2021_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大小值与导数跟踪训练含解析新人教A版选修2_.doc

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1、函数的最大（小）值与导数A组学业达标1函数f(x)xsin x在区间0，上的最大值、最小值分别为()A，0 B，0C，1 D0，1解析：f(x)1cos x，令f(x)0，得cos x，又x0，所以x，所以x时，f(x)0，f(x)单调递减，x时，f(x)0，f(x)单调递增，且fsin 1，f(0)0，f()，所以函数f(x)在区间0，上的最大值、最小值分别为和1.故选C.答案：C2函数f(x)x3x2xa在区间0,2上的最大值为3，则a的值为()A0 B1 C2 D1解析：f(x)3x22x1，若f(x)0，则x或x1，又因为fa，f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，则f(2)最大，则

2、a23，则a1.故选B.答案：B3已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)解析：令F(x)f(x)g(x)，所以F(x)f(x)g(x)0.所以F(x)0，所以F(x)在a，b上递减，所以F(x)maxf(a)g(a)故选A.答案：A4已知函数f(x)ln x1(a0)在定义域内有零点，则实数a的取值范围是()A(，1 B(0,1C1，) D(1，)解析：函数f(x)定义域为(0，)因为函数f(x)ln x1(a0)在定义域内有零点，所以axx

3、ln x有解，令h(x)xxln x所以h(x)ln x，所以h(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，)，所以h(x)maxh(1)1.答案：B5已知函数f(x)exxa的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值范围为()A(1，) B(，1)C1，) D(，1解析：因为函数f(x)exxa的图象始终在x轴的上方，所以f(x)exxa的最小值大于零，令f(x)ex10，得x0，当x(，0)时，f(x)0，函数f(x)单调递减，当x(0，)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)exxa的最小值为f(0)1a，因为1a0，所以a1.答案：A6已知函数f(x)x3ax23x.若x3是f(

4、x)的极值点，则f(x)在x1，a上的最小值和最大值分别为_解析：由题意知f(x)3x22ax30的一个根为x3，可得a5，所以f(x)3x210x3，f(x)0的根为x3或x(舍去)，又f(1)1，f(3)9，f(5)15，所以f(x)在x1,5上的最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.答案：9,157函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是_解析：f(x)3x23a3(x2a)当a0时，f(x)0，所以f(x)在(0,1)内单调递增，无最小值当a0时，f(x)3(x)(x)当x(，)和(，)时，f(x)单调递增；当x(，)时，f(x)单调递减，所以当1，即0a1

5、时，f(x)在(0,1)内有最小值答案：(0,1)8已知函数f(x)xxln x，若kZ，且k(x1)f(x)对任意的x1恒成立，则k的最大值为_解析：因为x1，所以由题意得k对任意x1恒成立令h(x)，则h(x)，令(x)xln x2(x1)，则(x)10，所以函数(x)在(1，)上单调递增又(3)1ln 30，(4)22ln 20，所以存在x0(3,4)，使得(x0)x02ln x00，因此当x(1，x0)时，h(x)0，h(x)单调递减；当x(x0，)时，h(x)0，h(x)单调递增所以当xx0时，h(x)有极小值，也为最小值，且h(x)minh(x0)x0(3,4)所以k3.所以整数k

6、的最大值是3.答案：39已知函数f(x)x33ax2.(1)若a1，求f(x)的极值点和极值；(2)求f(x)在0,2上的最大值解析：(1)a1时，f(x)x33x2，f(x)3x26x3x(x2)令f(x)0，解得x2或x0；令f(x)0，解得0x2，所以f(x)在(，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增，所以0是极大值点，极大值是f(0)0,2是极小值点，极小值是f(2)4.(2)f(x)3x26ax3x(x2a)，a0时，f(x)0，f(x)在0,2上单调递增，所以f(x)maxf(2)12a8；当1a0时，22a0.令f(x)0，解得x2a；令f(x)0，解得0

7、x2a，所以f(x)在0，2a)上单调递减，在(2a,2上单调递增，所以f(x)maxf(0)0或f(2)12a8；当a1时，2a2，f(x)在0,2上单调递减，所以f(x)maxf(0)0.10已知函数f(x)ln x.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1，e上的最小值是，求a的值解析：函数f(x)ln x的定义域为(0，)，f(x).(1)因为a0，所以f(x)0，故函数在其定义域(0，)上单调递增(2)x1，e时，分如下情况讨论：当a1时，f(x)0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)a1，这与函数在1，e上的最小值是相矛盾；当a1时，函数f(x)在1

8、，e上单调递增，其最小值为f(1)1，同样与最小值是相矛盾；当1ae时，函数f(x)在1，a)上有f(x)0，f(x)单调递减，在(a，e上有f(x)0，f(x)单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(a)ln a1，由ln a1，得a；当ae时，函数f(x)在1，e上有f(x)0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)2，这与最小值是相矛盾；当ae时，显然函数f(x)在1，e上单调递减，其最小值为f(e)12，仍与最小值是相矛盾综上所述，a的值为.B组能力提升11已知f(x)x2cos x，x1,1，则导函数f(x)是()A仅有最小值的奇函数B既有最大值又有最小值的偶函数C仅有最大值的偶函数D

9、既有最大值又有最小值的奇函数解析：f(x)2xsin x，则f(x)2xsin xf(x)，所以导函数f(x)是奇函数，又f(x)2cos x0，所以f(x)在1,1上单调递增，故f(x)minf(1)，f(x)maxf(1)，所以f(x)既有最大值又有最小值答案：D12已知函数f(x)(a0)在区间0,1上有极值，且函数f(x)在区间0,1上的最小值不小于，则a的取值范围是()A(2,5 B(2，) C(1,4 D5，)解析：f(x)(a0)若f(x)在0,1上有极值，则即 解得a2.又f(x)在0,1上先增后减，则f(x)minf(1)，解得a5，所以a(2,5故选A.答案：A13若函数f

10、(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为_解析：f(x)，当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增；当x时，f(x)，解得1，不合题意，所以f(x)maxf(1)，所以a1.答案：114设函数f(x)ax33x1(a1)，若对于任意的x1,1都有f(x)0成立，则实数a的值为_解析：由题意得，f(x)3ax23，当a1时，令f(x)3ax230，解得x，1,1，当1x时，f(x)0，f(x)为递增函数；当x时，f(x)0，f(x)为递减函数；当1x时，f(x)0，f(x)为递增函数所以只须f0，且f(1)0即可，由f0，得a3310，解得a4，由f(1)

11、0，可得a4，综上a4为所求答案：415已知函数f(x)2xaln x，aR.(1)若函数f(x)在1，)上单调递增，求实数a的取值范围(2)记函数g(x)x2f(x)2x2，若g(x)的最小值是6，求函数f(x)的解析式解析：(1)f(x)20，所以a2x在1，)上恒成立，令h(x)2x，x1，)，因为h(x)20恒成立，h(x)在1，)单调递减，h(x)maxh(1)0，所以a0.故a的取值范围为0，)(2)g(x)2x3ax2，x0，因为g(x)6x2a，当a0时，g(x)0恒成立，所以g(x)在(0，)单调递增，无最小值，不合题意，所以a0，令g(x)0，则x(舍负值)，由此可得，g(

12、x)在上单调递减，在上单调递增，则x是函数的极小值点，g(x)最小g6，解得a6，f(x)2x6ln x.16已知函数f(x)a(x1)23ln x.(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程(2)若对任意的x1，e，f(x)2恒成立，求a的取值范围解析：(1)当a2时，f(x)2(x1)23ln x，f(1)8，f(x)4x4，f(1)5，所以所求切线方程为y85(x1)，即y5x3.(2)f(x)2，即a(x1)23ln x2，等价于a.令g(x)，则g(x)，设h(x)x36xln x，则h(x)1(6ln x6)76ln x，因为1xe，所以h(x)0，所以h(x)在1，e上递减又h(1)20，h(e)37e0，所以，存在x0(1，e)，使得h(x0)0.因此，当x1，x0)时，g(x)0；当x(x0，e时，g(x)0.即函数g(x)在1，x0上递增，在(x0，e上递减因为对任意的x1，e，f(x)2恒成立，所以ag(x)min，则，即.又，所以a，即a.