双曲线y=(x0)交于点B(2,1)过点P(p,p-1)(p1)作x轴的平行线分别交双曲线y=(x0)和y=-(x0)于
6、点M、N(1)求m的值和直线l的解析式;(2)若点P在直线y=2上,求证:PMBPNA;(3)是否存在实数p,使得SAMN=4SAMP?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由5、如图,在中,于点D,E为AC的中点,ED、CB的延长线交于点F求证:(1);(2)-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据相似多边形对应边的比相等,设出原来矩形的长,就可得到一个方程,解方程即可求得【详解】根据条件可知:矩形AEFB矩形ABCD,E为AD中点,原矩形纸片长与宽的比为故选B【点睛】本题考查了相似多边形的性质,根据相似形的对应边的比相等,把几何问题转化为方程问题,正确分清对应边,以
7、及正确解方程是解决本题的关键2、D【解析】【分析】根据重心的概念得到,证明CMNCDB,根据相似三角形的性质列式计算,得到答案【详解】点M是ABC的重心,AB18,AD=DB=AB=9,MN/AB,CMNCDB,即解得:MN=6,故选:D【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质,掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点,且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键3、B【解析】【分析】由折叠的特点可知,又,则由同位角相等两直线平行易证,故,又为的中点可得,由相似的性质可得求解即可【详解】解:沿折叠,使点落在点处,又,又为的中点,AE=AE,即,故选:B【点
8、睛】本题考查折叠的性质,相似三角形的判定和性质,掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键4、B【解析】【分析】由DE是ABC的中位线,得DEBC,且DEBC,则ADEABC,从而BC,从而解决问题【详解】解:点D、E是AB、AC的中点,DE是ABC的中位线,DEBC,且DEBC,ADEABC,ADE的面积是1,4,3,故选:B【点睛】本题考查了三角形中位线定理,三角形相似的判定和性质,熟练掌握中位线定理,灵活运用三角形相似的性质是解题的关键5、B【解析】【分析】根据网格的特点求出三角形的三边,再根据相似三角形的判定定理即可求解【详解】解:由题意得: 、A选项中的三角形三边长分别为,1,与
9、ABC的三边对应边不成比例关系,不符合题意;B选项中的三角形三边长分别为,1,对应边成比例,符合题意;C选项中的三角形三边长分别为,3,与ABC的三边对应边不成比例关系,不符合题意;D选项中的三角形三边长分别为,2,与ABC的三边对应边不成比例关系,不符合题意;故选B【点晴】此题主要考查相似三角形的判定和勾股定理,解题的关键是熟知相似三角形的判定定理6、A【解析】【分析】根据两角对应相等,判定两个三角形相似再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出AC的长【详解】解:AB=AC,A=36,ABC=C=72,BD平分ABC,ABD=DBC=36,BDC=ABD+A=72,BDC=C=72,AD=B
10、D=BC=8A=DBC=36,C公共角,ABCBDC,即,整理得:AC2-8AC-64=0,解方程得:AC=4+4,或AC=4-4(舍去),故选:A【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质,先用两角对应相等判定两个三角形相似,再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出AC的长7、A【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答【详解】解:A、当EF与BC不平行时,ABC与DEF不一定相似,故本选项符合题意;B、由ABC=EFC=90,ACB=EDF可以判定ABCDEF,故本选项不符合题意;C、由圆周角定理推知B=F,又由对顶角相等得到ACB=EDF,可以判定ABCDEF,故本选项不符合
11、题意;D、由圆周角定理得到:ACB=90,所以根据ACB=CDB=90,ABC=CBD,可以判定ABCDEF,故本选项不符合题意;故选:A【点睛】本题考查了相似三角形的判定,解题时,需要熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定定理8、D【解析】【分析】由A(6,6)可知OA长度为,C(-2,-2)可知OC长度为,得,所以OCD与OAB面积比为1:9.【详解】点A坐标为(6,6),OA=点C坐标为(-2,-2)OC=1:9故选:D【点睛】本题考查了两个位似图形的相似比,与相似三角形性质相同,相似三角形的面积比是相似比的平方9、D【解析】【分析】根据即可求得的长,进而求得树高【详解】解:依题意, cm
12、,cm,m,m, m m故选D【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定,相似三角形的应用,根据题意找到相似三角形是解题的关键10、B【解析】【分析】根据相似多边形的周长比求出相似比,再根据相似多边形的面积比等于相似比的平方计算,得到答案【详解】解:两个相似多边形的周长比是2:3,这两个相似多边形的相似比是2:3,它们的面积比是4:9,故选B【点睛】本题考查相似多边形的性质,掌握相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方是解题的关键二、填空题1、72【解析】【分析】根据黄金分割的定义得到AC2=BCAB,而AC=CD=BD,则BD2=BCAB,根据相似三角形的判定得BDCBAD,则A=
13、BDC,设A=x,则BDC=x,根据三角形外角性质得ADC=A=2x,然后根据三角形内角和定理得到x+2x+2x =180,再解方程即可【详解】解:点C是线段AB的一个黄金分割点,AC2=BCAB,CD=AC=BD,BD2=BCAB,即BD:BC=AB:BD,而ABD=DBC,BDCBAD,A=BDC,设A=x,则ADC=x,DCB=ADC+A=2x,而CD=BD,DCB=B=2x,x+2x+2x=180,解得x=36, 故答案为:72【点睛】本题考查了黄金分割:把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点
14、C叫做线段AB的黄金分割点2、5【解析】【分析】由题意直接根据相似三角形的相似比进行分析即可得出答案.【详解】解:EDBC, 与的相似比为,,,.故答案为:5.【点睛】本题考查相似三角形的相似比,熟练掌握相似三角形的相似比即对应边所得的比例是解题的关键.3、(0,-)或(1,-)或(,)或(,)【解析】【分析】点D在y轴上,根据AOBDOA,可得,即;当点D在过点A平行y轴的直线上,根据AOBD1AO,即;当点D2在AD上,作D2Ex轴于E,OD2AD于D2,在RtAOB中,AB=,根据OD2AAOB,即,可证D2EADOA,即,求出AE=,D2E=,当点D3在0D1上,作D3Fx轴于F,AD
15、3OD1于D3,根据OD3ABOA,即,可证D3FOD1AO,即,求出OE=,D3F=即可【详解】解:点D在y轴上,AOBDOA,即,解得OD=,点D(0,-);当点D在过点A平行y轴的直线上,AOBD1AO,即,解得D1A=,点D1(1,-);当点D2在AD上,作D2Ex轴于E,OD2AD于D2,在RtAOB中,AB=,OD2AAOB,即,在RtOAD中,AD=,D2Ex轴于E,ODx轴,D2EOD,AD2E=ADO,D2EA=DOA=90,D2EADOA,即,AE=,D2E=,OE=OA-AE=1-=,D2(,)当点D3在OD1上,作D3Fx轴于F,AD3OD1于D3,OD3ABOA,即,
16、在RtOAD1中,0D1=,D3Fx轴于F,ODx轴,D3FOD,OD3F=QD1A,D3FO=D1AO=90,D3FOD1AO,即,OE=,D3F=,D3(,);AOB和OAD相似(不包括全等),则点D的坐标为(0,-)或(1,-)或(,)或(,)故答案为(0,-)或(1,-)或(,)或(,)【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质,勾股定理,掌握三角形相似判定与性质是解题关键4、【解析】【分析】利用位似的性质得到,然后根据比例的性质求解【详解】解:四边形ABCD与四边形EFGH位似,其位似中心为点O,故答案为:【点睛】本题考查了位似变换:位似的两个图形必须是相似形,对应点的连线都经过同一点;
17、对应边平行或共线5、 6.18 3.82【解析】【分析】根据黄金分割的定义求解【详解】解:点C是AB的黄金分割点,AC=AB=106.18,BC10-6.18=3.82故答案为:6.18;3.82【点睛】本题考查了黄金分割:把线段AB分成两条线段AC和BC(ACBC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点其中AC=AB0.618AB,并且线段AB的黄金分割点有两个三、解答题1、(1)y84x;(2)233【解析】【分析】(1)依据RtABC中,C=90,BC=43,A=60,即可得到AC=4,AD=2AE=2x,DC=
18、12DG=12y,再根据CD=AC-AD,可得12y=4-2x,进而得出y与x之间的函数关系式;(2)依据S=DEDG=3x(8-4x)=-43(x-1)2+43,可得当x=1时,S最大=43,再根据DCGGFB,即可得到DGGB=423=233,进而得出CDG与BFG的相似比【详解】解:(1)RtABC中,C90,BC4,A60,AC4,AD2AE2x,DC=12DG=12y,CDACAD,12y=4-2x,即y与x之间的函数关系式为y84x;(2)DEAEx,SDEDGx(84x)4(x1)2+4,当x1时,S最大4,此时,GFDE,BG2GF2,DG844,CBFG90,DGCB,DCG
19、GFB,DGGB=423=233,CDG与BFG的相似比为233【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质以及矩形的性质,熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键2、(1)见解析(2)相切,理由见解析(3)的长为354【解析】【分析】(1)利用平分和CBD与CAD所对的弦都为,证明角相等,进而可以证明BDEADB(2)连接OD,利用等弧证明OD平分BC ,进而通过垂径定理证明ODBC,最后利用DFBC,即可证明直线DF与O相切(3)过点作BHAD与点,连接OD,利用角相等求证BDHBCA,得到BHBA=BDBC,利用该比例式,先后在RtABC、RtBDH、RtABH中通过勾股定理求出DH、
20、AH的长,进而得到的长,最后通过平行、等弧对等角以及角平分线性质,证明FDBFAD,利用边长的比例关系,求出与的关系,通过的长,即可求出的长【详解】(1)证明:AD平分, BAD=CAD, CBD与CAD所对的弦都为, CBD=CAD=BAD, 又BDE=ADB,CBD=BAD,BDEADB(2)解:直线DF与O相切,证明:连接OD,BAD=DAC, BD=CD, OD平分BC, ODBC, DFBC, ODDF, 故直线DF与O相切(3)解:过点作BHAD与点,连接OD,则BHD=90, BAC所对的弦为直径, BAC=90, BHD=BAC=90, 又BDH与C 所对的弦都是,BDH=C,
21、 BDHBCA,BHBA=BDBC, 又, 在RtABC中,由勾股定理可得:BC=AB2+AC2=10, OB=OD=5,故BH=BDBCBA=32,在RtBDH中,DH=BD2-BH2=42, 在RtABH中,AH=AB2-BH2=32, AD=AH+DH=72,DFBC, FDB=DBC, DBC与DAC所对的弧都为CD,且平分, DBC=DAC=FAD, FDB=FAD, F=F, FDBFAD,DFAF=BFDF=BDAD=5272, AF=75DF,BF=57DF, 故AB=AF-BF=75DF-57DF=6,解得DF=354,的长为354【点睛】本题主要是考查了圆的性质、相似三角形
22、的判定和性质,熟练通过等弧或同弧对等角,求证角相等,进而证明三角形相似,把握等弧或同弧对等角和三角形相似之间的联系,这是求解该题的关键3、见解析【解析】【分析】先证明A=DCE,再由B=D即可证明ABCCDE【详解】解:ACE=D=B=90,A+ACB=90=ACB+DCE,A=DCE,又B=D,ABCCDE【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定,熟知相似三角形的判定条件是解题的关键4、(1)m=2,y=x-1;(2)见解析;(3)存在实数p=1+132或1+52使得SAMN=4SAMP【解析】【分析】(1)将点B的坐标代入即可得出m的值,设直线l的解析式为y=kx+b,再把点A、B的坐标代入
23、,解方程组求得k和b即可得出直线l的解析式;(2)根据点P在直线y=2上,求出点P的坐标,再证明PMBPNA即可;(3)先假设存在,利用SAMN=4SAMP求得p的值,看是否符合要求【详解】(1)解:B(2,1)在双曲线y=(x0)上,m=2,设直线l的解析式为y=kx+b,则k+b=02k+b=1,解得k=1b=-1,直线l的解析式为y=x-1;(2)证明:点P(p,p-1)(p1),点P在直线y=2上,p-1=2,解得p=3,P(3,2),PNx轴,点M在双曲线y=上,点N在双曲线y=-2x上,M(1,2),N(-1,2),PM=2,PN=4,PA=3-12+2-02=2,PB=3-22+
24、2-12=,BPM=APN,PM:PN=PB:PA=1:2,PMBPNA;(3)解:存在实数p,使得SAMN=4SAMPP(p,p-1)(p1),点M、N的纵坐标都为p-1,将y=p-1代入y=和y=-, 得x=2p-1和x=-2p-1,M、N的坐标分别为(2p-1,p-1),(-2p-1,p-1),当1p2时,MN=4p-1,PM=2p-1-p,SAMN=MN(p-1)=2,SAMP=MP(p-1)=-p2+p+1,SAMN=4SAMP,2=4(-p2+p+1),整理,得p2-p-1=0,解得:p=152,1p2,p=1+52,当p2时,MN=4p-1,PM=p-2p-1,SAMN=MN(p
25、-1)=2,SAMP=MP(p-1)=p2-p-1,SAMN=4SAMP,2=4(p2-p-1),整理,得p2-p-3=0,解得p=1132,p大于2,p=1+132,存在实数p=1+132或1+52使得SAMN=4SAMP【点睛】本题考查的是反比例函数的综合题,以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式,相似三角形的判定5、(1)见解析;(2)见解析【解析】【分析】(1)根据垂直的性质及各角之间的关系可得A=BCD,再根据直角三角形中斜边上的中点的性质可得AE=CE=ED,得出A=EDA,再由各角之间的关系可得FCD=BDF,据此即可判定两个三角形相似;(2)根据相似三角形的判定定理可得ABCCBD,得出BCAC=BDCD,再由(1)中结论可得BDCD=DFCF,利用等式的传递性即可证明【详解】(1)证明:,A+ACD=ACD+BCD,A=BCD,E为中点,AE=CE=ED,A=EDA,EDA=BDF,FCD=BDF,又F为公共角,BDFDCF;(2)由(1)得ACB=BDC=90,B=B,ABCCBD,BCBD=ACCD,即BCAC=BDCD,BDCD=DFCF,DFCF=BCAC【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质,熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键
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